Transformação Bilinear

Discretização de filtros analógicos

A transformação bilinear do domínio analógico (Transformada de Laplace) para o domínio digital (Transformada z)

$s\leftarrow {\frac {2}{T}}{\frac {z-1}{z+1}}.$

O mapeamento inverso $H_{d}(z)\$ em $H_{a}(s)\$ é feita pela aproximação de primeira ordem da substituição

é uma aproximação de primeira ordem do logaritmo pela série de potência

$\ln(z)=2\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{2k+1}}\left({\frac {z-1}{z+1}}\right)^{2k+1}.$

resultando em um mapeamento exato do plano z no plano s através de $z=e^{sT}\$

${\begin{aligned}s&={\frac {1}{T}}\ln(z)\\&={\frac {2}{T}}\left[{\frac {z-1}{z+1}}+{\frac {1}{3}}\left({\frac {z-1}{z+1}}\right)^{3}+{\frac {1}{5}}\left({\frac {z-1}{z+1}}\right)^{5}+{\frac {1}{7}}\left({\frac {z-1}{z+1}}\right)^{7}+\cdots \right]\\&\approx {\frac {2}{T}}{\frac {z-1}{z+1}}\\&={\frac {2}{T}}{\frac {1-z^{-1}}{1+z^{-1}}}\end{aligned}}$

Assim ela pode ser utilizada para ser transformar um sistema linear invariante no tempo continuo $H_{a}(s)\$ em um sistema linear invariante no tempo discreto $H_{d}(z)\$, e vice-versa. O mapeamento da função $H_{a}(s)\$ em $H_{d}(z)\$ é feita por:

$H_{d}(z)=H_{a}(s){\bigg |}_{s={\frac {2}{T}}{\frac {z-1}{z+1}}}=H_{a}\left({\frac {2}{T}}{\frac {z-1}{z+1}}\right).\$

O mapeamento inverso $H_{d}(z)\$ em $H_{a}(s)\$ é feita pela aproximação de primeira ordem da substituição

${\begin{aligned}z&=e^{sT}\\&={\frac {e^{sT/2}}{e^{-sT/2}}}\\&\approx {\frac {1+sT/2}{1-sT/2}}\end{aligned}}$

A aproximação de Tustin

FONTE: https://www.mathworks.com/help/control/ug/continuous-discrete-conversion-methods.html#bs78nig-8

Transformação bilinear

The Bilinear transform is a useful approximation for converting continuous time filters (represented in Laplace space) into discrete time filters (represented in z space), and vice versa. To do this, you can use the following substitutions in $H(s)$ or $H(z)$ :

$s={\frac {2}{T}}{\frac {z-1}{z+1}}$ Do domínio analógico (Transformada de Laplace) para o domínio digital (Transformada z) (Tustin transformation);

$z={\frac {2+sT}{2-sT}}$ from z to Laplace.

Discrete-time approximation

The bilinear transform is a first-order approximation of the natural logarithm function that is an exact mapping of the z-plane to the s-plane. When the Laplace transform is performed on a discrete-time signal (with each element of the discrete-time sequence attached to a correspondingly delayed unit impulse), the result is precisely the Z transform of the discrete-time sequence with the substitution of

where $T\$ is the numerical integration step size of the trapezoidal rule used in the bilinear transform derivation;or, in other words, the sampling period. The above bilinear approximation can be solved for $s\$ or a similar approximation for $s=(1/T)\ln(z)\ \$ can be performed.

The inverse of this mapping (and its first-order bilinear approximation) is