Transformada de Fourier no tempo contínuo (TFTC)
O sinal é contínuo no tempo, e o sinal é contínuo na frequência.
- A equação de análise
- É uma transformação de um domínio de uma variável real de tempo continuo em uma variável complexa de frequência contínua.
- .
- .
- A equação de síntese
- É uma transformação de um domínio de uma variável complexa de frequência contínua em uma variável real de tempo continuo.
- .
- .
- A transformada de Fourier , por simplificação é muitas vezes representada apenas por ou , mas é importante lembrar que tratasse de uma frequência complexa, representada pelo eixo imaginário do plano s.
Figura 1 - Sinal e sua transformada de Fourier
Fonte: Elaborado pelo autor.
Transformada Z
A transformada Z de um sinal de tempo discreto é a função definida como
- onde é um inteiro; é um número complexo, com sendo sua magnitude, e sua frequência angular (em radianos por amostra).
A transformada Z inversa é
onde é o caminho antihorário envolvendo a origem, dentro da região de convergencia (ROC) de .
Transformada de Fourier no tempo discreto (TFTD)
O sinal é discreto no tempo, e o sinal é contínuo e periódico em .
- A equação de análise
- É uma transformação de um domínio de uma variável real de tempo discreto em uma variável complexa frequência contínua periódica.
- .
- .
- A equação de síntese
- É uma transformação de um domínio de uma variável complexa de frequência contínua periódica em uma variável real continua.
- .
- .
Transformada de Discreta de Fourier (TDF)
Obtenção da TDF a partir da amostragem da TFTD
Sinais discretos no tempo podem ser representados pela sua TFTD, que é uma função continua periódica em de :
Para que a mesma possa ser utilizada no processamento de sinais digitais é necessário que a variável frequência seja também discreta. Se amostrarmos uniformemente a frequência em N amostras entre 0 e é possível obter a TDF (ou DFT - Discrete Fourier Transform). Assim se tomarmos N frequências com , and , obtemos o espectro amostrado uniformemente:
.
O sinal equivalente no tempo pode ser obtido aplicando a transformada inversa e a convolução:
.
O que mostra que o sinal Esse sinal são repetições periódicas (com período N) do sinal discreto original.
- Note que N o período de repetição do sinal é o mesmo período de repetição das N amostras da TFTD original.
- Se o comprimento L o sinal do for maior que N o período de repetição do sinal , haverá sobreposição das amostras no tempo (time aliasing), e não será possível recuperar o sinal original.
- Por outro lado, se então é a repetição periódica exata de .
, para ou
.
Portanto, é possível recuperar as amostras do sinal digital no tempo a partir das suas amostras digitais na frequência, desde que o período de repetição das N amostras de frequência seja maior ou igual ao comprimento L do sinal no tempo.
DFT e IDFT
- O sinal é discreto no tempo pode ser representado pelo o sinal discreto e periódico em .
Para obter a equação de análise (DFT) pode ser feito o cálculo das amostras do espectro de frequências em em:
Conforme mostrado, o espectro é periódico em N, e portanto é suficiente calcular apenas os valores para . Assim obtém-se
- A equação de análise (DFT)
- É uma transformação de um domínio de uma variável real de tempo discreto em uma variável complexa frequência discreta periódica.
- .
- .
, para
- A equação de síntese (IDFT)
- É uma transformação de um domínio de uma variável complexa de frequência discreta periódica em uma variável real discreta.
- .
- .
, para
Ao usar a equação de análise, se o comprimento L de for menor que o período de repetição N, é necessário que seja preenchido com amostras nulas até atingir o comprimento N (zero-padding).
- Simplificação da notação
Para simplificar a notação é frequente utilizar:
- para a frequência discreta periódica.
E ainda definir:
o qual representa um segmento do circulo unitário no plano complexo. Assim termos por exemplo que:
Também é importante lembrar que se é múltiplo de então:
Dessa forma as equações da DFT e IDFT passam a ser escritas de forma simplificada como:
, para
, para
Dessas equações é possível perceber que o cálculo da DFT e da IDFT requerem a multiplicações e somas, sendo portanto um algoritmo de .
Transformada Rápida de Fourier (FFT)
As FFTs são algoritmos que reduzem a complexidade do cálculo da DFT, obtendo ordens de .
Soma dos termos de uma Progressão Geométrica
A soma aritmética dos termos de uma P.G. a partir do primeiro termo, é definida por:
Caso , a soma pode ser descrita por: