Mudanças entre as edições de "Transformação Invariante ao Impulso"
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: <math>h_a(t) = \sum_{k=1}^{K} \left( r_k e^{p_k t} \cdot \right) u(t)</math> | : <math>h_a(t) = \sum_{k=1}^{K} \left( r_k e^{p_k t} \cdot \right) u(t)</math> | ||
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+ | Amostrando <math>h_a(t) \ </math> periodicamente em um período <math>T \ </math>, é possível obter a resposta ao impulso do filtro analógico digitalizado. | ||
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+ | : <math>h_d(n) = h_a(n T)= \sum_{k=1}^{K} \left( r_k e^{p_k n T} \cdot \right) u(n T)</math> | ||
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+ | Considerando o par de [https://en.wikipedia.org/wiki/Z-transform#Table_of_common_Z-transform_pairs transformada Z] | ||
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+ | :<math>a^n \cdot u[n] \longleftrightarrow \frac{1}{1-a z^{-1}} </math> | ||
+ | ou | ||
+ | :<math>a^n \cdot u[n] \longleftrightarrow \frac{z}{z-a} </math> | ||
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+ | considerando | ||
+ | :<math>a = e^{p_k T}</math> | ||
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+ | obtém-se a função de transferência do filtro digital para a substituição exata de :<math>z = e^{sT} \ </math> | ||
+ | :<math>H_d(z) = \sum_{k=1}^{K} r_k \frac{1}{1-e^{p_k T}z^{-1}} </math> | ||
+ | ou | ||
+ | :<math>H_d(z) = \sum_{k=1}^{K} r_k \frac{z}{z-e^{p_k T}} </math> | ||
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+ | Portanto cada polo <math>p_k \ </math> do filtro analógico é transformado em um polo <math>a = -e^{p_k T} \ </math> no filtro digital. | ||
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+ | ;Importante: | ||
+ | Como esse tipo de transformação digital resulta em um enrolamento das frequências do filtro analógico (eixo imaginário no plano ''s'') no circulo unitário do plano ''z'', ocorre a repetição periódica das respostas de frequência e ''aliasing'' e frequência. Por isso é necessário que o filtro analógico seja limitado em frequência, e que a atenuação na banda de rejeição seja monotonicamente decrescente. Assim apenas filtros do tipo '''passa-baixas''' e '''passa-faixas''' com aproximação do tipo '''Butterworth''' e '''Chebyshev tipo 1''' podem ser utilizados com esse método. |
Edição das 20h09min de 12 de setembro de 2019
A função de transferência do filtro analógico
- onde
pode ser expandida em frações parciais, considerando os polos não múltiplos de :
dado a transformada de Laplace da exponencial decrescente
a resposta de cada termo da fração parcial é obtida como:
e portanto a resposta ao impulso do filtro analógico é dada por
Amostrando periodicamente em um período , é possível obter a resposta ao impulso do filtro analógico digitalizado.
Considerando o par de transformada Z
ou
considerando
obtém-se a função de transferência do filtro digital para a substituição exata de :
ou
Portanto cada polo do filtro analógico é transformado em um polo no filtro digital.
- Importante
Como esse tipo de transformação digital resulta em um enrolamento das frequências do filtro analógico (eixo imaginário no plano s) no circulo unitário do plano z, ocorre a repetição periódica das respostas de frequência e aliasing e frequência. Por isso é necessário que o filtro analógico seja limitado em frequência, e que a atenuação na banda de rejeição seja monotonicamente decrescente. Assim apenas filtros do tipo passa-baixas e passa-faixas com aproximação do tipo Butterworth e Chebyshev tipo 1 podem ser utilizados com esse método.