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| ==Transformada de Discreta de Fourier (TDF)== | | ==Transformada de Discreta de Fourier (TDF)== |
| + | ''Discrete Fourier Transform (DFT)''. |
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| ===Obtenção da TDF a partir da amostragem da TFTD=== | | ===Obtenção da TDF a partir da amostragem da TFTD=== |
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| Portanto, é possível recuperar as amostras do sinal digital no tempo <math> \mathrm{x(n)} \ </math> a partir das suas amostras digitais na frequência, desde que o período de repetição das N amostras de frequência seja maior ou igual ao comprimento L do sinal no tempo. | | Portanto, é possível recuperar as amostras do sinal digital no tempo <math> \mathrm{x(n)} \ </math> a partir das suas amostras digitais na frequência, desde que o período de repetição das N amostras de frequência seja maior ou igual ao comprimento L do sinal no tempo. |
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− | ===DFT e IDFT=== | + | ===TDF e TDFI=== |
| *O sinal <math> \mathrm{x(n)} \ </math> é discreto no tempo pode ser representado pelo o sinal <math> \mathrm{X(e^{j(2 \pi /N)k})} \ </math> discreto e periódico em <math> \mathrm{2 \pi} \ </math>. | | *O sinal <math> \mathrm{x(n)} \ </math> é discreto no tempo pode ser representado pelo o sinal <math> \mathrm{X(e^{j(2 \pi /N)k})} \ </math> discreto e periódico em <math> \mathrm{2 \pi} \ </math>. |
| Para obter a equação de análise (DFT) pode ser feito o cálculo das amostras do espectro de frequências em <math> \mathrm{\omega_k = (2 \pi /N)k} \ </math> em: | | Para obter a equação de análise (DFT) pode ser feito o cálculo das amostras do espectro de frequências em <math> \mathrm{\omega_k = (2 \pi /N)k} \ </math> em: |
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| Conforme mostrado, o espectro é periódico em N, e portanto é suficiente calcular apenas os valores para <math> \mathrm{0 \le k \le N-1} \ </math>. Assim obtém-se | | Conforme mostrado, o espectro é periódico em N, e portanto é suficiente calcular apenas os valores para <math> \mathrm{0 \le k \le N-1} \ </math>. Assim obtém-se |
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− | ;A equação de análise (DFT): É uma transformação de um domínio de uma variável real <math> \mathrm{x(n)} \ </math> de tempo discreto em uma variável complexa <math> \mathrm{X(e^{j(2 \pi /N)k})} \ </math> frequência discreta periódica. | + | ;A equação de análise (TDF): É uma transformação de um domínio de uma variável real <math> \mathrm{x(n)} \ </math> de tempo discreto em uma variável complexa <math> \mathrm{X(e^{j(2 \pi /N)k})} \ </math> frequência discreta periódica. |
| :<math>\mathrm{\ DT \rightarrow DF}</math>. | | :<math>\mathrm{\ DT \rightarrow DF}</math>. |
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| e^{-j(2 \pi /N)k n}}</math> , para <math> \mathrm{0 \le k \le N-1} \ </math> | | e^{-j(2 \pi /N)k n}}</math> , para <math> \mathrm{0 \le k \le N-1} \ </math> |
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− | ;A equação de síntese (IDFT): É uma transformação de um domínio de uma variável complexa <math> \mathrm{X(e^{j(2 \pi /N)k})} \ </math> de frequência discreta periódica em uma variável real <math> \mathrm{x(n)} \ </math> discreta. | + | ;A equação de síntese (TDFI): É uma transformação de um domínio de uma variável complexa <math> \mathrm{X(e^{j(2 \pi /N)k})} \ </math> de frequência discreta periódica em uma variável real <math> \mathrm{x(n)} \ </math> discreta. |
| :<math>\mathrm{\ DF \rightarrow DT}</math>. | | :<math>\mathrm{\ DF \rightarrow DT}</math>. |
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| ::<math> \mathrm{W_N^k = e^{-j(2 \pi /N)k} = e^{-j2 \pi /(N/k)} = W_{N/k}} \ </math> | | ::<math> \mathrm{W_N^k = e^{-j(2 \pi /N)k} = e^{-j2 \pi /(N/k)} = W_{N/k}} \ </math> |
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− | Dessa forma as equações da DFT e IDFT passam a ser escritas de forma simplificada como: | + | Dessa forma as equações da TDF e TDFI passam a ser escritas de forma simplificada como: |
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| :<math>\mathrm{X(k) = \sum_{n= 0}^{N-1} x(n) W_N^{kn}}</math> , para <math> \mathrm{0 \le k \le N-1} \ </math> | | :<math>\mathrm{X(k) = \sum_{n= 0}^{N-1} x(n) W_N^{kn}}</math> , para <math> \mathrm{0 \le k \le N-1} \ </math> |
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| === Transformada Rápida de Fourier (FFT) === | | === Transformada Rápida de Fourier (FFT) === |
− | As FFTs são algoritmos que reduzem a complexidade do cálculo da DFT, obtendo ordens de <math> \mathrm{ O(log N \times N)} \ </math>. | + | As FFTs são algoritmos que reduzem a complexidade do cálculo da TDF, obtendo ordens de <math> \mathrm{ O(log N \times N)} \ </math>. |
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− | *Para relembrar os conceitos vistos acima, recomendo assistir os vídeos sobre DFT do prof. Steve Brunton da University of Washington | + | *Para relembrar os conceitos vistos acima, recomendo assistir os vídeos sobre DFT e FFT do prof. Steve Brunton da University of Washington |
| {| class="wikitable" | | {| class="wikitable" |
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Transformada de Fourier no tempo contínuo (TFTC)
O sinal é contínuo no tempo, e o sinal é contínuo na frequência.
- A equação de análise
- É uma transformação de um domínio de uma variável real de tempo continuo em uma variável complexa de frequência contínua.
- .
- .
- A equação de síntese
- É uma transformação de um domínio de uma variável complexa de frequência contínua em uma variável real de tempo continuo.
- .
- .
- A transformada de Fourier , por simplificação é muitas vezes representada apenas por ou , mas é importante lembrar que tratasse de uma frequência complexa, representada pelo eixo imaginário do plano s.
Figura 1 - Sinal e sua transformada de Fourier
Fonte: Elaborado pelo autor.
- Para relembrar os conceitos vistos em Sinais e Sistemas, recomendo assitir os vídeos sobre Transformada de Fourier do prof. Luis Antonio Aguirre da UFMG
Introdução a Transformada de Fourier
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Existência da Transformada Fourier
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Transformada de Fourier: Propriedades 1
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Transformada de Fourier: Propriedades 2
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Transformada de Fourier para Sinais Periodicos
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Transformada Z
A transformada Z de um sinal de tempo discreto é a função definida como
- onde é um inteiro; é um número complexo, com sendo sua magnitude, e sua frequência angular (em radianos por amostra).
A transformada Z inversa é
onde é o caminho antihorário envolvendo a origem, dentro da região de convergencia (ROC) de .
Transformada de Fourier de tempo discreto (TFTD)
O sinal é discreto no tempo, e o sinal é contínuo e periódico em .
- A equação de análise
- É uma transformação de um domínio de uma variável real de tempo discreto em uma variável complexa frequência contínua periódica.
- .
- .
- A equação de síntese
- É uma transformação de um domínio de uma variável complexa de frequência contínua periódica em uma variável real continua.
- .
- .
Como a transformada de Fourier é periódica com período , pois , para , ela pode ser calculada em qualquer faixa de , por exemplo .
Figura 2 - Sinal discreto e sua TFDT
Fonte: Elaborado pelo autor.
Série de Fourier de tempo contínuo (SF)
O sinal é contínuo e periódico no tempo (com período ) , e o sinal é discreto na frequência.
- A equação de análise
- É uma transformação de um domínio de uma variável real de tempo continuo em uma variável complexa de frequência discreta.
- .
- .
- A equação de síntese
- É uma transformação de um domínio de uma variável complexa de frequência contínua em uma variável real de tempo continuo.
- .
- .
- A série de Fourier , indicada acima é a série exponencial onde as funções de base são exponenciais complexas , onde . Também existem as séries de Fourier usando funções de base senoidais e cossenoidais, as quais podem ser derivadas da série exponencial.
Figura 3 - Sinal periódico e sua série de Fourier
800 px
Fonte: Elaborado pelo autor.
Transformada de Discreta de Fourier (TDF)
Discrete Fourier Transform (DFT).
Obtenção da TDF a partir da amostragem da TFTD
Sinais discretos no tempo podem ser representados pela sua TFTD, que é uma função continua periódica em de :
Para que a mesma possa ser utilizada no processamento de sinais digitais é necessário que a variável frequência seja também discreta. Se amostrarmos uniformemente a frequência em N amostras entre 0 e é possível obter a TDF (ou DFT - Discrete Fourier Transform). Assim se tomarmos N frequências com , and , obtemos o espectro amostrado uniformemente:
- .
O sinal equivalente no tempo pode ser obtido aplicando a transformada inversa e a convolução:
- .
O que mostra que o sinal Esse sinal são repetições periódicas (com período N) do sinal discreto original.
- Note que N o período de repetição do sinal é o mesmo período de repetição das N amostras da TFTD original.
- Se o comprimento L o sinal do for maior que N o período de repetição do sinal , haverá sobreposição das amostras no tempo (time aliasing), e não será possível recuperar o sinal original.
- Por outro lado, se então é a repetição periódica exata de .
- , para ou
- .
Portanto, é possível recuperar as amostras do sinal digital no tempo a partir das suas amostras digitais na frequência, desde que o período de repetição das N amostras de frequência seja maior ou igual ao comprimento L do sinal no tempo.
TDF e TDFI
- O sinal é discreto no tempo pode ser representado pelo o sinal discreto e periódico em .
Para obter a equação de análise (DFT) pode ser feito o cálculo das amostras do espectro de frequências em em:
Conforme mostrado, o espectro é periódico em N, e portanto é suficiente calcular apenas os valores para . Assim obtém-se
- A equação de análise (TDF)
- É uma transformação de um domínio de uma variável real de tempo discreto em uma variável complexa frequência discreta periódica.
- .
- .
- , para
- A equação de síntese (TDFI)
- É uma transformação de um domínio de uma variável complexa de frequência discreta periódica em uma variável real discreta.
- .
- .
- , para
Ao usar a equação de análise, se o comprimento L de for menor que o período de repetição N, é necessário que seja preenchido com amostras nulas até atingir o comprimento N (zero-padding).
- Simplificação da notação
Para simplificar a notação é podemos utilizar:
- para a frequência discreta periódica.
E ainda definir:
- como a frequência fundamental
Essa frequência pode ser representada como uma posição no circulo unitário do plano complexo :.
Alguns valores de Falhou ao verificar gramática (erro de sintaxe): {\displaystyle \mathrm{W_N \ }
que ajudam a lembrar as simplificações:
Também é importante lembrar que se é múltiplo de então:
Dessa forma as equações da TDF e TDFI passam a ser escritas de forma simplificada como:
- , para
- , para
Dessas equações é possível perceber que o cálculo da DFT e da IDFT requerem a multiplicações e somas, sendo portanto um algoritmo de .
Transformada Rápida de Fourier (FFT)
As FFTs são algoritmos que reduzem a complexidade do cálculo da TDF, obtendo ordens de .
- Para relembrar os conceitos vistos acima, recomendo assistir os vídeos sobre DFT e FFT do prof. Steve Brunton da University of Washington
The Discrete Fourier Transform (DFT)
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Computing the DFT Matrix
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The Fast Fourier Transform (FFT)
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The Fast Fourier Transform Algorithm
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Soma dos termos de uma Progressão Geométrica
A soma aritmética dos termos de uma P.G. a partir do primeiro termo, é definida por:
Caso , a soma pode ser descrita por: