Mudanças entre as edições de "Transformação Bilinear"
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&= \frac{2}{T} \left[\frac{z-1}{z+1} + \frac{1}{3} \left( \frac{z-1}{z+1} \right)^3 + \frac{1}{5} \left( \frac{z-1}{z+1} \right)^5 + \frac{1}{7} \left( \frac{z-1}{z+1} \right)^7 + \cdots \right] \\ | &= \frac{2}{T} \left[\frac{z-1}{z+1} + \frac{1}{3} \left( \frac{z-1}{z+1} \right)^3 + \frac{1}{5} \left( \frac{z-1}{z+1} \right)^5 + \frac{1}{7} \left( \frac{z-1}{z+1} \right)^7 + \cdots \right] \\ | ||
&\approx \frac{2}{T} \frac{z - 1}{z + 1} \\ | &\approx \frac{2}{T} \frac{z - 1}{z + 1} \\ | ||
− | & | + | &\approx \frac{2}{T} \frac{1 - z^{-1}}{1 + z^{-1}} |
\end{align} | \end{align} | ||
</math> | </math> | ||
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\begin{align} | \begin{align} | ||
z &= e^{sT} \\ | z &= e^{sT} \\ | ||
− | |||
&\approx \frac{1 + s T / 2}{1 - s T / 2} | &\approx \frac{1 + s T / 2}{1 - s T / 2} | ||
\end{align} | \end{align} | ||
</math> | </math> | ||
+ | |||
+ | {{collapse_top | Demonstração}} | ||
+ | :<math> | ||
+ | \begin{align} | ||
+ | &z = e^{sT} \\ | ||
+ | \text{foi visto que} \\ | ||
+ | &s \approx \frac{2}{T} \frac{z - 1}{z + 1} \\ | ||
+ | \text{então rearranjando z} \\ | ||
+ | &s T / 2(z + 1) \approx (z - 1) \\ | ||
+ | &(s T / 2) z + s T / 2 \approx z - 1 \\ | ||
+ | |||
+ | &1 + s T / 2 \approx z(1 - s T / 2) \\ | ||
+ | \text{portanto} \\ | ||
+ | &z \approx \frac{1 + s T / 2}{1 - s T / 2} | ||
+ | \end{align} | ||
+ | </math> | ||
+ | |||
+ | {{collapse_bottom}} | ||
== Empenamento de frequência (''frequency warping'') == | == Empenamento de frequência (''frequency warping'') == | ||
− | Determinar a resposta de frequência em filtro analógico (de tempo contínuo), a função de transferência <math> H_a(s) </math> é avaliada em <math>s = j \omega_a | + | Determinar a resposta de frequência em filtro analógico (de tempo contínuo), a função de transferência <math> H_a(s) </math> é avaliada em <math>s = j \omega_a </math>, que corresponde aos valores dessa função no eixo imaginário <math> j \omega </math>. Da mesma forma para filtros digitais (de tempo discreto), a função de transferência <math> H_d(z) </math> é avaliada em <math>z = e^{ j \omega_d T} </math>, correspondendo aos valores sobre o circulo unitário pois <math>z = e^{ j \omega_d T} </math> possui magnitude constante <math> |z| = 1 </math>. |
A transformação bilinear mapeia o eixo imaginário do plano ''s'' no circulo unitário no plano ''z'', no entanto o mapeamento das frequências não é linear, sofrendo um empenamento (distorção). Para utilizar essa transformação na obtenção de filtros digitais a partir de filtros analógicos, é necessário determinar como cada frequencia do filtro final desejado <math> \omega_d </math> deve ser projetada no filtro analógico <math> \omega_a </math>. Essa distorção pode ser obtida fazendo a substituição de <math>z = e^{ j \omega_d T} \ </math> na equação da transformação bilinear, e aplicando a [https://en.wikipedia.org/wiki/Euler's_formula#Relationship_to_trigonometry fórmula de Euler para o seno]. | A transformação bilinear mapeia o eixo imaginário do plano ''s'' no circulo unitário no plano ''z'', no entanto o mapeamento das frequências não é linear, sofrendo um empenamento (distorção). Para utilizar essa transformação na obtenção de filtros digitais a partir de filtros analógicos, é necessário determinar como cada frequencia do filtro final desejado <math> \omega_d </math> deve ser projetada no filtro analógico <math> \omega_a </math>. Essa distorção pode ser obtida fazendo a substituição de <math>z = e^{ j \omega_d T} \ </math> na equação da transformação bilinear, e aplicando a [https://en.wikipedia.org/wiki/Euler's_formula#Relationship_to_trigonometry fórmula de Euler para o seno]. | ||
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|<math>= H_a \left(j \frac{2}{T} \cdot \tan \left( \omega_d T/2 \right) \right) </math> | |<math>= H_a \left(j \frac{2}{T} \cdot \tan \left( \omega_d T/2 \right) \right) </math> | ||
+ | |- | ||
+ | | | ||
+ | |<math>= H_a(j \omega_a) </math>, onde <math> \omega_a = \frac{2}{T} \tan \left( \omega_d \frac{T}{2} \right) </math> | ||
|} | |} | ||
Linha 102: | Linha 122: | ||
: <math> -\frac{\pi}{T} < \omega_d < +\frac{\pi}{T}. </math> | : <math> -\frac{\pi}{T} < \omega_d < +\frac{\pi}{T}. </math> | ||
+ | <center> | ||
+ | :'''Figura - Empenamento de frequencia resultado da transformada Bilinear, para T = 1''' | ||
+ | :[[Arquivo:EmpenamtoFreqBilinear1.png | 400px]] [[Arquivo:EmpenamtoFreqBilinear2.png | 400px]] </center> | ||
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Edição atual tal como às 13h30min de 23 de abril de 2020
Discretização de filtros analógicos
A transformação bilinear do domínio da Transformada de Laplace para o domínio da Transformada z é feito por
O mapeamento inverso em é feita por
é uma aproximação de primeira ordem do logaritmo pela série de potência
Essa transformação é o resulta em um mapeamento exato do plano z no plano s através de
Demonstração |
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Ela pode ser utilizada para ser transformar um sistema linear invariante no tempo continuo (filtro analógico) em um sistema linear invariante no tempo discreto (filtro digital) , e vice-versa. O mapeamento da função em é feita por:
O mapeamento inverso em é feita pela aproximação de primeira ordem da substituição
Demonstração |
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Empenamento de frequência (frequency warping)
Determinar a resposta de frequência em filtro analógico (de tempo contínuo), a função de transferência é avaliada em , que corresponde aos valores dessa função no eixo imaginário . Da mesma forma para filtros digitais (de tempo discreto), a função de transferência é avaliada em , correspondendo aos valores sobre o circulo unitário pois possui magnitude constante .
A transformação bilinear mapeia o eixo imaginário do plano s no circulo unitário no plano z, no entanto o mapeamento das frequências não é linear, sofrendo um empenamento (distorção). Para utilizar essa transformação na obtenção de filtros digitais a partir de filtros analógicos, é necessário determinar como cada frequencia do filtro final desejado deve ser projetada no filtro analógico . Essa distorção pode ser obtida fazendo a substituição de na equação da transformação bilinear, e aplicando a fórmula de Euler para o seno.
Demonstração | ||||||||||||||
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Considere que: e que
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Isso mostra que cada ponto no circulo unitário do plano z é mapeado em um ponto no eixo imaginário do plano s. E que as frequências do filtro digital são mapeadas nas frequencias analógicas pela equação:
Além disso a faixa infinita de frequências do filtro analógico
é mapeada no filtro digital no intervalo limitado