Uso do calculo simbólico na Matlab

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Funções importantes para o uso do cálculo simbólico

  • vpa(x) Variable-precision arithmetic: evaluate each element of the symbolic input x to at least d significant digits, where d is the value of the digits function. The default value of digits is 32.
  • digits(d) Change variable precision used: sets the precision used by vpa to d significant decimal digits. The default is 32 digits.
  • double(s) Convert symbolic values to MATLAB double precision: converts the symbolic value s to double precision. Converting symbolic values to double precision is useful when a MATLAB® function does not accept symbolic values.
  • x = sym('x') creates symbolic variable x
  • syms x Create symbolic variables and functions: Create symbolic variable x.
  • p = poly2sym(c) Create symbolic polynomial from vector of coefficients: creates the symbolic polynomial expression p from the vector of coefficients c.
  • S = solve(eqn,var) Equations and systems solver.
  • subs(s,new) Symbolic substitution.
  • g = matlabFunction(f) Convert symbolic expression to function handle or file.
  • simplify(S) Algebraic simplification
  • expand(S) Symbolic expansion of polynomials and elementary functions
  • collect(P) Collects coefficients in P of the powers
  • F = factor(x) Factorization
  • numden(A) Extract numerator and denominator
  • partfrac(expr,var) Partial fraction decomposition
  • latex(S) LaTeX form of symbolic expression

Algumas dicas sobre o cálculo simbólico

syms x y
f = sin(x)^2 + cos(y)^2;
diff(f)

ans =
2*cos(x)*sin(x)

Exemplo aplicado a substituição de variáveis

Definindo uma função de transferência como uma função simbólica 

syms s
H(s) = (s^2 + 1)/(3*s^2 + 4*s + 6)

H(s) =
(s^2 + 1)/(3*s^2 + 4*s + 6)

Imprimindo H(s) em formato LaTeX. 

latex(H(s))

ans =
\frac{s^2 + 1}{3\, s^2 + 4\, s + 6}

Substituindo a variável s pela f(z) = 2*(z-1)/(z+1); 

syms z
Hz(z) = subs(H,2*(z-1)/(z+1))

Hz(z) =
((2*z - 2)^2/(z + 1)^2 + 1)/((3*(2*z - 2)^2)/(z + 1)^2 + (4*(2*z - 2))/(z + 1) + 6)

Obtem-se a expressão:

Agrupando os termos comuns em potências de z 

Hz2 = collect(Hz)

Hz2 =
(5*z^2 - 6*z + 5)/(26*z^2 - 12*z + 10)

Obtem-se a expressão:

O numerador e denominador de H(z) podem ser obtidos por: 

[N,D] = numden(Hz2)

N =
5*z^2 - 6*z + 5

D =
26*z^2 - 12*z + 10

Por sua vez os pólos de H(z) são obtidos por 

pk = roots(sym2poly(D))

e os zeros por: 

zk = roots(sym2poly(N))

Exemplo aplicado a geração de uma função de transferência

Considerando que são conhecidos os pólos (pk) e zeros (zk) de uma função de transferência H(s), deseja-se obter a sua expressão simbólica.

Para obter os coeficientes do numerador 

zk = [ -1 2 0 +1]  
cN = poly(zk)

Obtendo o polinômio do numerador 

syms s;
N(s) = poly2sym(cN,s)
vpa(N(s),4)

Para obter os coeficientes do denumerador 

pk = [ -1 -2 -0.3+1j -0.3-1j ]  
cD = poly(pk)

Obtendo o polinômio do numerador 

syms s;
D(s) = poly2sym(cD,s)
vpa(D(s),4)

Resultando na função de transferência desejada 

digits(4)
H(s) = vpa(N(s))/vpa(D(s));
pretty(H(s))

      4        3        2
     s  - 2.0 s  - 1.0 s  + 2.0 s
-------------------------------------
 4        3         2
s  + 3.6 s  + 4.89 s  + 4.47 s + 2.18


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