Na linha de transmissão a propagação das ondas incidente e refletida cria um padrão de onda estacionária (figura 1).
figura 1: onda estacionária para uma linha sem perdas e com
fonte: WENTWORTH, Stuart M. Eletromagnetismo Aplicado: Abordagem Antecipada das Linhas de Transmissão. Bookman, 2009.
O parâmetro utilizado para medir ou indicar a "quantidade" de onda estacionário ou de reflexão de onda numa linha de transmissão é a relação de onda estacionária (VSWR ou ROTE). O qual é definido como a razão entre as amplitudes máxima e a mínima da onda estacionária entre um pico e um vale consecutivo:
![{\displaystyle VSWR={|V(z)_{max}| \over |V(z)_{min}|}}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/260613596f25bd24253f3816cf467183f271134e)
![{\displaystyle VSWR={|V_{max}^{+}+V_{max}^{-}| \over |V_{max}^{+}-V_{max}^{-}|}}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/71934f3526ff9ed6b5be082971fd84a9677682b0)
(1)
substituindo
por
temos:
![{\displaystyle VSWR={|V_{o}^{+}+\Gamma V_{o}^{+}| \over |V_{o}^{+}-\Gamma V_{o}^{+}|}}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3fbe72c4cf8eec8c80bac8f55838f1ad0f23955a)
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Linha sem perdas
Muitas linhas de transmissão são formadas por bons condutores e isolantes. Essas linhas apresentam valores de R e G muito pequenos e como:
![{\displaystyle R<<jwL=>R+jwL=jwL}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7eadece56f312b1b8b33881b2ff248df3cf266ef)
![{\displaystyle G<<jwC=>G+jwC=jwC}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5fd8608e4f29254df8733a60832a8a68bd646887)
Ao fazermos essas aproximações estamos considerando que a linha não tem perdas, como podemos observar no coeficiente de propagação (γ)
![{\displaystyle \gamma ={\sqrt {(R+jwL)(G+jwC)}}}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af7ccfcc631b7dfc0fcb8afef47767d026d42d23)
![{\displaystyle \gamma ={\sqrt {(jw)^{2}LC)}}}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/efa6c64ddc0aaf13eba5ac4dabe17f3ff081b56b)
(2)
como
e a equação (2) não apresenta parte real
.
Impedância característica de uma linha sem perdas
![{\displaystyle Z_{o}={\sqrt {R+jwL \over G+jwC}}}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8df6a0dcf8936f0859a5b391c34ab2addd5e329b)
![{\displaystyle Z_{o}={\sqrt {jwL \over jwC}}}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa2917d6f51067bcd768bc3d2aae9e91bbac243e)
a impedância característica da uma linha sem perdas é resistiva !!!
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Potência incidente de uma linha sem perdas
Uma vez que
é resistiva e
, a potência incidente de uma linha sem perdas passa a ser:
![{\displaystyle P(z)^{+}={V_{o}^{+2} \over Z_{o}}e^{-2\alpha }cos\theta }](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/556b6e72f15c33dfd8c7631341ec0f8f1f703b08)
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Impedância de entrada,
na linha sem perdas
Em relação a
temos:
![{\displaystyle Z_{in(z)}=Z_{o}{Z_{L}(e^{-\gamma z}+e^{\gamma z})+Z_{o}(e^{-\gamma z}-e^{\gamma z}) \over Z_{L}(e^{-\gamma z}-e^{\gamma z})+Z_{o}(e^{-\gamma z}+e^{\gamma z})}}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/036d6e8cd34eaed0740af20337e30a4f7d87bb9c)
![{\displaystyle Z_{in(z)}=Z_{o}{Z_{L}((e^{-\alpha z}e^{-j\beta z})+(e^{\alpha z}e^{j\beta z}))+Z_{o}((e^{-\alpha z}e^{-j\beta z})-(e^{\alpha z}e^{j\beta z})) \over Z_{L}((e^{-\alpha z}e^{-j\beta z})-(e^{\alpha z}e^{j\beta z}))+Z_{o}((e^{-\alpha z}e^{-j\beta z})+(e^{\alpha z}e^{j\beta z}))}}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd89a6f1cf441d27df2c3707f2574851f49ebe5d)
como α = 0:
![{\displaystyle Z_{in(z)}=Z_{o}{Z_{L}(e^{-j\beta z}+e^{j\beta z})+Z_{o}(e^{-j\beta z}-e^{j\beta z}) \over Z_{L}(e^{-j\beta z}-e^{j\beta z})+Z_{o}(e^{-j\beta z}+e^{j\beta z})}}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d4a19bbb8b1dd5f534a14b02a765fc7a9bb6ef26)
e da identidade de Euler:
![{\displaystyle e^{-j\beta z}=cos\beta z-jsen\beta z}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c628694ab0856bab151b19803a0b0572b4ab808)
![{\displaystyle e^{j\beta z}=cos\beta z+jsen\beta z}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/705eeb82cd9d9328006db0779003e00797c3b1cb)
![{\displaystyle Z_{in(z)}=Z_{o}{Z_{L}(cos\beta z{\color {red}-jsen\beta z}+cos\beta z{\color {red}+jsen\beta z)}+Z_{o}({\color {red}cos\beta z}-jsen\beta z{\color {red}-cos\beta z}-jsen\beta z) \over Z_{L}({\color {red}cos\beta z}-jsen\beta z{\color {red}-cos\beta z}-jsen\beta z)+Z_{o}(cos\beta z{\color {red}-jsen\beta z}+cos\beta z+{\color {red}jsen\beta z)}}}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3738da58c3662137efefb2fde6e06fb5b2aa51ed)
![{\displaystyle Z_{in(z)}=Z_{o}{Z_{L}(cos\beta z)-Z_{o}(jsen\beta z) \over -Z_{L}(jsen\beta z)+Z_{o}(cos\beta z)}}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/689e604998952386e4d383059d1c524fde6ea616)
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