PSD29007-Engtelecom(2018-1) - Prof. Marcos Moecke

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Unidade 1

Unidade 1 Aula 1 (16 fev) Apresentação da disciplina Autoinscrição na Plataforma Moodle de PSD29007 (PSD29006-2017-2) Revisão de Sinais e Sistemas no tempo discreto em Matlab: Aula 2 (20 fev) Revisão de Sinais e Sistemas no tempo discreto em Matlab: Explorar a interface do Matlab. Funções de visualização das variáveis no workspace. Execução de instruções passo a passo. Escrita de script .m Uso da execução das seções de um script. Incremento de valor e execução. EXEMPLOS: Leia com atenção e execute o exemplo (Moving-Avarage Filter) na página de help da função filter. Leia com atenção o help Using FFT, abra o script clicando no botão [Open this Example]. Execute o script seção após seção. Note o uso da fft para determinar a frequência das manchas solares. Para melhorar o desempenho no Matlab recomendo que leiam a pagina do Help, . Também gostaria de lembra-los que a tecla F9 executa o código destacado no Help. Programação com scripts .m. DICAS: No help on-line da Matworks, usando o botão [Try This Example > Try in your browser], permite executar o código no próprio browser sem ter nenhuma instalação do Matlab. Para verificar que o código realmente é executado mude a amplitude do ruído randômico para 0.1 ou 0.5, insira o comando close all antes da primeira linha, e execute todo o código [Run All] No help do Matlab, usando o botão [Open this Example], é possível executar o código seção a seção. Leia sobre manchas solares para entender o que são os dados do segundo exemplo. Aula 3 (23 fev) Revisão de Sinais e Sistemas no tempo discreto em Matlab: Sinais no dominio do tempo e dominio da frequencia. Uso da função fft Exemplo de uso da FFT %% Signal in Time Domain % Use Fourier transforms to find the frequency components of a signal buried in noise. % Specify the parameters of a signal with a sampling frequency of 1 kHz and a signal duration of 1.5 seconds Fs = 1000; % Sampling frequency T = 1/Fs; % Sampling period L = 1500; % Length of signal t = (0:L-1)*T; % Time vector % Form a signal containing a 50 Hz sinusoid of amplitude 0.7 and a 120 Hz sinusoid of amplitude 1. S = 0.7*sin(2*pi*50*t) + sin(2*pi*120*t); % Corrupt the signal with zero-mean white noise with a variance of 4. X = S + 2*randn(size(t)); % Plot the noisy signal in the time domain. It is difficult to identify the frequency components by looking at the signal X(t). subplot(211); plot(1000*t(1:200),X(1:200)) title('Signal Corrupted with Zero-Mean Random Noise') xlabel('t (milliseconds)') ylabel('X(t)') %% Signal in Frequency Domain % Compute the Fourier transform of the signal. Y = fft(X); % Compute the two-sided spectrum P2. Then compute the single-sided spectrum P1 based on P2 and the even-valued signal length L. P2 = abs(Y/L); P1 = P2(1:L/2+1); P1(2:end-1) = 2*P1(2:end-1); % Define the frequency domain f and plot the single-sided amplitude spectrum P1. % The amplitudes are not exactly at 0.7 and 1, as expected, because of the added noise. % On average, longer signals produce better frequency approximations. f = Fs*(0:(L/2))/L; subplot(212); plot(f,P1) ylim([0 1.05]) title('Single-Sided Amplitude Spectrum of X(t)') xlabel('f (Hz)') ylabel('|P1(f)|') % Now, take the Fourier transform of the original, uncorrupted signal and retrieve the exact amplitudes, 0.7 and 1.0. Y = fft(S); P2 = abs(Y/L); P1 = P2(1:L/2+1); P1(2:end-1) = 2*P1(2:end-1); plot(f,P1) title('Single-Sided Amplitude Spectrum of S(t)') xlabel('f (Hz)') ylabel('|P1(f)|') Amostragem de Sinais (Experimento 1.2) Relembrar teorema da amostragem. Efeito da amostragem abaixo da frequência de Nyquist. Aliasing. Notar que as amostras de um sinal $s_{1}(t)=cos(2\pi \times 3t)$ (3 Hz) e um sinal $s_{2}(t)=cos(2\pi \times 7t)$ (7 Hz) são idênticas quando amostrado com um sinal de 10 Hz. % Exemplos e Experimentos baseados no livro: % DINIZ, P. S. R., DA SILVA, E. A. B., e LIMA NETTO, S. Processamento Digital de Sinais: Projeto e Análise de Sistemas. 2. ed. Porto Alegre: Bookman, 2014. 976 p. ISBN 978-8582601235. %% Experimento 1.2 fs = 10; % frequencia (Hz) de amostragem dos sinais Ts = 1/fs; fase = 0; time = 0:Ts:(1-Ts); f1 = 3; % frequencia (Hz) do sinal s_1 f2 = 7; % frequencia (Hz) do sinal s_2 s_1 = cos(2*pi*f1*time+fase); s_2 = cos(2*pi*f2*time+fase); fsa = 1000; % frequência auxiliar de amostragem usada apenas para representação dos sinais originais Tsa = 1/fsa; time_aux = 0:Tsa:(1-Tsa); figure(1); stem(time,s_1,'ob'); hold on; plot(time_aux, cos(2*pi*f1*time_aux+fase),'--k'); stem(time,s_2,'+r'); plot(time_aux, cos(2*pi*f2*time_aux+fase),'--m'); hold off; legend('s_1 discreto','s_1 contínuo','s_2 discreto','s_2 contínuo') Aula 4 (27 fev) Revisão de Sinais e Sistemas no tempo discreto em Matlab: Filtragem de Sinais (Experimentos 1.3, 2.1 e 2.2) Consulte a documentação do Matlab sobre roots, poly, linspace, logspace, residue, residuez, pretty, latex, freqs, freqz, syms, symfun, zplane. Ver também o Publish para a geração automática de relatórios em html, doc, pdf, latex ou ppt. Ver também Publishing MATLAB Code. Ver pag. 138 a 141 de Variação do Experimento 2.2 % Exemplos e Experimentos baseados no livro: % DINIZ, P. S. R., DA SILVA, E. A. B., e LIMA NETTO, S. Processamento Digital de Sinais: Projeto e Análise de Sistemas. 2. ed. Porto Alegre: Bookman, 2014. 976 p. ISBN 978-8582601235. %% Experimento 2.2 % Resposta em frequencia usando a função freqz N = 1; num = [1 0 0 0]; den = poly([0.8 0.2]) %den = [1 0.6 -0.16]; % modo 1 %[H,w]=freqz(num,den,[0:pi/100:N*pi-pi/100]); %plot(w/pi, abs(H)); % modo 2 %[H,w]=freqz(num,den); %plot(w/pi, abs(H)); % modo 3 %[H,w]=freqz(num, den, 'whole'); %plot(w/pi, abs(H)); % modo 4 freqz(num, den, 'whole'); figure(2); zplane(num,den); %% Resposta em frequencia substituindo z -> e^(jw) syms z Hf(z) = symfun(z^2/(z-0.2)/(z+0.8),z); pretty(Hf) latex(Hf) N = 1; w = [0:pi/100:N*pi-pi/100]; plot(w/pi,abs(Hf(exp(1i*w)))) %title(['$' latex(Hf) '$'],'interpreter','latex') text(0.2,2,['H(z) = ' '$$' latex(Hf) '$$'],'interpreter','latex') xlabel(['w/' '$$' '\pi' '$$'],'interpreter','latex') Verifique a diferença entre os tipos de plots comentados no código. substitua o denominador de H(z) por dois polos em [-0.8 -0.8]. verifique o que ocorre se forem utilizados polos complexos conjugados [0.3-0.4i 0.3+0.4i 0.1] verifique o que ocorre se forem utilizados polos complexos não conjugados [0.3-0.4i 0.3+0.8i] verifique o que ocorre se os polos estiverem fora do circulo unitário [1.2 -0.2]. Interprete este resultado Consulte a documentação do Matlab sobre zeros, ones, plot, stem, subplot, filter. Para usar melhor a interface do Matlab leia também Execução de seções e variação de valores nos scripts, e ainda Uso de gráficos no Matlab. Ver pag. 65 a 71 de Ver também PDF Documentation for MATLAB. Principalmente MATLAB Primer. Aula 5 (2 mar) Revisão de Sinais e Sistemas no tempo discreto em Matlab: Filtros Digitais (Experimento 2.3) %% Experimento 2.3 - Filtros Digitais % Exemplos e Experimentos baseados no livro: % DINIZ, P. S. R., DA SILVA, E. A. B., e LIMA NETTO, S. Processamento Digital de Sinais: Projeto e Análise de Sistemas. 2. ed. Porto Alegre: Bookman, 2014. 976 p. ISBN 978-8582601235. % FILE: Exp2_3.m %% 1º filtro p1 = 0.9*exp(1j*pi/4); Z = [1 -1 ]'; P = [p1 p1']'; [num,den] = zp2tf(Z,P,1); [h,w] = freqz(num,den); figure(1); plot(w,abs(h)/max(abs(h))); figure(2); zplane(num,den); %% 2º filtro z1 = exp(1j*pi/8); z2 = exp(1j*3*pi/8); p1 = 0.9*exp(1j*pi/4); Z = [1 -1 z1 z1' z2 z2']'; P = [p1 p1' p1 p1' p1 p1']'; [num,den] = zp2tf(Z,P,1); [h,w] = freqz(num,den); figure(1); plot(w,abs(h)/max(abs(h))); figure(2); zplane(num,den); %% 3º filtro z1 = exp(1j*pi/8); z2 = exp(1j*3*pi/8); p1 = 0.99*exp(1j*pi/4); p2 = 0.9*exp(1j*pi/4 - 1j*pi/30); p3 = 0.9*exp(1j*pi/4 + 1j*pi/30); Z = [1 -1 z1 z1' z2 z2']'; P = [p1 p1' p2 p2' p3 p3']'; [num,den] = zp2tf(Z,P,1); [h,w] = freqz(num,den); figure(1); plot(w,abs(h)/max(abs(h))); figure(2); zplane(num,den); Diferentes formas de realizar a filtragem de Sinais ( convolução (conv(x,h)), filtragem no domínio do tempo (y = a1.x(n)+ a2.x(n-1)+ .. ak.x(n-k)); no domínio da frequência (y = ifft(fft(x)fft(h)) Variação do Experimento 3.1 %% Variação do Experimento 3.1 do livro: % DINIZ, P. S. R., DA SILVA, E. A. B., e LIMA NETTO, S. Processamento Digital de Sinais: Projeto e Análise de Sistemas. 2. ed. Porto Alegre: Bookman, 2014. 976 p. ISBN 978-8582601235. % FILE: Ex3_1.m % Exemplificando as possiveis formas de realizar a filtragem de um sinal x(n) clc; clear all; close all; %% Definindo valores iniciais Nh = 10; Nx = 20; %Nh = 400; Nx = 10000; x = ones(1,Nx); % A resposta ao inpulso de um sistema h(n) % no filtro FIR aos coeficientes b(n) = h(n) h = [1:Nh]; b = h; %% Filtrando o sinal e medindo tempos % Filtragem utilizando a convolução % NOTE: length(y) = length(x) + length(h) -1 tic; % iniciar a contagem do tempo y1 = conv(x,h); t(1) = toc; % terminar acontagem e mostrar tempo no console % filtragem utilizando a equação recursiva % NOTE: length(y) = length(x) tic; y2 = filter(b,1,x); t(2) = toc; % filtragem utilizando a equação recursiva % aumentando o tamanho de x para que length(y3) = length(y1) x3 = [x zeros(1,length(h)-1)]; tic; y3 = filter(h,1,x3); t(3) = toc; length_y = length(x) + length(h) - 1; % filtragem utilizando a FFT % a y = IFFT(FFT(x)*FFT(h)) tic; X = fft(x,length_y); H = fft(h,length_y); Y4 = X.*H; y4 = ifft(Y4); t(4) = toc; % filtragem utilizando a função fftfilt % a y = IFFT(FFT(x)*FFT(h)) tic y5 = fftfilt(h,x3); t(5) = toc; disp('Comprimento do vetor de saída length(y)') disp([' ' num2str([length(y1) length(y2) length(y3) length(y4) length(y5)])]) disp('Tempo usado na filtragem em micro segundos') disp([' ' num2str(t*1e6) ' us']) %% Plotando o gráfico subplot(411);stem(y1); hold on; stem(y2,'xr'); stem(y3,'+m'); legend('y1', 'y2', 'y3') hold off subplot(412);stem(y1, 'ob');legend('y1') subplot(413);stem(y2, 'xr'); hold on; stem(zeros(size(y1)),'.w');hold off; legend('y2') subplot(414);stem(y3, '+m');legend('y3') Notar a diferença de tempo de processamento entre os processos de filtragem. A situação pode ser muito diferente conforme muda o tamanho do sinal e ordem do filtro (h(n)). Aula 6 (6 mar) Exercício - Sinal DTMF com ruído Verifique se o Matlab está reproduzindo corretamente o som. %% Carregando o som clear, close, clc load handel; %% Reproduzindo o som sound(y,Fs) % Reproduzindo o som %soundsc(y,Fs) % Reproduzindo o som %player = audioplayer(y, Fs); %play(player); Usando o Matlab (ou Audacity) para gerar um sinal DTMF correspondente a um número N e adicionar um ruido ao sinal. Opcionalmente utilize um sinal DTMF gravado Utilizar uma frequência de amostragem de 8000Hz de fazer a duração do sinal igual a 2 segundos. Para adicionar o ruído utilize a função y = awgn(x,snr), ou y = x + nivel*randn(n). Observe este sinal no domínio do tempo (DT) e domínio da frequência (DF). %% Carregando o som clear, close, clc [y,Fs] = audioread('DTMF_8kHz.ogg'); %% Reproduzindo o som sound(y,Fs) %% Visualizando o som no DT time = [0:length(y)-1]'/Fs; plot(time',y'); xlabel('segundos'); xlim([0 time(end)]), ylim([-1 1]); %% Visualizando o som no DF Nfreq = length(y); freq = linspace(0,2*pi,Nfreq)'*Fs/pi/2; Y = fft(y,Nfreq)/Nfreq; plot(freq,abs(Y)); xlabel('Hertz'); xlim([0 Fs/2]); Utilizar no Audacity um sinal DTMF ("1234567890") com fa= 8kHz Visualizar no domínio do tempo e frequência. Realizar a filtragem passa-baixas com fc = 1066 Hz, (selecionar a maior atenuação permitida) Realizar a filtragem passa-faixa com f0 = 770 Hz e B = 70Hz (selecionar a maior ordem permitida) Repetir o procedimento anterior para um sinal de ruído branco. Consulte a documentação do Matlab sobre fft, ifft, fftshift, randn Consulte a documentação do Matlab sobre plot, grid, subplot, hold, xlabel, ylabel, title, legend, xlim, ylim, log10, log Consulte a documentação do Matlab sobre text, zp2tf, tf2zp, fftfilt, awgn Ver pag. 141 a 145 e 230 a 235 de

Unidade 2

Unidade 2 Aula 7 a 9 (9, 13 e 16 mar) Filtros Analógicos: Função de transferência $H(s)={\frac {c_{0}+c_{1}s+c_{2}s^{2}+...+c_{m}s^{m}}{d_{0}+d_{1}s+d_{2}s^{2}+...+d_{n}s^{n}}},m\leq n$ Resposta em frequência: para obter a resposta em frequência é necessário avaliar $H(j\omega )=H(s)\left|{\begin{matrix}\\s=j\omega \end{matrix}}\right.$ $H(j\omega )=\left|H(j\omega )\right|e^{j\phi (\omega )}$ $\left|H(j\omega )\right|^{2}=H(j\omega )H(-j\omega )$ $e^{j2\phi (\omega )}={\frac {H(j\omega )}{H(-j\omega )}}$ O projeto de filtros analógicos é realizado em 2 etapas: projeto de um filtro passa baixas (LP) protótipo normalizado $H(p)$ com frequência de passagem $\Omega _{s}=1$ transformação em frequência para o tipo de filtro (LP, HP, BP ou BS) $H(s)=H(p)\left|{\begin{matrix}\\p=g(s)\end{matrix}}\right.$ Análise básica de filtros analógicos com Matlab. Dado um sistema linear invariante no tempo, representado pela função de transferência $H(s)$, obter a resposta de frequência do sistema (Magnitude e Fase). $H(s)={\frac {s+1}{s^{2}+s+5}}$ $H(j\omega )={\frac {s+1}{s^{2}+s+5}}\left|{\begin{matrix}\\s=j\omega \end{matrix}}\right.$ $H(j\omega )={\frac {1+w\,\mathrm {i} }{-w^{2}+w\,\mathrm {i} +5}}$ b = [1 1]; a = [1 1 5]; [z1,p1,k]=tf2zp(b,a) z2 = roots(b); p2 = roots(a); zplane(b,a); %% freqs(b,a); %% syms s w H(s) = (s+1)/(s^2 + s + 5); pretty(H(1j*w)) latex(H(1j*w)) %% ws = logspace(-2, 1, 1000); h = H(1j*ws); subplot(211) semilogx(ws,abs(h)); grid on; subplot(212) semilogx(ws,angle(h)/pi*180); grid on; Projeto de filtros analógicos do tipo Butterworth A aproximação de magnitude de filtros analógicos pode ser realizado usando as aproximações de Butterworth, Chebyshev (tipo 1 ou 2) e Cauer. Projeto de filtros analógicos do tipo Butterworth, considerando: $\omega _{p}$ é a frequência de passagem do filtro LP, $A_{p}=3dB$ é a atenuação em dB na frequência de passagem, $\omega _{s}$ é a frequência de stopband do filtro, $A_{s}$ é a atenuação em dB na frequência de stopband, $\epsilon =1$, $\Omega _{s}={\frac {\omega _{s}}{\omega _{p}}}$, $\Omega _{p}={\frac {\omega _{p}}{\omega _{p}}}=1$ são as frequências de passagem e stopband do filtro protótipo. É necessário determinar a ordem $n$ do filtro: $n\geq {\frac {\log(10^{0.1A_{s}}-1)}{2\log \Omega _{s}}}$ Em seguida obter os polos do filtro: $p_{k}=e^{\left[j{\frac {(2k+n-1)}{2n}}\pi \right]},k=1,2,3,...n$ Em seguida é necessário obter a função de transferência: $H(p)={\frac {1}{D(p)}}$, onde $D(p)=\prod _{k-1}^{n}\left(p-p_{k}\right)$ No caso de um filtro LP é necessário ainda obter a função de transferência do filtro especificado $H(s)=H(p)\left|{\begin{matrix}\\p={\frac {s}{\omega _{p}}}\end{matrix}}\right.$ Projeto de filtros analógicos do tipo Butterworth, considerando: $\omega _{p}$ é a frequência de passagem do filtro LP, $A_{p}$ é a atenuação em dB na frequência de passagem, $\omega _{s}$ é a frequência de stopband do filtro, $A_{s}$ é a atenuação em dB na frequência de stopband, $\epsilon ={\sqrt {10^{0.1A_{p}}-1}}$, $\Omega _{s}={\frac {\omega _{s}}{\omega _{p}}}$, $\Omega _{p}={\frac {\omega _{p}}{\omega _{p}}}=1$ são as frequências de passagem e stopband do filtro protótipo. É necessário determinar a ordem $n$ do filtro: $n\geq {\frac {\log[(10^{0.1A_{s}}-1)/(10^{0.1A_{p}}-1)]}{2\log \Omega _{s}}}$ Em seguida obter os polos do filtro: $p_{k}=\epsilon ^{(-1/n)}e^{\left[j{\frac {(2k+n-1)}{2n}}\pi \right]},k=1,2,3,...n$ Em seguida é necessário obter a função de transferência: $H(p)={\frac {N(p)}{D(p)}}$, onde $N(p)=\prod _{k-1}^{n}\left(-p_{k}\right)$ e $D(p)=\prod _{k-1}^{n}\left(p-p_{k}\right)$. No caso de um filtro LP é necessário ainda obter a função de transferência do filtro especificado $H(s)=H(p)\left|{\begin{matrix}\\p={\frac {s}{\omega _{p}}}\end{matrix}}\right.$ Ver pag. 186 a 204 de %Butterworth lowpass Responses (db) w = 0.1:0.01:10; H=inline('10*log10(1./(1+w.^(2*n)))','w','n'); for k = 1:1:10 semilogx(w,H(w,k)); hold on; end grid on %Butterworth lowpass Responses (linear) w = 0.1:0.01:2; H=inline('1./(1+w.^(2*n))','w','n'); for k = 1:1:10 plot(w,H(w,k)); hold on; end grid on Aula 10 (20 mar) Projeto de filtros analógicos do tipo Chebyshev I. Determine a ordem mínima necessária considerando: $\omega _{p}$ é a frequência de passagem do filtro LP, $A_{p}$ é a atenuação em dB na frequência de passagem, $\omega _{s}$ é a frequência de stopband do filtro, $A_{s}$ é a atenuação em dB na frequência de stopband, $\epsilon ={\sqrt {10^{0.1A_{p}}-1}}$, $\Omega _{s}={\frac {\omega _{s}}{\omega _{p}}}$, $\Omega _{p}={\frac {\omega _{p}}{\omega _{p}}}=1$ são as frequências de passagem e stopband do filtro protótipo. $n\geq {\frac {\cosh ^{-1}{\sqrt {(10^{0.1A_{s}}-1)/(10^{0.1A_{p}}-1)}}}{\cosh ^{-1}\Omega _{s}}}$ Em seguida obter os polos do filtro: $p_{k}=-\sinh(\varphi _{2})\sin(\theta _{k})+j\cosh(\varphi _{2})\cos(\theta _{k})\ \ \ \ \ k=1,2,3,...n$, onde $\theta _{k}=\left({\frac {(2k-1)\pi }{2n}}\right)$ $\varphi _{2}={\frac {1}{n}}\sinh ^{-1}\left({\frac {1}{\epsilon }}\right)$ Uso das funções buttord, butter, cheb1ord, cheby1, cheb2ord, cheby2, ellipord, ellip para o projeto de filtros analógicos com Matlab (é necessário usar o parâmetro 's'). Ler Comparison of Analog IIR Lowpass Filters em ellip Uso das funções freqs, "zplane", fvtool na análise da resposta em frequência de filtros analógicos. Exemplos de projeto de filtro passa-baixas com frequência de passagem de 16000 rad/s com atenuação máxima de 0.3 dB, frequência de rejeição de 20000 rad/s com atenuação mínima de 20 dB; e ganho em DC de 3 dB. %% Projeto de filtro passa-baixas usando funções do Matlab %% Especificações do filtro Wp =16000; Ws = 20000; Ap = 0.3; As = 20; G0= 3; % Para analisar o filtro projetado, use fvtool(b,a) para observar plano s, resposta em magnitude, fase e atraso de grupo %% Butterworth [n,Wn] = buttord(Wp, Ws, Ap, As,'s') [b,a] = butter(n,Wn, 's'); %% Chebyshev I n = cheb1ord(Wp, Ws, Ap, As,'s') [b,a] = cheby1(n,Ap, Wp, 's'); %% Chebyshev II n = cheb2ord(Wp, Ws, Ap, As,'s') [b,a] = cheby2(n,As, Ws, 's'); %% Elliptic - Cauer [n, Wn] = ellipord(Wp, Ws, Ap, As,'s') [b,a] = ellip(n,Ap,As, Wn, 's'); Ver pag. 204 a 208 de Aula 11 (27 mar) Filtros Analógicos: Transformações de frequência de filtros analógicos passa-baixas ($\Omega _{p}=1$) -> passa-baixas ($\omega _{p}$) Substituição de variáveis $p={\frac {s}{\omega _{p}}}$ Cálculo do protótipo com $\Omega _{s}={\frac {\omega _{s}}{\omega _{p}}}$ passa-baixas ($\Omega _{p}=1$) -> passa-altas ($\omega _{p}$) Substituição de variáveis $p={\frac {\omega _{p}}{s}}$ Cálculo do protótipo com $\Omega _{s}={\frac {\omega _{p}}{\omega _{s}}}$ passa-baixas ($\Omega _{p}=1$) -> passa-faixa ($\omega _{0}$ e $B$) Substituição de variáveis $p={\frac {s^{2}+\omega _{0}^{2}}{Bs}}$ Cálculo do protótipo com $\Omega _{s}={\Bigg |}{\frac {-\omega _{s}^{2}+\omega _{0}^{2}}{B\omega _{s}}}{\Bigg |}$ onde $B=\omega _{p2}-\omega _{p1}$ e $\omega _{0}={\sqrt {\omega _{p2}\omega _{p1}}}$ passa-baixas ($\Omega _{p}=1$) -> rejeita-faixa ($\omega _{0}$ e $B$) Substituição de variáveis $p={\frac {Bs}{s^{2}+\omega _{0}^{2}}}$ Cálculo do protótipo com $\Omega _{s}={\Bigg |}{\frac {B\omega _{s}}{-\omega _{s}^{2}+\omega _{0}^{2}}}{\Bigg |}$ onde $B=\omega _{p2}-\omega _{p1}$ e $\omega _{0}={\sqrt {\omega _{p2}\omega _{p1}}}$ Uso das funções semilogx, semilogy,logspace, linspace. Ver em IIR Filter Design, Special Topics in IIR Filter Design. Funções para projeto do filtro protótipo analógico passa-baixas: buttap, cheb1ap, cheb2ap, ellipap Funções de transformação de frequencia: lp2bp, lp2bs, lp2hp, lp2lp Ver pag. 208 a 218 de Aula 12 (03 abr) Exemplos de Filtros Analógicos: Exemplo 1: Filtro passa-baixas ($f_{p}$ = 941Hz, $f_{s}$ = 1209 Hz, $A_{p}$ = 1 dB, $A_{s}$ = 20 dB) Exemplo 2: Filtro passa-altas ($f_{p}$ = 1209 Hz, $f_{s}$ = 941Hz, $A_{p}$ = 1 dB, $A_{s}$ = 20 dB) Exemplo 3: Filtro passa-faixa ($f_{p1}$ = 811 Hz, $f_{p2}$ = 895,5 Hz$<math>f_{s1}$ = 770 Hz, $f_{s2}$ = 941 Hz, $A_{p}$ = 1 dB, $A_{r}$ = 30 dB) NOTA: No calculo do filtro lembre-se de usar as frequências angulares para $\omega _{p}$, $\omega _{s}$, $B\omega$, $\omega _{0}$. onde $f_{p}$ ($\omega _{p}$) é a frequência de passagem em Hz (rad/s), $f_{s}$ ($\omega _{s}$) é a frequência de rejeição em Hz (rad/s), $f_{0}$ ($\omega _{0}$) é a frequência central em Hz (rad/s), $B$ ($B\omega$) é a largura de banda em Hz (rad/s). Confira os projetos dos filtros plotando as respostas em frequência dos filtros protótipo H(p) e filtro final H(s) de cada um dos exemplos. Aula 13 e 14 (06 e 10 abr) Filtros Digitais: Filtros IIR: transformações do tempo contínuo no tempo discreto Transformação invariante ao impulso (pode ser usada apenas para filtros com forte atenuação em frequência altas, ex: passa-baixas e passa-faixa) Transformação bilinear (pode ser usada para todos tipos de filtro) Obter a especificação do filtro em angulo entre 0 e 1, onde 1 corresponde a metade da frequência de amostragem (fa/2) Obter o valor desse angulo predistorcido para compensar a distorção na frequencia causada pela transformação bilinear. Falhou ao verificar gramática (erro de sintaxe): {\displaystyle \lambda= 2 tan (\frac{\theta \pi}{2}) \} , onde Falhou ao verificar gramática (erro de sintaxe): {\displaystyle \theta = \frac{f}{fa/2} \} passa-baixas ($\Omega _{p}=1$) -> passa-baixas ($\omega _{p}$) Substituição de variáveis $p={\frac {s}{\omega _{p}}}$ Cálculo do protótipo com $\Omega _{s}={\frac {\omega _{s}}{\omega _{p}}}$ passa-baixas ($\Omega _{p}=1$) -> passa-altas ($\omega _{p}$) Substituição de variáveis $p={\frac {\omega _{p}}{s}}$ Cálculo do protótipo com $\Omega _{s}={\frac {\omega _{p}}{\omega _{s}}}$ passa-baixas ($\Omega _{p}=1$) -> passa-faixa ($\omega _{0}$ e $B$) Substituição de variáveis $p={\frac {s^{2}+\omega _{0}^{2}}{Bs}}$ Cálculo do protótipo com $\Omega _{s}={\Bigg |}{\frac {-\omega _{s}^{2}+\omega _{0}^{2}}{B\omega _{s}}}{\Bigg |}$ onde $B=\omega _{p2}-\omega _{p1}$ e $\omega _{0}={\sqrt {\omega _{p2}\omega _{p1}}}$ passa-baixas ($\Omega _{p}=1$) -> rejeita-faixa ($\omega _{0}$ e $B$) Substituição de variáveis $p={\frac {Bs}{s^{2}+\omega _{0}^{2}}}$ Cálculo do protótipo com $\Omega _{s}={\Bigg |}{\frac {B\omega _{s}}{-\omega _{s}^{2}+\omega _{0}^{2}}}{\Bigg |}$ onde $B=\omega _{p2}-\omega _{p1}$ e $\omega _{0}={\sqrt {\omega _{p2}\omega _{p1}}}$ Ver pag. 219 a 229 de Ver pag. 403 a 415 e 434 a 435 de Aula 16 (14 Set) Filtros Digitais: Filtros IIR: Uso do Matlab. Ver as funções de discretização usadas no Matlab: bilinear, impinvar Ver em IIR Filter Design Uso das funções buttord, butter, cheb1ord, cheby1, cheb2ord, cheby2, ellipord, ellip para o projeto de filtros IIR digitais (sem o parâmetro 's'). O projeto dos filtros digitais IIR baseados na transformada bilinear no Matlab é realizada em dois passos: (1) Determinação da ordem do filtro; (2) Determinação dos coeficientes do numerador $b(n)$ e denominador $a(n)$ de $H(z)$ . Outros tipos de filtros IIR: yulewalk, iirnotch, iirpeak, iircomb,filtfilt, maxflat, invfreqz e outros filtros de modelagem paramétrica.

Unidade 3
Unidade 3 Aula 17 (17 abr) Filtros Digitais: Filtros FIR Filtros de fase linear: simétricos e antisimétricos (Tipo 1, 2, 3 e 4) Filtros de fase linear: propriedades (respostas em frequência possíveis, distribuição dos zeros em simetria quadrantal)

Avaliações

• Entrega dos diversas Atividades Extraclasse ao longo do semestre.
• Entrega do Projeto Final. O projeto é avaliado nos quesitos:

1) Implementação do Sistema,

2) Documentação,

3) Avaliação Global do aluno no projeto.

• Entrega dos Atividades Extraclasse ao longo do semestre AE1 a AE(N). A entrega, detalhes e prazos de cada AE serão indicados na plataforma Moodle

Atividades Relâmpago (prazo e forma de entrega ver na plataforma AVA)
Atividade Relâmpago - AR1

AE1 - Projeto de Filtros Digitais IIR (Entrega e prazos ver Moodle)

Esta avaliação visa verificar se você conhece a metodologia de projeto de filtros digitais IIR: (a) projeto de um filtro protótipo analógico passa-baixas H(p); (b) transformação em frequência do filtro H(p) -> H(s), obtendo o filtro LP, HP, BP, BS, conforme o tipo de filtro desejado; (c) transformação do filtro analógico em filtro digital H(s) -> H(z) utilizando a transformação "Bilinear" ou pela transformação "Invariante ao Impulso". Nesta avaliação é solicitado que cada equipe realize o projeto de 4 filtros, e trabalhos individuais serão 3 filtros. Para todos os filtros considere como valores default fa = 8 kHz, Gp = 0 dB, Ap = 0.5 dB e As = 30 dB (exceto se indica outro valor na tabela abaixo. Os filtro BP deverão ter apenas o BP1 projetado conforme o procedimento completo, sendo que nos demais deverá ser aproveitado o filtro H(p) para obtê-los. Equipe Filtro 1 Filtro 2 Filtro 3 Filtro 4 Equipe 1 LP - (f1 = 950 Hz; f2 = 1300 Hz, As = 30 dB, Butterworth) HP - (f1 = 950 Hz; f2 = 1300 Hz, As = 30 dB, Chebychev 1) BP1 - (f1 = 627 Hz; f2 = 683 Hz, f3 = 711 Hz; f4 = 767 Hz, Elíptico ) BS1 - (f1 = 1202 Hz; f2 = 1309 Hz, f3 = 1363 Hz; f4 = 1470 Hz, Elíptico ) Equipe 2 LP - (f1 = 950 Hz; f2 = 1300 Hz, As = 25 dB, Chebychev 1) HP - (f1 = 950 Hz; f2 = 1300 Hz,, As = 25 dB, Butterworth) BP1 - (f1 = 847 Hz; f2 = 922 Hz, f3 = 960 Hz; f4 = 1035 Hz, Chebychev 2 ) BS1 - (f1 = 1329 Hz; f2 = 1447Hz, f3 = 1507 Hz; f4 = 1625 Hz, Chebychev 2 ) Equipe 3 LP - (f1 = 1050 Hz; f2 = 1400 Hz, As = 30 dB, Chebychev 1) HP - (f1 = 1050 Hz; f2 = 1400 Hz, As = 20 dB, Butterworth) BS1- (f1 = 767 Hz; f2 = 835 Hz, f3 = 869 Hz; f4 = 937 Hz, Elíptico ) BP1 - (f1 = 693 Hz; f2 = 755 Hz, f3 = 785 Hz; f4 = 847 Hz, Elíptico ) Equipe 4 LP - (f1 = 1050 Hz; f2 = 1400 Hz, As = 25 dB, Butterworth) HP - (f1 = 1050 Hz; f2 = 1400 Hz, As = 35 dB, Chebychev 1) BP1 - (f1 = 1088 Hz; f2 = 1185 Hz, f3 = 1233 Hz; f4 = 1330 Hz, Chebychev 2 ) BS1 - (f1 = 1329 Hz; f2 = 1447Hz, f3 = 1507 Hz; f4 = 1625 Hz, Chebychev 2 ) Equipe 5 LP - (f1 = 850 Hz; f2 = 1200 Hz, As = 35 dB, Chebychev 1) HP - (f1 = 850 Hz; f2 = 1200 Hz, As = 25 dB, Butterworth) BP1 - (f1 = 693 Hz; f2 = 755 Hz, f3 = 785 Hz; f4 = 847 Hz, Elíptico ) BS1 - (f1 = 1202 Hz; f2 = 1309 Hz, f3 = 1363 Hz; f4 = 1470 Hz, Elíptico ) onde: LP (Low Pass)- Passa Baixa, HP (High Pass)- Passa Altas, BP (Band Pass)- Passa Faixa, BS (Band Stop)- Rejeita Faixa $f_{N}$ - são as "N" frequência de especificação do filtro dadas em Hertz (kHz ou MHz); f_a é a frequência de amostragem dos sinais e do sistema. $f_{p}$ - frequência de passagem; $f_{r}$ - frequência de rejeição, $A_{p}$ - Atenuação máxima na banda de passagem (dB), $A_{r}$ - Atenuação mínima na banda de rejeição (dB), $G_{p}$ - Ganho médio na banda de passagem (dB). Os filtros LP e HP devem ser realizados utilizando a aproximação de Butterworth ou Chebyshev tipo 1 (devendo ser todos os calculados efetuados a partir das equações), enquanto os filtros BP e BS devem ser realizados utilizando a aproximação de Chebyshev tipo 2 ou Euler (podendo ser calculada a função H(p) a partir das funções do Matlab. A tabela acima indica o tipo de filtro que cada equipe deve utilizar. Para ambos filtros deve indicada a ordem do filtro, o valor de polos e zeros, e as equações de H(p), H(s), H(z). Deve ser apresentado de forma gráfica a resposta em frequência dos filtros (ganho em dB e fase) dos filtros (a) protótipo H(p), (b) Filtro analógico H(s) e Filtro digital H(z). Para mostrar que os filtros atendem a especificação utilize uma mascara com as especificações. No caso do filtro H(z) também deve ser mostrado o atraso de grupo (ver função grpdelay do Matlab) Apresente o diagrama dos pólos e zeros dos filtros H(p), H(s) e H(z) Utilize a mesma escala em dB para os 3 gráficos de cada filtro. Nas abcissas utilize uma escala em Hz (kHz ou MHz). Utilize uma mascara com cor diferenciada para indicar claramente a especificação do filtro, e crie um segundo gráfico mostrando claramente a banda de passagem conforme ilustrado nas figuras abaixo: Escreva um relatório técnico em PDF mostrando os resultados obtidos e comentando os resultados obtidos. Não é necessário apresentar a teoria utilizado para o projeto, mas todos os cálculos e metodologia utilizada devem estar documentados. Envie o relatório em pdf e os arquivos ".m" utilizados na plataforma Moodle.

Referências Bibliográficas

Curso de Engenharia de Telecomunicações