Mudanças entre as edições de "Equações Telegráficas - Equações da Onda Viajante"
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A análise feita considerando uma onda de tensão tem sua equivalente em termos de uma onda de corrente. | A análise feita considerando uma onda de tensão tem sua equivalente em termos de uma onda de corrente. | ||
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=== Equação da onda viajante === | === Equação da onda viajante === | ||
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Lembrando que: | Lembrando que: | ||
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+ | ::::<math>{\partial \Re \left \{ e^{jwt} \right \} \over \partial t} ={\partial \Re \left \{ cos (wt) + jsen (wt) \right \} \over \partial t}</math> | ||
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+ | ::::<math>= {\partial cos(wt) \over \partial t} = -wsen (wt)</math> | ||
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e | e | ||
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− | <math> = -wsen (wt)</math> | + | ::::<math>\Re \left \{ jwe^{jwt} \right \}= \Re \left \{jw( cos(wt) + jsen (wt)) \right \}</math> |
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temos que: | temos que: | ||
− | <math>{\partial \Re \left \{ e^{jwt} \right \} \over \partial t} =\Re \left \{ jwe^{jwt} \right \}</math> | + | ::::<math>{\partial \Re \left \{ e^{jwt} \right \} \over \partial t} =\Re \left \{ jwe^{jwt} \right \}</math> |
portanto: | portanto: | ||
− | <math>{\partial v(z,t) \over \partial t}= {\partial \Re \left \{ V(z)e^{jwt} \right \} \over \partial t}</math> | + | |
+ | ::::<math>{\partial v(z,t) \over \partial t}= {\partial \Re \left \{ V(z)e^{jwt} \right \} \over \partial t}</math> | ||
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da segunda solução | da segunda solução | ||
− | <math>{\partial v(z,t) \over \partial t}= V(z) {\partial \Re \left \{ e^{jwt} \right \} \over \partial t} = V(z) {\partial \Re \left \{ jwe^{jwt} \right \} \over \partial t}</math> | + | ::::<math>{\partial v(z,t) \over \partial t}= V(z) {\partial \Re \left \{ e^{jwt} \right \} \over \partial t} = V(z) {\partial \Re \left \{ jwe^{jwt} \right \} \over \partial t}</math> |
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+ | ::::<math>{\partial v(z,t) \over \partial t}= jwV(z) </math> | ||
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Utilizando a notação de função complexa e substituindo v(z,t) e i(z,t) nas equações telegráficas (5) e (6): | Utilizando a notação de função complexa e substituindo v(z,t) e i(z,t) nas equações telegráficas (5) e (6): | ||
− | <math> {\partial V(z) \over \partial z} = -(R + Ljw) I(z) </math> (14) | + | ::::<math> {\partial V(z) \over \partial z} = -(R + Ljw) I(z) </math> (14) |
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− | <math>{\partial i(z,t) \over \partial z} = -(G + Cjw) V(z) </math> (15) | + | ::::<math>{\partial i(z,t) \over \partial z} = -(G + Cjw) V(z) </math> (15) |
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− | <math> {\partial^2 V(z) \over \partial z^2} = -(R + Ljw) {\partial I(z) \over \partial z} </math> (16) | + | ::::<math> {\partial^2 V(z) \over \partial z^2} = -(R + Ljw) {\partial I(z) \over \partial z} </math> (16) |
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e substituindo <math>{\partial I(z) \over \partial z}</math> pela segunda equação telegráfica (15) temos: | e substituindo <math>{\partial I(z) \over \partial z}</math> pela segunda equação telegráfica (15) temos: | ||
− | <math> {\partial^2 V(z) \over \partial z^2} = (R + jwL) (G + jwC) V(z) </math> (16) | + | ::::<math> {\partial^2 V(z) \over \partial z^2} = (R + jwL) (G + jwC) V(z) </math> (16) |
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fazendo <math> \gamma^2 = (R + jwL) (G + jwC)</math> | fazendo <math> \gamma^2 = (R + jwL) (G + jwC)</math> | ||
+ | ::::<math> {\partial^2 V(z) \over \partial z^2} -(\gamma^2 V(z) =0 </math> (17) | ||
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A equação (17) é uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem. Uma solução para esta equação é uma equação exponêncial, como: | A equação (17) é uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem. Uma solução para esta equação é uma equação exponêncial, como: | ||
− | <math>V(z) = Ae^{\lambda z}</math> (18) | + | |
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Derivando duas vezes a equação (18) em função de z temos: | Derivando duas vezes a equação (18) em função de z temos: | ||
− | <math>{\partial^2 V(z) \over \partial z^2} =\lambda^2 Ae^{\lambda z}</math> | + | |
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e a equação (17) pode ser reescrita como: | e a equação (17) pode ser reescrita como: | ||
− | <math>\lambda^2Ae^{\lambda z} - \gamma^2 Ae^{\lambda z} = 0</math> | + | |
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ou | ou | ||
− | <math>\lambda^2 - \gamma^2 = 0 </math> ou <math>(\lambda+\gamma)(\lambda-\gamma) = 0 </math> | + | |
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Uma solução para essa equação é <math>\lambda = -\gamma </math>, portanto: | Uma solução para essa equação é <math>\lambda = -\gamma </math>, portanto: | ||
− | <math>V(z) = Ae^{-\gamma z}</math> | + | |
+ | ::::<math>V(z) = Ae^{-\gamma z}</math> | ||
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Retornando para a representação no tempo: | Retornando para a representação no tempo: | ||
− | <math>v(z,t) = Ae^{-\alpha z} cos (wt - \beta z)</math> | + | |
+ | ::::<math>v(z,t) = Ae^{-\alpha z} cos (wt - \beta z)</math> | ||
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Substituindo A por uma constante mais significativa <math>V_o^+</math> | Substituindo A por uma constante mais significativa <math>V_o^+</math> | ||
− | <math>v(z,t) = V_o^+e^{-\alpha z} cos (wt - \beta z)</math> (19) | + | |
+ | ::::<math>v(z,t) = V_o^+e^{-\alpha z} cos (wt - \beta z)</math> (19) | ||
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A equação (19) corresponde a uma onda de tensão se propagando na direção +z com amplitude em z=0 de <math>V_o^+</math> | A equação (19) corresponde a uma onda de tensão se propagando na direção +z com amplitude em z=0 de <math>V_o^+</math> | ||
Linha 184: | Linha 213: | ||
Da segunda solução <math>\lambda = \gamma </math> temos: | Da segunda solução <math>\lambda = \gamma </math> temos: | ||
− | <math>v(z,t) = V_o^-e^{-\alpha z} cos (wt + \beta z)</math> (20) | + | |
+ | ::::<math>v(z,t) = V_o^-e^{-\alpha z} cos (wt + \beta z)</math> (20) | ||
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A resposta completa da equação (18) é a equação da onda viajante no tempo, a qual é obtida pela soma das soluções individuais da equação diferencial: | A resposta completa da equação (18) é a equação da onda viajante no tempo, a qual é obtida pela soma das soluções individuais da equação diferencial: | ||
− | <math>v(z,t) = V_o^+e^{-\alpha z} cos (wt - \beta z) + V_o^-e^{-\alpha z} cos (wt + \beta z)</math> | + | |
+ | ::::<math>v(z,t) = V_o^+e^{-\alpha z} cos (wt - \beta z) + V_o^-e^{-\alpha z} cos (wt + \beta z)</math> | ||
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Uma análise equivalente poderia ser realizada para i(z,t) obtendo: | Uma análise equivalente poderia ser realizada para i(z,t) obtendo: | ||
− | <math>i(z,t) = I_o^+e^{-\alpha z} cos (wt - \beta z) + I_o^-e^{-\alpha z} cos (wt + \beta z)</math> | + | ::::<math>i(z,t) = I_o^+e^{-\alpha z} cos (wt - \beta z) + I_o^-e^{-\alpha z} cos (wt + \beta z)</math> |
Edição das 09h16min de 8 de setembro de 2015
A figura 1 mostra uma seção infinitesimal de uma linha de transmissão sendo submetida a uma tensão e percorrida por uma corrente. A partir da análise das tensões e correntes instantâneas dessa seção chegaremos nas equações da onda viajante na linha de transmissão.
Figura 1: Seção infinitesimal de uma linha de transmissão. fonte: WENTWORTH, Stuart M. Eletromagnetismo Aplicado: Abordagem Antecipada das Linhas de Transmissão. Bookman, 2009.
A partir de Kirchhoff para a malha temos:
- (1)
E de Kirchhoff para o nó a :
- (2)
Dividindo as equações (1) E (2) por e fazendo :
- (3)
- (4)
Os limites nas equações (4) e (5) correspondem a definição de derivada, portanto podemos escrever as equações telegráficas:
(5) |
(6) |
Solução das equações telegráficas via uma função harmônica no tempo (sinusoidal)
Vamos obter a solução para as equações telegráficas a partir de uma solução harmônica no tempo, isto é, vamos considerar que a tensão v(z,t) é cossenoidal.
A equação de uma onda de tensão cossenoidal e descrita por:
- (7)
v(z) e Φ (z) são funções apenas da posição z.
Considerando a identidade de Euler [ ], podemos reescrever a equação (7) como:
- (8)
- (9)
Da representação de função complexa:
- (10)
Portanto:
- (11)
- (12)
A análise feita considerando uma onda de tensão tem sua equivalente em termos de uma onda de corrente.
Equação da onda viajante
Lembrando que:
e
temos que:
portanto:
da segunda solução
Utilizando a notação de função complexa e substituindo v(z,t) e i(z,t) nas equações telegráficas (5) e (6):
- (14)
- (15)
Derivando a função primeira equação telegráfica (14) em função de z
- (16)
e substituindo pela segunda equação telegráfica (15) temos:
- (16)
fazendo
- (17)
A equação (17) é uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem. Uma solução para esta equação é uma equação exponêncial, como:
- (18)
onde A e são constantes arbitrárias.
Derivando duas vezes a equação (18) em função de z temos:
e a equação (17) pode ser reescrita como:
ou
- ou
Uma solução para essa equação é , portanto:
Retornando para a representação no tempo:
Substituindo A por uma constante mais significativa
- (19)
A equação (19) corresponde a uma onda de tensão se propagando na direção +z com amplitude em z=0 de
Da segunda solução temos:
- (20)
A equação (20) corresponde a uma onda de tensão se propagando na direção -z com amplitude em z=0 de
A resposta completa da equação (18) é a equação da onda viajante no tempo, a qual é obtida pela soma das soluções individuais da equação diferencial:
Uma análise equivalente poderia ser realizada para i(z,t) obtendo: