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− | figura 2: Linhas com carga com tensões e correntes. | + | figura 2: Linha com carga com tensões e correntes. |
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− | ::::<math>\ V_L = V^+e^{-\gamma z} + V^-e^{\gamma z} </math> | + | ::::<math>\ V_L = V_o^+e^{-\gamma z} + V_o^-e^{\gamma z} </math> |
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− | ::::<math>\ I_L = I^+e^{-\gamma z} + I^-e^{\gamma z}</math> | + | ::::<math>\ I_L = I_o^+e^{-\gamma z} + I_o^-e^{\gamma z}</math> |
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− | ::::<math>\ Z_L = {V^+ + V^-\over I^+ + I^-}</math> | + | ::::<math>\ Z_L = {V_o^+ + V_o^-\over I_o^+ + I_o^-}</math> |
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− | como, | + | como em z= 0, |
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− | ::::<math>\ Z_o = {V^+\over I^+ }= {-V^-\over I^- }</math> | + | ::::<math>\ Z_o = {V_o^+\over I_o^+ }= {-V_o^-\over I_o^- }</math> |
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− | ::::<math>\ Z_L = {V^+ + V^-\over{{V^+ \over Z_o} -{ V^- \over Z_o}}}</math> | + | ::::<math>\ Z_L = {V_o^+ + V_o^-\over{{V_o^+ \over Z_o} -{ V_o^- \over Z_o}}}</math> |
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− | ::::<math>\ {V^- \over V^+} = {Z_L - Z_o \over Z_L + Z_o}</math> | + | ::::<math>\ {V_o^- \over V_o^+} = {Z_L - Z_o \over Z_L + Z_o}</math> |
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| + | == coeficiente de reflexão afastado da carga == |
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| + | O valor de Γ em qualquer ponto da linha será dado pela relação entre <math>{V^+ \over V^-}</math>, sendo assim para um ponto afastado uma distância '''<math>l</math>''' da carga teremos: |
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− | == coeficiente de reflexão afastado da carga ==
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| + | :::: <math>\ \Gamma_{in} = \Gamma (z) = { V_o^- e^{\gamma z} \over V_o^+ e^{-\gamma z}} = \Gamma_L e^{2\gamma z}</math> |
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− | O valor de Γ em qualquer ponto da linha será dado pela relação entre <math>{V^+ \over V^-}</math>, sendo assim para um ponto afastado uma distância '''l''' da carga teremos:
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| + | considerando um deslocamento '''<math>l</math>''' a partir da carga (z=0) para a esquerda (sentido -z) temos: |
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− | :::: <math>\ \Gamma = { V_o^- e^{\gamma l} \over V_o^+ e^{-\gamma l}}</math>
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| {| class="wikitable" style="margin: auto;color:black; background-color:#ffffcc;" cellpadding="10" | | {| class="wikitable" style="margin: auto;color:black; background-color:#ffffcc;" cellpadding="10" |
− | |<math>\ \Gamma = \Gamma _L e^{2\gamma l} (1)</math> | + | |<math>\ \Gamma_{in} = \Gamma _L e^{-2\gamma l} (1)</math> |
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− | substituindo <math>I_o^+ </math> e <math>I_o^+ </math> por: | + | substituindo <math>I_o^+ </math> e <math>I_o^- </math> por: |
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− | ::::<math>\ \tanh {e^t - e^{-t} \over e^t + e^{-t}} </math> | + | ::::<math>\ \tanh x= {e^x - e^{-x} \over e^x + e^{-x}} </math> |
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− | ::::<math>\ P^+(l) = {1 \over 2} \Re \{ V_o^+ e^{-\alpha l} e^{-j\beta l} . {V(z)^+ \over I(l)^+} e^{-\alpha l} e^{-j\theta} e^{j\beta l}\}</math> | + | ::::<math>\ P^+(l) = {1 \over 2} \Re \{ V_o^+ e^{-\alpha l} e^{-j\beta l} . {V_o^+ \over Z_o} e^{-\alpha l} e^{-j\theta} e^{j\beta l}\}</math> |
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| A equação (7) representa a potência transmitida na linha ou potência incidente. Note que a constante α representa a constante de atenuação da linha. | | A equação (7) representa a potência transmitida na linha ou potência incidente. Note que a constante α representa a constante de atenuação da linha. |
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| === Potência entregue à carga === | | === Potência entregue à carga === |
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− | A linha em <math>P^{+'}</math> na equação (8) representa que o cálculo de <math>P_L</math> deve ser realizado descontando a atenuação da linha, isto utilizando o valor de <math>P(z)^{+}</math> no terminal '''a'''. | + | A linha em <math>P^{+'}</math> na equação (8) representa que o cálculo de <math>P_L</math> deve ser realizado descontando a atenuação da linha, isto é utilizando o valor de <math>P(z)^{+}</math> no terminal '''a'''. |
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| === Potência Refletida === | | === Potência Refletida === |
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− | O primeiro termo do lado direito da equação (9) corresponde a potência incidente no terminal '''a''' e o segundo termo a potência refletida no mesmo terminal. Esta relação mostra que a parcela de potência que chega ao final da linha e não é absorvida pela carga, retorno para linha. Isto é, V^-(z) e I^-(z) são as ondas refletidas na linha e transportam a potência refletida. | + | O primeiro termo do lado direito da equação (9) corresponde a potência incidente no terminal '''a''' e o segundo termo a potência refletida no mesmo terminal. Esta relação mostra que a parcela de potência que chega ao final da linha e não é absorvida pela carga, retorno para linha. Isto é,<math>\ V^-(z)</math> e <math>\ I^-(z)</math> são as ondas refletidas na linha e transportam a potência refletida. |
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Coeficiente de reflexão
Uma linha de transmissão possui uma impedância característica Zo definida pela relação entre a e . Considere que uma carga é acoplada a um dos terminais da linha (figura 1).
figura 1: Linha com carga
Sobre essa carga teremos uma tensão , fazendo circular uma corrente . Na linha teremos as tensões e e as correntes e , conforme indicado no figura 2.
figura 2: Linha com carga com tensões e correntes.
Podemos escrever como:
Mas no nó terminal a da linha a tensão é a soma fasorial de e , portanto:
Do terminal a podemos retirar ainda a relação:
Considerando o terminal a como o ponto onde z = 0:
como em z= 0,
podemos escrever:
fazendo algumas manipulações algébricas:
À relação chamamos de coeficiente de reflexão e representamos pela letra grega Γ
Para diferenciar o coeficiente de reflexão na carga do obtido em outro ponto da linha iremos identificar esse por
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coeficiente de reflexão afastado da carga
O valor de Γ em qualquer ponto da linha será dado pela relação entre , sendo assim para um ponto afastado uma distância da carga teremos:
considerando um deslocamento a partir da carga (z=0) para a esquerda (sentido -z) temos:
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Impedância de entrada
A relação entre a tensão e a corrente total em um determinado ponto da linha de transmissão é conhecida como Zin, impedância de entrada.
figura 3: Impedância de entrada - é a impedância vista em um ponto da linha.
Observe que é dada em função de
não estamos nos referindo a Zo (impedância característica) esta corresponde a relação , enquanto que Zin é dada por:
substituindo e por:
temos:
agora substituindo :
dividindo numerador e denominador por e lembrando que:
temos:
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Potência incidente, entregue à carga e refletida
Potência incidente
Ao conectar uma fonte em uma linha de transmissão, passa a se propagar pela linha uma onda de tensão e outra de corrente. Essas duas ondas transportam energia elétrica (figura 1).
Figura 4: linha percorrida por onda de tensão e corrente que transmitem potência elétrica.
Se a fonte de tensão for harmônica, cossenoidal por exemplo, podemos calcular a potência média ativa transmitida por:
- (3)
- e são dados por:
- (4)
- (5)
O termo na equação (5) corresponde ao ângulo de defasagem entre a tensão e a corrente na linha.
Substituindo (4) e (5) em (3) e lembrando que :
o que pode ser escrito como:
(7)
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A equação (7) representa a potência transmitida na linha ou potência incidente. Note que a constante α representa a constante de atenuação da linha.
Potência entregue à carga
A potência ativa entregue à carga pela linha () pode ser calculada por:
Que pode ser reescrita em função das tensões e correntes no terminal a da linha de transmissão.
Considerando o terminal a como o ponto onde z=0:
o termo é exatamente a potência incidente no terminal a portanto:
(8)
|
A linha em na equação (8) representa que o cálculo de deve ser realizado descontando a atenuação da linha, isto é utilizando o valor de no terminal a.
Potência Refletida
Manipulando um pouco a equação (8) podemos encontrar o relação entre a potência incidente, a potência refletida e a potência entregue à carga:
(9)
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O primeiro termo do lado direito da equação (9) corresponde a potência incidente no terminal a e o segundo termo a potência refletida no mesmo terminal. Esta relação mostra que a parcela de potência que chega ao final da linha e não é absorvida pela carga, retorno para linha. Isto é, e são as ondas refletidas na linha e transportam a potência refletida.
Potências na linha e entregue à carga
Potência incidente |
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Potência refletida |
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Potência entregue à carga |
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