Uma linha de transmissão possui uma impedância característica Zo definida pela relação entre a
e
. Considere que uma carga
é acoplada a um dos terminais da linha (figura 1)
figura 1: Linha com carga
Sobre essa carga teremos uma tensão
, fazendo circular uma corrente
.
Na linha teremos as tensões
e
e as correntes
e
, conforme indicado no figura 2.
figura 2: Linhas com carga com tensões e correntes.
podemos escrever
como:
![{\displaystyle Z_{L}={V_{L} \over I_{L}}}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d2f6da54965188fa4d433eea48e9134b1989106e)
Mas no nó terminal a da linha a tensão é a soma fasorial de
e
, portanto
![{\displaystyle V_{L}=V^{+}e^{-\gamma z}+V^{-}e^{\gamma z}}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8c8da900765e6cf093489ab8f5b92753c74f0dc)
do nó a podemos retirar ainda a relação:
![{\displaystyle I_{L}=I^{+}e^{-\gamma z}+I^{-}e^{\gamma z}}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e045ba61a5e651c5eb3d91229fd6e872dd123051)
considerando o nó a como o ponto onde z = 0:
![{\displaystyle Z_{L}={V^{+}+V^{-} \over I^{+}+I^{-}}}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f3b70f9fb07316dd48c3b78904a9450de33d5590)
como
![{\displaystyle Z_{o}={V^{+} \over I^{+}}={-V^{-} \over I^{-}}}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef159d995a24bf236b8bcaa44ad6426b884a8e43)
podemos escrever:
![{\displaystyle Z_{L}={V^{+}+V^{-} \over {{V^{+} \over Z_{o}}-{V^{-} \over Z_{o}}}}}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd32eb3f533658cedc6de661ab591cb34620abfa)
fazendo algumas manipulações algébricas:
![{\displaystyle {V^{-} \over V^{+}}={Z_{L}-Z_{o} \over Z_{L}+Z_{o}}}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7fcb032fbb4115d487f99345fd0733ed9a1af42e)
À relação
chamamos de coeficiente de reflexão e representamos pela letra grega Γ
Para diferenciar de outro ponto da linha iremos identificar o coeficiente de reflexão na carga por
|
coeficiente de reflexão afastado da carga
O valor de Γ em qualquer ponto da linha será dado pela relação entre
, sendo assim para um ponto afastado uma distância l da carga teremos:
![{\displaystyle \Gamma ={V_{o}^{-}e^{\gamma l} \over V_{o}^{+}e^{-\gamma l}}}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/265a850491eebd100c9f9cd4a91bcabb90ac7cfa)
|
Impedância de entrada
A relação entre a tensão e a corrente total em um determinado ponto da linha de transmissão é conhecida como Zin, impedância de entrada.
figura 3: Impedância de entrada - é a impedância vista em um ponto da linha.
Observe que não estamos nos referindo a Zo (impedância característica) esta corresponde a relação
, enquanto que Zin é dada por:
![{\displaystyle Z_{in(z)}={V_{o}^{+}e^{-\gamma z}+V_{o}^{-}e^{\gamma z} \over I_{o}^{+}e^{-\gamma z}+I_{o}^{-}e^{\gamma z}}}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f268cbcc9a890536f781afe4594d55d6ee5b7a81)
substituindo
e
por:
![{\displaystyle I_{o}^{+}={V_{o}^{+} \over Z_{o}}}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/05e8cd6d8a0ed13bc9e3df82218404f2476609a8)
![{\displaystyle I_{o}^{-}={-V_{o}^{-} \over Z_{o}}}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/59c1e54f3435ea6661614eb96730044b87811e19)
temos:
![{\displaystyle Z_{in(z)}=Z_{o}{V_{o}^{+}e{-\gamma z}+V_{o}^{-}e{\gamma z} \over V_{o}^{+}e{-\gamma z}-V_{o}^{-}e{\gamma z}}}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/daa7759c100145500327b2ad5e32fd116bd34985)
agora substituindo
:
![{\displaystyle Z_{in(z)}=Z_{o}{V_{o}^{+}e^{-\gamma z}+\Gamma V_{o}^{+}e^{\gamma z} \over V_{o}^{+}e^{-\gamma z}-\Gamma V_{o}^{+}e^{\gamma z}}}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b98598e4ff293b012c81481e7446271fe8d43801)
![{\displaystyle Z_{in(z)}=Z_{o}{e^{-\gamma z}+\Gamma e^{\gamma z} \over e^{-\gamma z}-\Gamma e^{\gamma z}}}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ccd3434983e5e6e8e51a87dc42445bf80b9a0a9)
![{\displaystyle Z_{in(z)}=Z_{o}{e^{-\gamma z}+{(Z_{L}-Z_{o}) \over (Z_{L}+Z_{o})}e^{\gamma z} \over e^{-\gamma z}-{(Z_{L}-Z_{o}) \over (Z_{L}+Z_{o})}e^{\gamma z}}}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa83d8d80d2134f5fe951c59e0b637cec0e7b7e8)
![{\displaystyle Z_{in(z)}=Z_{o}{Z_{L}(e^{-\gamma z}+e^{\gamma z})+Z_{o}(e^{-\gamma z}-e^{\gamma z}) \over Z_{L}(e^{-\gamma z}-e^{\gamma z})+Z_{o}(e^{-\gamma z}+e^{\gamma z})}}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/036d6e8cd34eaed0740af20337e30a4f7d87bb9c)
dividindo numerador e denominador por
e lembrando que:
temos:
![{\displaystyle Z_{in(z)}=Z_{o}{Z_{L}+Z_{o}tanh\gamma z \over Z_{o}+Z_{L}tanh\gamma z}}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8172b80b70132fe56ea4e2d604d5db4ae6e975da)