Transformadas de Fourier

Transformada de Fourier no tempo contínuo (TFTC)

O sinal $\mathrm {x(t)}$ é contínuo no tempo, e o sinal $\mathrm {X(j\Omega )}$ é contínuo na frequência.

A equação de análise

É uma transformação de um domínio de uma variável real $\mathrm {x(t)}$ de tempo continuo em uma variável complexa $\mathrm {X(j\Omega )}$ de frequência contínua.

$\mathrm {\ DT\rightarrow DF}$.

$\mathrm {x:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {C} }$.

$$\mathrm {X(j\Omega )\equiv {\mathcal {F}}\{x(t)\}\ {\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}\int _{-\infty }^{\infty }x(t)\ e^{-j\Omega t}\operatorname {d} \!t}$$

A equação de síntese

É uma transformação de um domínio de uma variável complexa $\mathrm {X(j\Omega )}$ de frequência contínua em uma variável real $\mathrm {x(t)}$ de tempo continuo.

$\mathrm {\ DF\rightarrow DT}$.

$\mathrm {X:\mathbb {C} \rightarrow \mathbb {R} }$.

$$\mathrm {x(t)\equiv {\mathcal {F}}^{-1}\{X(j\Omega )\}\ {\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}{\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }X(j\Omega )\ e^{j\Omega t}\operatorname {d} \!\Omega }$$

A transformada de Fourier $\mathrm {X(j\Omega )}$, por simplificação é muitas vezes representada apenas por $\mathrm {X(\Omega )}$ ou $\mathrm {X(\omega )}$, mas é importante lembrar que tratasse de uma frequência complexa, representada pelo eixo imaginário do plano s.

Figura 1 - Sinal $\mathrm {x(t)}$ e sua transformada de Fourier $\mathrm {X(\Omega )}$ Fonte: Elaborado pelo autor.

Transformada Z

A transformada Z de um sinal de tempo discreto $x(n)\,$ é a função $X(z)\,$ definida como

$X(z)=Z\{x(n)\}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x(n)z^{-n}\$

onde $n\,$ é um inteiro; $z=Ae^{j\phi }\$ é um número complexo, com $A\,$ sendo sua magnitude, e $\phi \,$ sua frequência angular (em radianos por amostra).

A transformada Z inversa é

$x(n)=Z^{-1}\{X(z)\}={\frac {1}{2\pi j}}\oint _{C}X(z)z^{n-1}dz\$

onde $C\$ é o caminho antihorário envolvendo a origem, dentro da região de convergencia (ROC) de $X(z)\,$.

Transformada de Fourier de tempo discreto (TFTD)

O sinal $\mathrm {x(n)}$ é discreto no tempo, e o sinal $\mathrm {X(\Omega )}$ é contínuo e periódico em $\mathrm {2\pi }$.

A equação de análise

É uma transformação de um domínio de uma variável real $\mathrm {x(n)}$ de tempo discreto em uma variável complexa $\mathrm {X(e^{j\omega })}$ frequência contínua periódica.

$\mathrm {\ DT\rightarrow DF}$.

$\mathrm {x:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {C} }$.

$$\mathrm {X(e^{j\omega })\equiv {\mathcal {F}}\{x(n)\}\ {\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}\sum _{n=-\infty }^{\infty }x(n)\ e^{-j\omega n}}$$

A equação de síntese

É uma transformação de um domínio de uma variável complexa $\mathrm {X(e^{j\omega })}$ de frequência contínua periódica em uma variável real $\mathrm {x(n)}$ continua.

$\mathrm {\ DF\rightarrow DT}$.

$\mathrm {X:\mathbb {C} \rightarrow \mathbb {R} }$.

$$\mathrm {x(n)\equiv {\mathcal {F}}^{-1}\{X(e^{j\omega })\}\ {\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}{\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }X(e^{j\omega })\ e^{j\omega n}\operatorname {d} \omega }$$

Como a transformada de Fourier $\mathrm {X(e^{j\omega })}$ é periódica com período $\mathrm {2\pi }$, pois $\mathrm {X(e^{j\omega })=X(e^{j(\omega +2\pi k)})}$, para $\mathrm {k\in \mathbb {Z} }$, ela pode ser calculada em qualquer faixa de $\mathrm {2\pi }$, por exemplo $\mathrm {\omega \in [-\pi ,\pi )}$.

$$\mathrm {x(n)\equiv {\mathcal {F}}^{-1}\{X(e^{j\omega })\}\ {\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}{\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }X(e^{j\omega })\ e^{j\omega n}\operatorname {d} \omega }$$

Figura 2 - Sinal discreto $\mathrm {x(n)}$ e sua TFDT $\mathrm {X(e^{j\omega })}$ Fonte: Elaborado pelo autor.

Série de Fourier de tempo contínuo (SF)

O sinal $\mathrm {x(t)}$ é contínuo e periódico no tempo (com período $T$) , e o sinal $\mathrm {X(k)}$ é discreto na frequência.

A equação de análise

É uma transformação de um domínio de uma variável real $\mathrm {x(t)}$ de tempo continuo em uma variável complexa $\mathrm {X(k)}$ de frequência discreta.

$\mathrm {\ DT\rightarrow DF}$.

$\mathrm {x:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {C} }$.

$X(k)={\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}x(t)e^{-j(2\pi /T)kt)}\mathrm {d} t$

A equação de síntese

É uma transformação de um domínio de uma variável complexa $\mathrm {X(k)}$ de frequência contínua em uma variável real $\mathrm {x(t)}$ de tempo continuo.

$\mathrm {\ DF\rightarrow DT}$.

$\mathrm {X:\mathbb {C} \rightarrow \mathbb {R} }$.

$x(t)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }X(k)e^{j(2\pi /T)kt)}$

A série de Fourier $\mathrm {X(k)}$, indicada acima é a série exponencial onde as funções de base são exponenciais complexas $e^{-j\omega t}$, onde $\omega =(2\pi /T)k$. Também existem as séries de Fourier usando funções de base senoidais e cossenoidais, as quais podem ser derivadas da série exponencial.

Figura 3 - Sinal $\mathrm {x(t)}$ periódico e sua série de Fourier $\mathrm {X(\Omega )}$ 800 px Fonte: Elaborado pelo autor.

Transformada de Discreta de Fourier (TDF)

Obtenção da TDF a partir da amostragem da TFTD

Sinais discretos no tempo podem ser representados pela sua TFTD, que é uma função continua periódica em $\mathrm {2\pi }$ de $\mathrm {\omega }$ :

$\mathrm {X(e^{j\omega })=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x(n)e^{-j\omega n}}$

Para que a mesma possa ser utilizada no processamento de sinais digitais é necessário que a variável frequência seja também discreta. Se amostrarmos uniformemente a frequência $\mathrm {\omega }$ em N amostras entre 0 e $\mathrm {2\pi }$ é possível obter a TDF (ou DFT - Discrete Fourier Transform). Assim se tomarmos N frequências $\mathrm {\omega _{k}=(2\pi /N)k} \$ com $k\in \mathbb {Z} \$, and $\mathrm {0\leq k\leq N-1} \$, obtemos o espectro amostrado uniformemente:

$\mathrm {X'(e^{j\omega })=X(e^{j\omega })\sum _{k=-\infty }^{\infty }\delta \left(\omega -{\frac {2\pi }{N}}k\right)}$.

O sinal equivalente no tempo pode ser obtido aplicando a transformada inversa e a convolução:

$\mathrm {x'(n)={\mathcal {F}}^{-1}\{X'(e^{j\omega })\}=x(n)*\left({\frac {N}{2\pi }}\sum _{p=-\infty }^{\infty }\delta (n-Np)\right)={\frac {N}{2\pi }}\sum _{p=-\infty }^{\infty }x(n-Np)}$.

O que mostra que o sinal Esse sinal $\mathrm {x'(n)} \$ são repetições periódicas (com período N) do sinal discreto $\mathrm {x(n)} \$ original.

• Note que N o período de repetição do sinal $\mathrm {x'(n)} \$ é o mesmo período de repetição das N amostras da TFTD $\mathrm {X(e^{j\omega })} \$ original.
• Se o comprimento L o sinal do $\mathrm {x(n)} \$ for maior que N o período de repetição do sinal $\mathrm {x'(n)} \$, haverá sobreposição das amostras no tempo (time aliasing), e não será possível recuperar o sinal original.
• Por outro lado, se $\mathrm {L\leq N} \$ então $\mathrm {x'(n)} \$ é a repetição periódica exata de $\mathrm {x(n)} \$.

$\mathrm {x(n)={\frac {2\pi }{N}}x'(n)}$ , para $\mathrm {0\leq n\leq N-1} \$ ou

$\mathrm {x(n)={\frac {2\pi }{N}}x'(n)} [u(n)-u(n-N)\$.

Portanto, é possível recuperar as amostras do sinal digital no tempo $\mathrm {x(n)} \$ a partir das suas amostras digitais na frequência, desde que o período de repetição das N amostras de frequência seja maior ou igual ao comprimento L do sinal no tempo.

DFT e IDFT

• O sinal $\mathrm {x(n)} \$ é discreto no tempo pode ser representado pelo o sinal $\mathrm {X(e^{j(2\pi /N)k})} \$ discreto e periódico em $\mathrm {2\pi } \$.

Para obter a equação de análise (DFT) pode ser feito o cálculo das amostras do espectro de frequências em $\mathrm {\omega _{k}=(2\pi /N)k} \$ em:

$$\mathrm {X(e^{j\omega })=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x(n)e^{-j\omega n}}$$

$$\mathrm {X(e^{j(2\pi /N)k})=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x(n)e^{-j(2\pi /N)kn}}$$

Conforme mostrado, o espectro é periódico em N, e portanto é suficiente calcular apenas os valores para $\mathrm {0\leq k\leq N-1} \$. Assim obtém-se

A equação de análise (DFT)

É uma transformação de um domínio de uma variável real $\mathrm {x(n)} \$ de tempo discreto em uma variável complexa $\mathrm {X(e^{j(2\pi /N)k})} \$ frequência discreta periódica.

$\mathrm {\ DT\rightarrow DF}$.

$\mathrm {x:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {C} }$.

$$\mathrm {X(e^{j(2\pi /N)k})\equiv {\mathcal {F}}\{x(n)\}\ {\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}\sum _{n=0}^{N-1}x(n)\ e^{-j(2\pi /N)kn}}$$

, para $\mathrm {0\leq k\leq N-1} \$

A equação de síntese (IDFT)

É uma transformação de um domínio de uma variável complexa $\mathrm {X(e^{j(2\pi /N)k})} \$ de frequência discreta periódica em uma variável real $\mathrm {x(n)} \$ discreta.

$\mathrm {\ DF\rightarrow DT}$.

$\mathrm {X:\mathbb {C} \rightarrow \mathbb {R} }$.

$$\mathrm {x(n)\equiv {\mathcal {F}}^{-1}\{X(e^{j(2\pi /N)k})\}\ {\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}{\frac {1}{N}}\sum _{k=0}^{N-1}X(e^{j(2\pi /N)k})\ e^{j(2\pi /N)kn}}$$

, para $\mathrm {0\leq n\leq N-1} \$

Ao usar a equação de análise, se o comprimento L de $\mathrm {x(n)} \$ for menor que o período de repetição N, é necessário que $\mathrm {x(n)} \$ seja preenchido com amostras nulas até atingir o comprimento N (zero-padding).

Simplificação da notação

Para simplificar a notação é frequente utilizar:

$\mathrm {X(k)=X(e^{j(2\pi /N)k})} \$ para a frequência discreta periódica.

E ainda definir:

$\mathrm {W_{N}=e^{-j2\pi /N}} \$

o qual representa um segmento $1/N$ do circulo unitário no plano complexo. Assim termos por exemplo que:

$\mathrm {W_{1}=e^{-j2\pi }} =+1\$

$\mathrm {W_{-1}=e^{j2\pi }} =+1\$

$\mathrm {W_{2}=e^{-j\pi }} =-1\$

$\mathrm {W_{-2}=e^{j\pi }} =-1\$

$\mathrm {W_{4}=e^{-j\pi /2}} =-j\$

$\mathrm {W_{-4}=e^{j\pi /2}} =+j\$

Também é importante lembrar que se $N\$ é múltiplo de $k\$ então:

$\mathrm {W_{N}^{k}=e^{-j(2\pi /N)k}=e^{-j2\pi /(N/k)}=W_{N/k}} \$

Dessa forma as equações da DFT e IDFT passam a ser escritas de forma simplificada como:

$$\mathrm {X(k)=\sum _{n=0}^{N-1}x(n)W_{N}^{kn}}$$

, para $\mathrm {0\leq k\leq N-1} \$

$$\mathrm {x(n)={\frac {1}{N}}\sum _{k=0}^{N-1}X(k)W_{N}^{-kn}}$$

, para $\mathrm {0\leq n\leq N-1} \$

Dessas equações é possível perceber que o cálculo da DFT e da IDFT requerem a $\mathrm {N^{2}} \$ multiplicações e $\mathrm {N(N-1)} \$ somas, sendo portanto um algoritmo de $\mathrm {O(N^{2})} \$.

Transformada Rápida de Fourier (FFT)

As FFTs são algoritmos que reduzem a complexidade do cálculo da DFT, obtendo ordens de $\mathrm {O(logN\times N)} \$.

Soma dos termos de uma Progressão Geométrica

A soma aritmética dos termos de uma P.G. a partir do primeiro termo, é definida por:

$S_{n}==a_{1}+a_{1}q+a_{1}q^{2}+\ldots +a_{1}q^{n-1}=\sum _{i=1}^{n}a_{1}q^{i-1}$

Caso $q\neq 1\$, a soma pode ser descrita por:

$S_{n}={\frac {a_{1}(1-q^{n})}{1-q}}$