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Linha 159: |
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| Ao usar a equação de análise, se o comprimento L de <math> \mathrm{x(n)} \ </math> for menor que o período de repetição N, é necessário que <math> \mathrm{x(n)} \ </math> seja preenchido com amostras nulas até atingir o comprimento N (''zero-padding''). | | Ao usar a equação de análise, se o comprimento L de <math> \mathrm{x(n)} \ </math> for menor que o período de repetição N, é necessário que <math> \mathrm{x(n)} \ </math> seja preenchido com amostras nulas até atingir o comprimento N (''zero-padding''). |
| | | |
− | ;Simplificação da notação:
| + | === Equação simplificada da TDF e TDFI=== |
− | Para simplificar a notação é podemos utilizar: | + | Para simplificar a notação pode-se utilizar para representar as frequência discreta: |
− | :<math> \mathrm{X(k) = X(e^{j(2 \pi /N)k})} \ </math> para a frequência discreta periódica. | + | :<math> \mathrm{X(k) = X(e^{j(2 \pi /N)k})} \ </math>, |
− | E ainda definir:
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− | :<math> \mathrm{W_N = e^{-j2 \pi /N}} \ </math> como a frequência fundamental
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| | | |
− | Essa frequência pode ser representada como uma posição no circulo unitário do plano complexo :<math> z \ </math>.
| + | definir a frequência fundamental <math> \omega_N \ </math> como: |
| + | :<math> \omega_N = e^{-j2 \pi /N} \ </math> |
| | | |
− | Alguns valores de <math> \mathrm{W_N \ </math> que ajudam a lembrar as simplificações: | + | então |
− | :<math> \mathrm{W_1 = e^{-j2 \pi}} = +1 \ </math> | + | :<math> e^{j(2 \pi /N)k} = \omega_N^k \ </math> |
− | :<math> \mathrm{W_{-1} = e^{j2 \pi}} = +1 \ </math> | + | |
− | :<math> \mathrm{W_2 = e^{-j \pi}} = -1 \ </math> | + | Essa frequência corresponde a uma posição no circulo unitário do plano complexo <math> z \ </math>. |
− | :<math> \mathrm{W_{-2} = e^{j \pi}} = -1 \ </math> | + | |
− | :<math> \mathrm{W_4 = e^{-j \pi/2}} = -j \ </math> | + | Alguns valores de <math> \omega_N \ </math> que ajudam a lembrar as simplificações: |
− | :<math> \mathrm{W_{-4} = e^{j \pi/2}} = +j \ </math> | + | :<math> \omega_1 = e^{-j2 \pi} = +1 \ </math> |
| + | :<math> \omega_{-1} = e^{j2 \pi} = +1 \ </math> |
| + | :<math> \omega_2 = e^{-j \pi} = -1 \ </math> |
| + | :<math> \omega_{-2} = e^{j \pi} = -1 \ </math> |
| + | :<math> \omega_4 = e^{-j \pi/2} = -j \ </math> |
| + | :<math> \omega_{-4} = e^{j \pi/2} = +j \ </math> |
| | | |
| | | |
| Também é importante lembrar que se <math> N \ </math> é múltiplo de <math> k \ </math> então: | | Também é importante lembrar que se <math> N \ </math> é múltiplo de <math> k \ </math> então: |
− | ::<math> \mathrm{W_N^k = e^{-j(2 \pi /N)k} = e^{-j2 \pi /(N/k)} = W_{N/k}} \ </math> | + | ::<math> \omega_N^k = e^{-j(2 \pi /N)k} = e^{-j2 \pi /(N/k)} = \omega_{N/k} \ </math> |
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| Dessa forma as equações da TDF e TDFI passam a ser escritas de forma simplificada como: | | Dessa forma as equações da TDF e TDFI passam a ser escritas de forma simplificada como: |
| + | ;Equação de análise: |
| + | :<math>\mathrm{X(k) = \sum_{n= 0}^{N-1} x(n) \omega_N^{kn}}</math> , para <math> \mathrm{0 \le k \le N-1} \ </math> |
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− | :<math>\mathrm{X(k) = \sum_{n= 0}^{N-1} x(n) W_N^{kn}}</math> , para <math> \mathrm{0 \le k \le N-1} \ </math> | + | ;Equação de síntese: |
− | | + | :<math>\mathrm{x(n) = \frac{1}{N}\sum_{k= 0}^{N-1} X(k) \omega_N^{-kn}}</math> , para <math> \mathrm{0 \le n \le N-1} \ </math> |
− | :<math>\mathrm{x(n) = \frac{1}{N}\sum_{k= 0}^{N-1} X(k) W_N^{-kn}}</math> , para <math> \mathrm{0 \le n \le N-1} \ </math> | |
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− | Dessas equações é possível perceber que o cálculo da DFT e da IDFT requerem a <math> \mathrm{N^2} \ </math> multiplicações e <math> \mathrm{N(N-1)} \ </math> somas, sendo portanto um algoritmo de <math> \mathrm{O(N^2)} \ </math>. | + | Dessas equações é possível perceber que o cálculo da TDF e da TDFI requerem a <math> \mathrm{N^2} \ </math> multiplicações e <math> \mathrm{N(N-1)} \ </math> somas, sendo portanto um algoritmo de <math> \mathrm{O(N^2)} \ </math>. |
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| === Transformada Rápida de Fourier (FFT) === | | === Transformada Rápida de Fourier (FFT) === |
Transformada de Fourier no tempo contínuo (TFTC)
O sinal é contínuo no tempo, e o sinal é contínuo na frequência.
- A equação de análise
- É uma transformação de um domínio de uma variável real de tempo continuo em uma variável complexa de frequência contínua.
- .
- .
- A equação de síntese
- É uma transformação de um domínio de uma variável complexa de frequência contínua em uma variável real de tempo continuo.
- .
- .
- A transformada de Fourier , por simplificação é muitas vezes representada apenas por ou , mas é importante lembrar que tratasse de uma frequência complexa, representada pelo eixo imaginário do plano s.
Figura 1 - Sinal e sua transformada de Fourier
Fonte: Elaborado pelo autor.
- Para relembrar os conceitos vistos em Sinais e Sistemas, recomendo assitir os vídeos sobre Transformada de Fourier do prof. Luis Antonio Aguirre da UFMG
Introdução a Transformada de Fourier
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Existência da Transformada Fourier
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Transformada de Fourier: Propriedades 1
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Transformada de Fourier: Propriedades 2
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Transformada de Fourier para Sinais Periodicos
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Transformada Z
A transformada Z de um sinal de tempo discreto é a função definida como
- onde é um inteiro; é um número complexo, com sendo sua magnitude, e sua frequência angular (em radianos por amostra).
A transformada Z inversa é
onde é o caminho antihorário envolvendo a origem, dentro da região de convergencia (ROC) de .
Transformada de Fourier de tempo discreto (TFTD)
O sinal é discreto no tempo, e o sinal é contínuo e periódico em .
- A equação de análise
- É uma transformação de um domínio de uma variável real de tempo discreto em uma variável complexa frequência contínua periódica.
- .
- .
- A equação de síntese
- É uma transformação de um domínio de uma variável complexa de frequência contínua periódica em uma variável real continua.
- .
- .
Como a transformada de Fourier é periódica com período , pois , para , ela pode ser calculada em qualquer faixa de , por exemplo .
Figura 2 - Sinal discreto e sua TFDT
Fonte: Elaborado pelo autor.
Série de Fourier de tempo contínuo (SF)
O sinal é contínuo e periódico no tempo (com período ) , e o sinal é discreto na frequência.
- A equação de análise
- É uma transformação de um domínio de uma variável real de tempo continuo em uma variável complexa de frequência discreta.
- .
- .
- A equação de síntese
- É uma transformação de um domínio de uma variável complexa de frequência contínua em uma variável real de tempo continuo.
- .
- .
- A série de Fourier , indicada acima é a série exponencial onde as funções de base são exponenciais complexas , onde . Também existem as séries de Fourier usando funções de base senoidais e cossenoidais, as quais podem ser derivadas da série exponencial.
Figura 3 - Sinal periódico e sua série de Fourier
800 px
Fonte: Elaborado pelo autor.
Transformada de Discreta de Fourier (TDF)
Discrete Fourier Transform (DFT).
Obtenção da TDF a partir da amostragem da TFTD
Sinais discretos no tempo podem ser representados pela sua TFTD, que é uma função continua periódica em de :
Para que a mesma possa ser utilizada no processamento de sinais digitais é necessário que a variável frequência seja também discreta. Se amostrarmos uniformemente a frequência em N amostras entre 0 e é possível obter a TDF (ou DFT - Discrete Fourier Transform). Assim se tomarmos N frequências com , and , obtemos o espectro amostrado uniformemente:
- .
O sinal equivalente no tempo pode ser obtido aplicando a transformada inversa e a convolução:
- .
O que mostra que o sinal Esse sinal são repetições periódicas (com período N) do sinal discreto original.
- Note que N o período de repetição do sinal é o mesmo período de repetição das N amostras da TFTD original.
- Se o comprimento L o sinal do for maior que N o período de repetição do sinal , haverá sobreposição das amostras no tempo (time aliasing), e não será possível recuperar o sinal original.
- Por outro lado, se então é a repetição periódica exata de .
- , para ou
- .
Portanto, é possível recuperar as amostras do sinal digital no tempo a partir das suas amostras digitais na frequência, desde que o período de repetição das N amostras de frequência seja maior ou igual ao comprimento L do sinal no tempo.
TDF e TDFI
O sinal é discreto no tempo pode ser representado pelo o sinal ou discreto e periódico em .
Para obter a equação de análise (DFT) pode ser feito o cálculo das amostras do espectro de frequências em em:
Conforme mostrado, o espectro é periódico em N, e portanto é suficiente calcular apenas os valores para . Assim obtém-se
- A equação de análise (TDF)
- É uma transformação de um domínio de uma variável real de tempo discreto em uma variável complexa frequência discreta periódica.
- .
- .
- , para
- A equação de síntese (TDFI)
- É uma transformação de um domínio de uma variável complexa de frequência discreta periódica em uma variável real discreta.
- .
- .
- , para
Ao usar a equação de análise, se o comprimento L de for menor que o período de repetição N, é necessário que seja preenchido com amostras nulas até atingir o comprimento N (zero-padding).
Equação simplificada da TDF e TDFI
Para simplificar a notação pode-se utilizar para representar as frequência discreta:
- ,
definir a frequência fundamental como:
então
Essa frequência corresponde a uma posição no circulo unitário do plano complexo .
Alguns valores de que ajudam a lembrar as simplificações:
Também é importante lembrar que se é múltiplo de então:
Dessa forma as equações da TDF e TDFI passam a ser escritas de forma simplificada como:
- Equação de análise
- , para
- Equação de síntese
- , para
Dessas equações é possível perceber que o cálculo da TDF e da TDFI requerem a multiplicações e somas, sendo portanto um algoritmo de .
Transformada Rápida de Fourier (FFT)
As FFTs são algoritmos que reduzem a complexidade do cálculo da TDF, obtendo ordens de .
- Para relembrar os conceitos vistos acima, recomendo assistir os vídeos sobre DFT e FFT do prof. Steve Brunton da University of Washington
The Discrete Fourier Transform (DFT)
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Computing the DFT Matrix
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The Fast Fourier Transform (FFT)
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The Fast Fourier Transform Algorithm
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Soma dos termos de uma Progressão Geométrica
A soma aritmética dos termos de uma P.G. a partir do primeiro termo, é definida por:
Caso , a soma pode ser descrita por: