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| '''E de Kirchhoff para o nó <span style="color: red"> a </span>:''' | | '''E de Kirchhoff para o nó <span style="color: red"> a </span>:''' |
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− | <math>i(z,t) - i(z+\Delta z,t) = v(z+\Delta z,t) G'\Delta z + C'\Delta z{\partial v(z+\Delta z,t) \over \partial t} </math> (2) | + | |
| + | :::::<math>i(z,t) - i(z+\Delta z,t) = v(z+\Delta z,t) G'\Delta z + C'\Delta z{\partial v(z+\Delta z,t) \over \partial t} </math> (2) |
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| Dividindo as equações (1) E (2) por <math>\Delta z</math> e fazendo <math>\Delta z {\longrightarrow 0}</math>: | | Dividindo as equações (1) E (2) por <math>\Delta z</math> e fazendo <math>\Delta z {\longrightarrow 0}</math>: |
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− | <math> \lim_{\Delta_z \to 0} {v(z,t) - v(z+\Delta z,t) \over \Delta z} = i(z,t) R' + L'{\partial i(z,t) \over \partial t} </math> (3) | + | |
| + | :::::<math> \lim_{\Delta_z \to 0} {v(z,t) - v(z+\Delta z,t) \over \Delta z} = i(z,t) R' + L'{\partial i(z,t) \over \partial t} </math> (3) |
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| + | :::::<math>\lim_{\Delta_z \to 0} {i(z,t) - i(z+\Delta z,t) \over \Delta z} = v(z,t) G' + C'{\partial v(z,t) \over \partial t} </math> (4) |
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− | <math>\lim_{\Delta_z \to 0} {i(z,t) - i(z+\Delta z,t) \over \Delta z} = v(z+\Delta z,t) G' + C'{\partial v(z,t) \over \partial t} </math> (4)
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| Os limites nas equações (4) e (5) correspondem a definição de derivada, portanto podemos escrever as equações telegráficas: | | Os limites nas equações (4) e (5) correspondem a definição de derivada, portanto podemos escrever as equações telegráficas: |
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| {| class="wikitable" style="margin: auto;color:red; background-color:#ffffcc;" cellpadding="10" | | {| class="wikitable" style="margin: auto;color:red; background-color:#ffffcc;" cellpadding="10" |
| | <math> -{\partial v(z,t) \over \partial z} = i(z,t) R' + L'{\partial i(z,t) \over \partial t} </math> (5) | | | <math> -{\partial v(z,t) \over \partial z} = i(z,t) R' + L'{\partial i(z,t) \over \partial t} </math> (5) |
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| |<math>-{\partial i(z,t) \over \partial z} = v(z,t) G' + C'{\partial v(z,t) \over \partial t} </math> (6) | | |<math>-{\partial i(z,t) \over \partial z} = v(z,t) G' + C'{\partial v(z,t) \over \partial t} </math> (6) |
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A figura 1 mostra uma seção infinitesimal de uma linha de transmissão sendo submetida a uma tensão e percorrida por uma corrente. A partir da análise das tensões e correntes instantâneas dessa seção chegaremos nas equações da onda viajante na linha de transmissão.
Figura 1: Seção infinitesimal de uma linha de transmissão.
fonte: WENTWORTH, Stuart M. Eletromagnetismo Aplicado: Abordagem Antecipada das Linhas de Transmissão. Bookman, 2009.
A partir de Kirchhoff para a malha temos:
- (1)
E de Kirchhoff para o nó a :
- (2)
Dividindo as equações (1) E (2) por e fazendo :
- (3)
- (4)
Os limites nas equações (4) e (5) correspondem a definição de derivada, portanto podemos escrever as equações telegráficas:
(5)
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(6)
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Solução das equações telegráficas via uma função harmônica no tempo (sinusoidal)
Vamos obter a solução para as equações telegráficas a partir de uma solução harmônica no tempo, isto é, vamos considerar que a tensão v(z,t) é cossenoidal.
A equação de uma onda de tensão cossenoidal e descrita por:
(7)
v(z) e são funções apenas da posição z
Considerando a identidade de Euler [ ], podemos reescrever a equação (7) como:
(8)
(9)
Da representação de função complexa:
(10)
Portanto:
(11)
(12)
A análise feita considerando uma onda de tensão tem seu equivalente em termos de uma onda de corrente.
Equação da onda viajante
Lembrando que:
e
temos que:
portanto:
da segunda solução
Utilizando a notação de função complexa e substituindo v(z,t) e i(z,t) nas equações telegráficas (5) e (6):
(14)
(15)
Derivando a função primeira equação telegráfica (14) em função de z
(16)
e substituindo pela segunda equação telegráfica (15) temos:
(16)
fazendo
(17)
A equação (17) é uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem. Uma solução para esta equação é uma equação exponêncial, como:
(18)
onde A e são constantes arbitrárias.
Derivando duas vezes a equação (18) em função de z temos:
e a equação (17) pode ser reescrita como:
ou
ou
Uma solução para essa equação é , portanto:
Retornando para a representação no tempo:
Substituindo A por uma constante mais significativa
(19)
A equação (19) corresponde a uma onda de tensão se propagando na direção +z com amplitude em z=0 de
Da segunda solução temos:
(20)
A equação (20) corresponde a uma onda de tensão se propagando na direção -z com amplitude em z=0 de
A resposta completa da equação (18) é a equação da onda viajante no tempo, a qual é obtida pela soma das soluções individuais da equação diferencial:
Uma análise equivalente poderia ser realizada para i(z,t) obtendo: