- Encontro 2 (20 fev) - Sistemas numéricos
O ser humano precisa contar para determinar quantidades de coisas, com as quantidades ele pode fazer operações matemáticas e comparações.
- Os números permitem representar quantidades de forma simbólica.
- Os símbolos utilizados são chamados de dígitos.
- Em alguns sistemas a posição do símbolo faz diferença (sistemas posicionais), enquanto que em outros o símbolo já representa a quantidade.
- Dependendo do sistema podem existir diferentes tipos e quantidades de símbolos.
- É o sistema utilizado no dia a dia das tarefas diárias
- Utiliza 10 símbolos (dígitos). 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9
- É um sistema posicional, onde a posição do dígito tem um peso dado pela base (10) elevado ao expoente da posição.
- Exemplo: o número representado 135, corresponde a 1 centena (10² = 100), 3 dezenas (10¹ = 10) e 5 unidades (10⁰ = 1), pois
- 1*10² + 3*10¹ + 5*10⁰ = 1*100 + 3*10 + 5*1 = 100 + 30 + 5 = 135
- Com o sistema podemos contar quantidades, representar quantidades inteiras e fracionárias, comparar valores (quantidades), fazer operações de soma, subtração, multiplicação, divisão, entre outras;
- Exemplos:
- Contar: …, 34, 35, 36, 37, …
- Somar: 21 + 46 + 100 = 100 + 20 + 40 + 1 + 6 = 100 + 60 + 7 = 167;
- Multiplicar: 3 x 6 = 6 + 6 + 6 = 18;
- Dividir: 35/7 = (5+ 5 + 5 + 5 + 5 + 5 +5)/7 = (5*7)/7 = 5;
- Representar frações: 12/10 = 1,2; 3/4 = 0,75
- Comparar valores: 145 > 14,5; 230 = 2,3x102
- Nos computadores e circuitos digitais, para fazer a representação de números são utilizadas normalmente duas tensões, sendo uma para representar o dígito “0” (0 volt), e outra para representar o dígito “1” ( X volts).
- Este sistema é chamado de sistema binário, pois utiliza apenas dois dígitos (0 e 1).
- O sistema também é posicional, e permite representar quantidades e fazer operações matemáticas e comparações
- OBS: Muitas vezes os números binários são representados através do sistema hexadecimal ou do sistema octal (já em desuso).
- Utiliza apenas 2 símbolos (dígitos). 0 e 1
- É um sistema posicional, onde a posição do dígito tem um peso dado pela base (2) elevado ao expoente da posição.
- Exemplo: o número representado 111, corresponde a 1 quadra (2² = 4), 1 dupla (2¹ = 2) e 1 unidade (2⁰ = 1).
- 1*2² + 1*2¹ + 1*2⁰ = 1*4 + 1*2 + 1*1 = 4 + 2 + 1 = 7
- O que são bits, nibbles, bytes e word (palavra) de bits
↓msb
|
lsb↓
|
0
|
1
|
1
|
0
|
0
|
1
|
1
|
0
|
1
|
1
|
1
|
0
|
0
|
0
|
1
|
1
|
nibble
|
nibble
|
nibble
|
nibble
|
byte (MSB)
|
byte (LSB)
|
word (palavra)
|
- o nibble corresponde ao grupo de 4 bits (meio byte)
- o byte corresponde ao grupo de 8 bits. Este grupo de 8 bits também é denominado de forma mais exata de octeto.
- a word corresponde ao grupo de 16 bits (as vezes 32 bits)
- a double word corresponte ao grupo de 32 bits (as vezes 64 bits)
- o bit menos significativo (lsb - less significative bit)
- o bit mais significativo (msb - most significative bit)
- o byte menos significativo (LSB - Less Significative Byte)
- o byte mais significativo (MSB - Most Significative Byte)
- Prefixos e multiplos utilizados para quantidades de informação
Nome
|
Símbolo
|
Número de bytes
|
Aproximação decimal
|
Byte
|
B / Byte
|
1
|
1
|
kilobyte
|
kB / kByte
|
|
(mil)
|
Megabyte
|
MB / MByte
|
|
(milhão)
|
Gigabyte
|
GB / GByte
|
|
(bilhão)
|
Terabyte
|
TB / TByte
|
|
(trilhão)
|
Petabyte
|
PB / PByte
|
|
(quadrilhão)
|
- PARA O PRÓXIMO ENCONTRO
ATUAL
- Encontro 3 (22 fev) - Conversão de bases entre sistemas numéricos
- Conversão entre os sistemas de numeração decimal - binário - hexadecimal.
- Regra geral de conversão de valor para um sistema de numeração
- Dividir o resultado obtido pela base.
- Repetir sucessivas vezes até obter resultado zero.
- Os restos obtidos são os digitos que representam o valor.
- O primeiro digito obtido é o menos significativo.
- O último digito obtido é o mais significativo.
- Códigos numéricos binários
- Número sem sinal (UNSIGNED)
- Neste caso apenas números inteiros naturais podem ser representados.
- Usando bits é possível representar números inteiros no intervalo de .
- Por exemplo usando 8 bits =>
bit
|
7
|
6
|
5
|
4
|
3
|
2
|
1
|
0
|
valor
|
1
|
0
|
1
|
0
|
0
|
1
|
1
|
1
|
peso
|
27
|
26
|
25
|
24
|
23
|
22
|
21
|
20
|
peso
|
+128
|
+64
|
+32
|
+16
|
+8
|
+4
|
+2
|
+1
|
somar
|
+128
|
|
+32
|
|
|
+4
|
+2
|
+1
|
resultado
|
128 + 32 + 4 + 2 + 1 = 167
|
- Número com sinal (Sinal-Magnitude ou Magnitude e Sinal)
- Neste caso os números inteiros negativos são representados com 1 no msb, e o positivos com 0 no msb.
- Usando bits é possível representar números inteiros no intervalo de . Nesta representação existem dois zeros, o +0 e o -0.
- Por exemplo usando 8 bits =>
bit
|
7
|
6
|
5
|
4
|
3
|
2
|
1
|
0
|
peso
|
|
26
|
25
|
24
|
23
|
22
|
21
|
20
|
peso
|
|
+64
|
+32
|
+16
|
+8
|
+4
|
+2
|
+1
|
valor
|
1
|
0
|
1
|
0
|
0
|
1
|
1
|
1
|
somar
|
-
|
|
+32
|
|
|
+4
|
+2
|
+1
|
resultado
|
- ( 32 + 4 + 2 + 1) = - 39
|
valor
|
0
|
0
|
1
|
0
|
0
|
1
|
1
|
1
|
somar
|
+
|
|
+32
|
|
|
+4
|
+2
|
+1
|
resultado
|
+ ( 32 + 4 + 2 + 1) = +39
|
- Número com sinal (Complemento de 2 ou SIGNED)
- Neste caso o msb corresponde ao peso negativo, de modo que ao colocar 1 no msb o número inteiro passa a ser negativo, e se o msb for 0, o número será positivo.
- Usando bits é possível representar números inteiros no intervalo de . Nesta representação existem apenas um zero.
- Por exemplo usando 8 bits =>
- Neste caso note que quando todos os bits são 1, o número representado será o -1,
bit
|
7
|
6
|
5
|
4
|
3
|
2
|
1
|
0
|
peso
|
27
|
26
|
25
|
24
|
23
|
22
|
21
|
20
|
peso
|
-128
|
+64
|
+32
|
+16
|
+8
|
+4
|
+2
|
+1
|
valor
|
1
|
0
|
1
|
0
|
0
|
1
|
1
|
1
|
somar
|
-128
|
|
+32
|
|
|
+4
|
+2
|
+1
|
resultado
|
- 128 + 32 + 4 + 2 + 1 = -128 + 39 = -89
|
valor
|
0
|
0
|
1
|
0
|
0
|
1
|
1
|
1
|
somar
|
|
|
+32
|
|
|
+4
|
+2
|
+1
|
resultado
|
32 + 4 + 2 + 1 = +39
|
valor
|
1
|
1
|
1
|
1
|
1
|
1
|
1
|
1
|
somar
|
-128
|
+64
|
+32
|
+16
|
+8
|
+4
|
+2
|
+1
|
resultado
|
-128 + 64 + 32 +16 + 8 + 4 + 2 + 1 = -128 + 127 = -1
|
Comparação das representações
|
Representação binária
|
Decimal
|
Sem sinal
|
Sinal-magnitude
|
Complemento de um
|
Complemento de dois
|
+15
|
1111
|
—
|
—
|
—
|
+14
|
1110
|
—
|
—
|
—
|
+13
|
1101
|
—
|
—
|
—
|
+12
|
1100
|
—
|
—
|
—
|
+11
|
1011
|
—
|
—
|
—
|
+10
|
1010
|
—
|
—
|
—
|
+9
|
1001
|
—
|
—
|
—
|
+8
|
1000
|
—
|
—
|
—
|
+7
|
0111
|
0111
|
0111
|
0111
|
+6
|
0110
|
0110
|
0110
|
0110
|
+5
|
0101
|
0101
|
0101
|
0101
|
+4
|
0100
|
0100
|
0100
|
0100
|
+3
|
0011
|
0011
|
0011
|
0011
|
+2
|
0010
|
0010
|
0010
|
0010
|
+1
|
0001
|
0001
|
0001
|
0001
|
+0
|
—
|
0000
|
0000
|
—
|
0
|
0000
|
—
|
—
|
0000
|
−0
|
—
|
1000
|
1111
|
—
|
−1
|
—
|
1001
|
1110
|
1111
|
−2
|
—
|
1010
|
1101
|
1110
|
−3
|
—
|
1011
|
1100
|
1101
|
−4
|
—
|
1100
|
1011
|
1100
|
−5
|
—
|
1101
|
1010
|
1011
|
−6
|
—
|
1110
|
1001
|
1010
|
−7
|
—
|
1111
|
1000
|
1001
|
−8
|
—
|
—
|
—
|
1000
|
- Para obter o número negativo em complemento de um deve-se complementar (inverter) todos os bits do número binário positivo.
- Para obter o número negativo em complemento de dois deve-se: a) obter o complemento de um (complementar (inverter) todos os bits do número binário positivo ); b) somar 1 ao resultado.
- Para obter o número negativo em sinal-magnitude é necessário apenas adicionar um bit 1 a esquerda do msb.
- Note que em todos os casos a representação de números com sinal, sempre implica na necessidade de um bit a mais.
13 (decimal) = 1101 (binário sem sinal)
+13 (decimal) = 01101 (binário em sinal-magnitude)
-13 (decimal) = 11101 (binário em sinal-magnitude)
+13 (decimal) = 01101 (binário em complemento de um)
-13 (decimal) = 10010 (binário em complemento de um)
+13 (decimal) = 01101 (binário em complemento de dois)
-13 (decimal) = 10011 = 10010 + 1 (binário em complemento de dois)
- PARA O PRÓXIMO ENCONTRO
|