Transformadas de Fourier

Transformada de Fourier no tempo contínuo (TFTC)

O sinal $\mathrm {x(t)}$ é contínuo no tempo, e o sinal $\mathrm {X(j\Omega )}$ é contínuo na frequência.

A equação de análise: É uma transformação de um domínio de uma variável real $\mathrm {x(t)}$ de tempo continuo em uma variável complexa $\mathrm {X(j\Omega )}$ de frequência contínua.; $\mathrm {\ DT\rightarrow DF}$ .

\mathrm {x:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {C} }

.

\mathrm {X(j\Omega )\equiv {\mathcal {F}}\{x(t)\}\ {\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}\int _{-\infty }^{\infty }x(t)\ e^{-j\Omega t}\operatorname {d} \!t}

A equação de síntese: É uma transformação de um domínio de uma variável complexa $\mathrm {X(j\Omega )}$ de frequência contínua em uma variável real $\mathrm {x(t)}$ de tempo continuo.; $\mathrm {\ DF\rightarrow DT}$ .

\mathrm {X:\mathbb {C} \rightarrow \mathbb {R} }

.

\mathrm {x(t)\equiv {\mathcal {F}}^{-1}\{X(j\Omega )\}\ {\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}{\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }X(j\Omega )\ e^{j\Omega t}\operatorname {d} \!\Omega }

A transformada de Fourier

\mathrm {X(j\Omega )}

, por simplificação é muitas vezes representada apenas por

\mathrm {X(\Omega )}

ou

\mathrm {X(\omega )}

, mas é importante lembrar que tratasse de uma frequência complexa, representada pelo eixo imaginário do plano s.

Transformada Z

A transformada Z de um sinal de tempo discreto $x(n)\,$ é a função $X(z)\,$ definida como

X(z)=Z\{x(n)\}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x(n)z^{-n}\

onde

n\,

é um inteiro;

z=Ae^{j\phi }\

é um número complexo, com

A\,

sendo sua magnitude, e

\phi \,

sua frequência angular (em radianos por amostra).

A transformada Z inversa é

x(n)=Z^{-1}\{X(z)\}={\frac {1}{2\pi j}}\oint _{C}X(z)z^{n-1}dz\

onde $C\$ é o caminho antihorário envolvendo a origem, dentro da região de convergencia (ROC) de $X(z)\,$ .

Transformada de Fourier no tempo discreto (TFTD)

O sinal $\mathrm {x(n)}$ é discreto no tempo, e o sinal $\mathrm {X(\Omega )}$ é contínuo e periódico em $\mathrm {2\pi }$ .

A equação de análise: É uma transformação de um domínio de uma variável real $\mathrm {x(n)}$ de tempo discreto em uma variável complexa $\mathrm {X(\omega )}$ frequência contínua periódica.; $\mathrm {\ DT\rightarrow DF}$ .

\mathrm {x:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {C} }

.

\mathrm {X(e^{j\omega })\equiv {\mathcal {F}}\{x(n)\}\ {\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}\sum _{n=-\infty }^{\infty }x(n)\ e^{-j\omega n}}

A equação de síntese: É uma transformação de um domínio de uma variável complexa $\mathrm {X(\omega )}$ de frequência contínua periódica em uma variável real $\mathrm {x(n)}$ continua.; $\mathrm {\ DF\rightarrow DT}$ .

\mathrm {X:\mathbb {C} \rightarrow \mathbb {R} }

.

\mathrm {x(n)\equiv {\mathcal {F}}^{-1}\{X(e^{j\omega })\}\ {\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}{\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }X(e^{j\omega })\ e^{j\omega n}\operatorname {d} \omega }

Transformada de Discreta de Fourier (TDF)

Obtenção da TDF a partir da amostragem da TFTD

Sinais discretos no tempo podem ser representados pela sua TFTD, que é uma função continua periódica em $\mathrm {2\pi }$ de $\mathrm {\omega }$ :

\mathrm {X(e^{j\omega })=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x(n)e^{-j\omega n}}

Para que a mesma possa ser utilizada no processamento de sinais digitais é necessário que a variável frequência seja também discreta. Se amostrarmos uniformemente a frequência $\mathrm {\omega }$ em N amostras entre 0 e $\mathrm {2\pi }$ é possível obter a TDF (ou DFT - Discrete Fourier Transform). Assim se tomarmos N frequências $\mathrm {\omega _{k}=(2\pi /N)k} \$ com $k\in \mathbb {Z} \$ , and $\mathrm {0\leq k\leq N-1} \$ , obtemos o espectro amostrado uniformemente:

\mathrm {X'(e^{j\omega })=X(e^{j\omega })\sum _{k=-\infty }^{\infty }\delta \left(\omega -{\frac {2\pi }{N}}k\right)}

.

O sinal equivalente no tempo pode ser obtido aplicando a transformada inversa e a convolução:

\mathrm {x'(n)={\mathcal {F}}^{-1}\{X'(e^{j\omega })\}=x(n)*\left({\frac {N}{2\pi }}\sum _{p=-\infty }^{\infty }\delta (n-Np)\right)={\frac {N}{2\pi }}\sum _{p=-\infty }^{\infty }x(n-Np)}

.

O que mostra que o sinal Esse sinal $\mathrm {x'(n)} \$ são repetições periódicas (com período N) do sinal discreto $\mathrm {x(n)} \$ original.

Note que N o período de repetição do sinal $\mathrm {x'(n)} \$ é o mesmo período de repetição das N amostras da TFTD $\mathrm {X(e^{j\omega })} \$ original.
Se o comprimento L o sinal do $\mathrm {x(n)} \$ for maior que N o período de repetição do sinal $\mathrm {x'(n)} \$ , haverá sobreposição das amostras no tempo (time aliasing), e não será possível recuperar o sinal original.
Por outro lado, se $\mathrm {L\leq N} \$ então $\mathrm {x'(n)} \$ é a repetição periódica exata de $\mathrm {x(n)} \$ .

\mathrm {x(n)={\frac {2\pi }{N}}x'(n)}

, para

\mathrm {0\leq n\leq N-1} \

ou

\mathrm {x(n)={\frac {2\pi }{N}}x'(n)} [u(n)-u(n-N)\

.

Portanto, é possível recuperar as amostras do sinal digital no tempo $\mathrm {x(n)} \$ a partir das suas amostras digitais na frequência, desde que o período de repetição das N amostras de frequência seja maior ou igual ao comprimento L do sinal no tempo.

DFT e IDFT

O sinal $\mathrm {x(n)} \$ é discreto no tempo pode ser representado pelo o sinal $\mathrm {X(e^{j(2\pi /N)k})} \$ discreto e periódico em $\mathrm {2\pi } \$ .

Para obter a equação de análise (DFT) pode ser feito o cálculo das amostras do espectro de frequências em $\mathrm {\omega _{k}=(2\pi /N)k} \$ em:

\mathrm {X(e^{j\omega })=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x(n)e^{-j\omega n}}

\mathrm {X(e^{j(2\pi /N)k})=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x(n)e^{-j(2\pi /N)kn}}

Conforme mostrado, o espectro é periódico em N, e portanto é suficiente calcular apenas os valores para $\mathrm {0\leq k\leq N-1} \$ . Assim obtém-se

A equação de análise (DFT): É uma transformação de um domínio de uma variável real $\mathrm {x(n)} \$ de tempo discreto em uma variável complexa $\mathrm {X(e^{j(2\pi /N)k})} \$ frequência discreta periódica.; $\mathrm {\ DT\rightarrow DF}$ .

\mathrm {x:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {C} }

.

\mathrm {X(e^{j(2\pi /N)k})\equiv {\mathcal {F}}\{x(n)\}\ {\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}\sum _{n=0}^{N-1}x(n)\ e^{-j(2\pi /N)kn}}

, para

\mathrm {0\leq k\leq N-1} \

A equação de síntese (IDFT): É uma transformação de um domínio de uma variável complexa $\mathrm {X(e^{j(2\pi /N)k})} \$ de frequência discreta periódica em uma variável real $\mathrm {x(n)} \$ discreta.; $\mathrm {\ DF\rightarrow DT}$ .

\mathrm {X:\mathbb {C} \rightarrow \mathbb {R} }

.

\mathrm {x(n)\equiv {\mathcal {F}}^{-1}\{X(e^{j(2\pi /N)k})\}\ {\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}{\frac {1}{N}}\sum _{k=0}^{N-1}X(e^{j(2\pi /N)k})\ e^{j(2\pi /N)kn}}

, para

\mathrm {0\leq n\leq N-1} \

Ao usar a equação de análise, se o comprimento L de $\mathrm {x(n)} \$ for menor que o período de repetição N, é necessário que $\mathrm {x(n)} \$ seja preenchido com amostras nulas até atingir o comprimento N (zero-padding).

Simplificação da notação

Para simplificar a notação é frequente utilizar:

\mathrm {X(k)=X(e^{j(2\pi /N)k})} \

para a frequência discreta periódica.

E ainda definir:

\mathrm {W_{N}=e^{-j2\pi /N}} \

o qual representa um segmento $1/N$ do circulo unitário no plano complexo. Assim termos por exemplo que:

\mathrm {W_{1}=e^{-j2\pi }} =+1\

\mathrm {W_{-1}=e^{j2\pi }} =+1\

\mathrm {W_{2}=e^{-j\pi }} =-1\

\mathrm {W_{-2}=e^{j\pi }} =-1\

\mathrm {W_{4}=e^{-j\pi /2}} =-j\

\mathrm {W_{-4}=e^{j\pi /2}} =+j\

Também é importante lembrar que se $N\$ é múltiplo de $k\$ então:

\mathrm {W_{N}^{k}=e^{-j(2\pi /N)k}=e^{-j2\pi /(N/k)}=W_{N/k}} \

Dessa forma as equações da DFT e IDFT passam a ser escritas de forma simplificada como:

\mathrm {X(k)=\sum _{n=0}^{N-1}x(n)W_{N}^{kn}}

, para

\mathrm {0\leq k\leq N-1} \

\mathrm {x(n)={\frac {1}{N}}\sum _{k=0}^{N-1}X(k)W_{N}^{-kn}}

, para

\mathrm {0\leq n\leq N-1} \

Dessas equações é possível perceber que o cálculo da DFT e da IDFT requerem a $\mathrm {N^{2}} \$ multiplicações e $\mathrm {N(N-1)} \$ somas, sendo portanto um algoritmo de $\mathrm {O(N^{2})} \$ .