Transformação Invariante ao Impulso

A função de transferência do filtro analógico

$H_{a}(s)={\frac {c_{0}+c_{1}s+c_{2}s^{2}+...+c_{m}s^{m}}{d_{0}+d_{1}s+d_{2}s^{2}+...+d_{n}s^{n}}}$ onde $m\leq n$

pode ser expandida em frações parciais, considerando $p_{k}$ os polos não múltiplos de $H_{a}(s)$:

$H_{a}(s)=\sum _{k=1}^{K}\left({\frac {r_{k}}{s-p_{k}}}\right)$

dado a transformada de Laplace da exponencial decrescente

${1 \over s-\alpha }\longleftrightarrow e^{\alpha t}\cdot u(t)$

a resposta de cada termo da fração parcial é obtida como:

${\frac {r_{k}}{s-p_{k}}}\longleftrightarrow r_{k}e^{p_{k}t}\cdot u(t)$

e portanto a resposta ao impulso do filtro analógico é dada por

$h_{a}(t)=\sum _{k=1}^{K}\left(r_{k}e^{p_{k}t}\cdot \right)u(t)$