Mudanças entre as edições de "Transformação Invariante ao Impulso"
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+ | =Base teórica= | ||
A função de transferência do filtro analógico | A função de transferência do filtro analógico | ||
:<math> H_a(s) = \frac {c_0 + c_1 s + c_2 s^2 + ... + c_m s^m} {d_0 + d_1 s + d_2 s^2 + ... + d_n s^n}</math> onde <math> m \le n </math> | :<math> H_a(s) = \frac {c_0 + c_1 s + c_2 s^2 + ... + c_m s^m} {d_0 + d_1 s + d_2 s^2 + ... + d_n s^n}</math> onde <math> m \le n </math> | ||
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: <math>h_a(t) = \sum_{k=1}^{K} \left( r_k e^{p_k t} \cdot \right) u(t)</math> | : <math>h_a(t) = \sum_{k=1}^{K} \left( r_k e^{p_k t} \cdot \right) u(t)</math> | ||
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+ | Amostrando <math>h_a(t) \ </math> periodicamente em um período <math>T \ </math>, é possível obter a resposta ao impulso do filtro analógico digitalizado. | ||
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+ | : <math>h_d(n) = h_a(n T)= \sum_{k=1}^{K} \left( r_k e^{p_k n T} \cdot \right) u(n T)</math> | ||
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+ | Considerando o par de [https://en.wikipedia.org/wiki/Z-transform#Table_of_common_Z-transform_pairs transformada Z] | ||
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+ | :<math>a^n \cdot u[n] \longleftrightarrow \frac{1}{1-a z^{-1}} </math> | ||
+ | ou | ||
+ | :<math>a^n \cdot u[n] \longleftrightarrow \frac{z}{z-a} </math> | ||
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+ | considerando | ||
+ | :<math>a = e^{p_k T}</math> | ||
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+ | obtém-se a função de transferência do filtro digital para a substituição exata de :<math>z = e^{sT} \ </math> | ||
+ | :<math>H_d(z) = \sum_{k=1}^{K} r_k \frac{1}{1-e^{p_k T}z^{-1}} </math> | ||
+ | ou | ||
+ | :<math>H_d(z) = \sum_{k=1}^{K} r_k \frac{z}{z-e^{p_k T}} </math> | ||
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+ | Portanto cada polo <math>p_k \ </math> do filtro analógico é transformado em um polo <math>a = e^{p_k T} \ </math> no filtro digital | ||
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+ | =Método de transformação digital= | ||
+ | O método de transformação do filtro analógico em digital consiste básica de: | ||
+ | :1) fazer a expansão em frações parciais da função de transferência <math> H_a(s) \ </math> | ||
+ | :2) calcular os polos <math> e^{p_k T} \ </math> da função de transferência <math> H_d(z) \ </math> | ||
+ | :3) obter a divisão de polinômios para <math> H_d(z) = \frac{num(z)}{den(z)}\ </math>, para obter os coeficientes do filtro digital. | ||
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+ | ;Importante: | ||
+ | *Como esse tipo de transformação digital resulta em um enrolamento das frequências do filtro analógico (eixo imaginário no plano ''s'') no circulo unitário do plano ''z'', ocorre a repetição periódica das respostas de frequência e ''aliasing'' de frequência. Por isso é necessário que o filtro analógico seja limitado em frequência, e que a atenuação na banda de rejeição seja monotonicamente decrescente. Assim apenas filtros do tipo '''passa-baixas''' e '''passa-faixas''' com aproximação do tipo '''Butterworth''' e '''Chebyshev tipo 1''' podem ser utilizados com esse método. | ||
+ | *A dedução acima considerou apenas polos não múltiplos, e necessita de pequenos ajustes no caso da existência de polos múltiplos (situação raramente encontrada em filtros analógicos). |
Edição atual tal como às 01h12min de 23 de abril de 2020
Base teórica
A função de transferência do filtro analógico
- onde
pode ser expandida em frações parciais, considerando os polos não múltiplos de :
dado a transformada de Laplace da exponencial decrescente
a resposta de cada termo da fração parcial é obtida como:
e portanto a resposta ao impulso do filtro analógico é dada por
Amostrando periodicamente em um período , é possível obter a resposta ao impulso do filtro analógico digitalizado.
Considerando o par de transformada Z
ou
considerando
obtém-se a função de transferência do filtro digital para a substituição exata de :
ou
Portanto cada polo do filtro analógico é transformado em um polo no filtro digital
Método de transformação digital
O método de transformação do filtro analógico em digital consiste básica de:
- 1) fazer a expansão em frações parciais da função de transferência
- 2) calcular os polos da função de transferência
- 3) obter a divisão de polinômios para , para obter os coeficientes do filtro digital.
- Importante
- Como esse tipo de transformação digital resulta em um enrolamento das frequências do filtro analógico (eixo imaginário no plano s) no circulo unitário do plano z, ocorre a repetição periódica das respostas de frequência e aliasing de frequência. Por isso é necessário que o filtro analógico seja limitado em frequência, e que a atenuação na banda de rejeição seja monotonicamente decrescente. Assim apenas filtros do tipo passa-baixas e passa-faixas com aproximação do tipo Butterworth e Chebyshev tipo 1 podem ser utilizados com esse método.
- A dedução acima considerou apenas polos não múltiplos, e necessita de pequenos ajustes no caso da existência de polos múltiplos (situação raramente encontrada em filtros analógicos).