A função de transferência do filtro analógico
- onde
pode ser expandida em frações parciais, considerando os polos não múltiplos de :
dado a transformada de Laplace da exponencial decrescente
a resposta de cada termo da fração parcial é obtida como:
e portanto a resposta ao impulso do filtro analógico é dada por
Amostrando periodicamente em um período , é possível obter a resposta ao impulso do filtro analógico digitalizado.
Considerando o par de transformada Z
ou
considerando
obtém-se a função de transferência do filtro digital para a substituição exata de :
ou
Portanto cada polo do filtro analógico é transformado em um polo no filtro digital.
- Importante
Como esse tipo de transformação digital resulta em um enrolamento das frequências do filtro analógico (eixo imaginário no plano s) no circulo unitário do plano z, ocorre a repetição periódica das respostas de frequência e aliasing e frequência. Por isso é necessário que o filtro analógico seja limitado em frequência, e que a atenuação na banda de rejeição seja monotonicamente decrescente. Assim apenas filtros do tipo passa-baixas e passa-faixas com aproximação do tipo Butterworth e Chebyshev tipo 1 podem ser utilizados com esse método.