Uma linha de transmissão possui uma impedância característica Zo definida pela relação entre a
e
. Considere que uma carga
é acoplada a um dos terminais da linha (figura 1).
figura 1: Linha com carga
Sobre essa carga teremos uma tensão
, fazendo circular uma corrente
. Na linha teremos as tensões
e
e as correntes
e
, conforme indicado no figura 2.
figura 2: Linhas com carga com tensões e correntes.
Podemos escrever
como:
![{\displaystyle \ Z_{L}={V_{L} \over I_{L}}}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/58302b1f491d08f7a873170b4f7b950586a4257a)
Mas no nó terminal a da linha a tensão é a soma fasorial de
e
, portanto:
![{\displaystyle \ V_{L}=V^{+}e^{-\gamma z}+V^{-}e^{\gamma z}}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/afef981ee4be8c18136ca68eb74dc557458f61d4)
Do terminal a podemos retirar ainda a relação:
![{\displaystyle \ I_{L}=I^{+}e^{-\gamma z}+I^{-}e^{\gamma z}}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f5a0edfc6bf1068c69c31572505cfca5e7b790a)
Considerando o terminal a como o ponto onde z = 0:
![{\displaystyle \ Z_{L}={V^{+}+V^{-} \over I^{+}+I^{-}}}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/650c97b92b88306190b4d6421c5870fbe90071a8)
como,
![{\displaystyle \ Z_{o}={V^{+} \over I^{+}}={-V^{-} \over I^{-}}}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef02c688ecc066882a1a9dbd5d5465f6605af8df)
podemos escrever:
![{\displaystyle \ Z_{L}={V^{+}+V^{-} \over {{V^{+} \over Z_{o}}-{V^{-} \over Z_{o}}}}}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a56eafdd1b6d7e862a43fbd8aaba3140fcc4440)
fazendo algumas manipulações algébricas:
![{\displaystyle \ {V^{-} \over V^{+}}={Z_{L}-Z_{o} \over Z_{L}+Z_{o}}}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d334d6aeda30fdf2430b74f98cc526d3d188039)
À relação
chamamos de coeficiente de reflexão e representamos pela letra grega Γ
Para diferenciar o coeficiente de reflexão na carga do obtido em outro ponto da linha iremos identificar esse por
|
coeficiente de reflexão afastado da carga
O valor de Γ em qualquer ponto da linha será dado pela relação entre
, sendo assim para um ponto afastado uma distância l da carga teremos:
![{\displaystyle \ \Gamma ={V_{o}^{-}e^{\gamma l} \over V_{o}^{+}e^{-\gamma l}}}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c65891a01856a28bf085fc156fcf93e9947de555)
|
Impedância de entrada
A relação entre a tensão e a corrente total em um determinado ponto da linha de transmissão é conhecida como Zin, impedância de entrada.
figura 3: Impedância de entrada - é a impedância vista em um ponto da linha.
Observe que
é dada em função de
não estamos nos referindo a Zo (impedância característica) esta corresponde a relação
, enquanto que Zin é dada por:
![{\displaystyle \ Z_{in(-l)}={V_{o}^{+}e^{\gamma l}+V_{o}^{-}e^{-\gamma l} \over I_{o}^{+}e^{\gamma l}+I_{o}^{-}e^{-\gamma l}}}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/351f9f17145a73ef0400bfd9dca8bc4287df3193)
substituindo
e
por:
![{\displaystyle \ I_{o}^{+}={V_{o}^{+} \over Z_{o}}}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/55a2ef9a2bcda8251af96cbba2919143778372d5)
![{\displaystyle \ I_{o}^{-}={-V_{o}^{-} \over Z_{o}}}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d9108deb2c3b6eee046f23653155f1f76cf83ce)
temos:
![{\displaystyle \ Z_{in(z)}=Z_{o}{V_{o}^{+}e^{\gamma z}+V_{o}^{-}e^{-\gamma z} \over V_{o}^{+}e^{\gamma z}-V_{o}^{-}e^{-\gamma z}}}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b458832caa0cdfd7f2a151047a7e67dfd297682)
agora substituindo
:
![{\displaystyle \ Z_{in(z)}=Z_{o}{V_{o}^{+}e^{\gamma z}+\Gamma _{L}V_{o}^{+}e^{-\gamma z} \over V_{o}^{+}e^{\gamma z}-\Gamma _{L}V_{o}^{+}e^{-\gamma z}}}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2e32d80ed3dd129a68f4e873fca144e9e9033a6a)
![{\displaystyle \ Z_{in(z)}=Z_{o}{e^{\gamma z}+\Gamma _{L}e^{-\gamma z} \over e^{\gamma z}-\Gamma _{L}e^{-\gamma z}}}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/167a6ed3af34852ad86ca865a1628510a6544ba4)
![{\displaystyle \ Z_{in(z)}=Z_{o}{e^{\gamma z}+{(Z_{L}-Z_{o}) \over (Z_{L}+Z_{o})}e^{-\gamma z} \over e^{\gamma z}-{(Z_{L}-Z_{o}) \over (Z_{L}+Z_{o})}e^{-\gamma z}}}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/58b48999eb4530a929342addbf5d6bdfe2953932)
![{\displaystyle \ Z_{in(z)}=Z_{o}{Z_{L}(e^{\gamma z}+e^{-\gamma z})+Z_{o}(e^{\gamma z}-e^{-\gamma z}) \over Z_{L}(e^{\gamma z}-e^{-\gamma z})+Z_{o}(e^{\gamma z}+e^{-\gamma z})}}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b5d3d95b143b6c90ae0ddc73e7355cda5bacfd31)
dividindo numerador e denominador por
e lembrando que:
![{\displaystyle \ \tanh {e^{t}-e^{-t} \over e^{t}+e^{-t}}}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c8fcd9fd546288d38b1957ad56665fe99c20f970)
temos:
|
Potência incidente, entregue à carga e refletida
Potência incidente
Ao conectar uma fonte em uma linha de transmissão, passa a se propagar pela linha uma onda de tensão e outra de corrente. Essas duas ondas transportam energia elétrica (figura 1).
Figura 4: linha percorrida por onda de tensão e corrente que transmitem potência elétrica.
Se a fonte de tensão for harmônica, cossenoidal por exemplo, podemos calcular a potência média ativa transmitida por:
(3)
e
são dados por:
(4)
(5)
O termo
na equação (5) corresponde ao ângulo de defasagem entre a tensão e a corrente na linha.
Substituindo (4) e (5) em (3) e lembrando que
:
![{\displaystyle \ P^{+}(l)={1 \over 2}\Re \{V_{o}^{+}e^{-\alpha l}e^{-j\beta l}.I_{o}^{+}e^{-\alpha l}e^{-j\theta }e^{j\beta l}\}}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9cac91e29400842ad7cff94edecf697dbb78175b)
![{\displaystyle \ P^{+}(l)={1 \over 2}\Re \{V_{o}^{+}e^{-\alpha l}e^{-j\beta l}.{V(z)^{+} \over I(l)^{+}}e^{-\alpha l}e^{-j\theta }e^{j\beta l}\}}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/530471689a6beae47999e09c0fb161d0e13b974c)
![{\displaystyle \ P^{+}(l)={1 \over 2}\Re \{{V_{o}^{+2} \over |Zo|}e^{-2\alpha l}e^{-j\theta }\}}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd68bbe66c5159a6ef89670f8f7d91cbd1deab22)
o que pode ser escrito como:
(7)
|
A equação (7) representa a potência transmitida na linha ou potência incidente. Note que a constante α representa a constante de atenuação da linha.
Potência entregue à carga
A potência ativa entregue à carga pela linha (
) pode ser calculada por:
![{\displaystyle \ P_{L}=\Re \{V_{L}.I_{L}^{*}\}}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c27363f46fef472d4af11b7005a974a33d138979)
Que pode ser reescrita em função das tensões e correntes no terminal a da linha de transmissão.
![{\displaystyle \ P_{L}=\Re \{V(z).I(z)^{*}\}}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/42301e7ad08e6d4c94fbb1a3d991ace320f15989)
![{\displaystyle \ P_{L}=\Re \{(V_{o}^{+}e^{-\alpha z}e^{-j\beta z}+V_{o}^{-}e^{\alpha z}e^{j\beta z}).(I_{o}^{+}e^{-\alpha z}e^{j\theta }e^{j\beta z}+I_{o}^{-}e^{\alpha z}e^{j\theta }e^{-j\beta z})\}}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/14fcdb1be86849fa4a0e9c5bfbde93ef0528fc44)
![{\displaystyle \ P_{L}=\Re \{(V_{o}^{+}e^{-\alpha z}e^{-j\beta z}+\Gamma V_{o}^{+}e^{\alpha z}e^{j\beta z}).({V_{o}^{+} \over Z_{o}}e^{-\alpha z}e^{j\theta }e^{j\beta z}+-\Gamma {V_{o}^{+} \over Z_{o}}e^{\alpha z}e^{j\theta }e^{-j\beta z})\}}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/64b7744b0a3faada19c598f1a077cb9ba1d8e45e)
Considerando o terminal a como o ponto onde z=0:
![{\displaystyle \ P_{L}=\Re \{(V_{o}^{+}+\Gamma V_{o}^{+}).({V_{o}^{+} \over Z_{o}}e^{j\theta }-\Gamma {V_{o}^{+} \over Z_{o}}e^{j\theta })\}}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e21b3dac46f5dbecb790db3c67ef4577fe00bf4)
![{\displaystyle \ P_{L}=\Re \{{V_{o}^{+2} \over Z_{o}}e^{j\theta }-\Gamma ^{2}{V_{o}^{+2} \over Z_{o}}e^{j\theta }\}}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b8846c36ee67af9637c3662e36e7198f7c75423)
![{\displaystyle \ P_{L}=\Re \{{V_{o}^{+2} \over Z_{o}}e^{j\theta }(1-\Gamma ^{2})\}}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/45273f8ff24205626130fe6d691ddcc3689bb46b)
o termo
é exatamente a potência incidente no terminal a portanto:
(8)
|
A linha em
na equação (8) representa que o cálculo de
deve ser realizado descontando a atenuação da linha, isto utilizando o valor de
no terminal a.
Potência Refletida
Manipulando um pouco a equação (8) podemos encontrar o relação entre a potência incidente, a potência refletida e a potência entregue à carga:
![{\displaystyle \ P_{L}=P^{+'}(1-\Gamma ^{2})}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16995909954d2300f8b109c552a73dbfce7a8184)
![{\displaystyle \ P_{L}=P^{+'}-\Gamma ^{2}P^{+'}}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b0f45364a2239e46f8d8536715d797ee566d8db8)
![{\displaystyle \ P_{L}={V^{+'2} \over Z_{o}}-\Gamma ^{2}{V^{+'2} \over Z_{o}}}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8805b7f77654d682f7a0055522c919521dbd1738)
![{\displaystyle \ P_{L}={V^{+'2} \over Z_{o}}-{(\Gamma .V^{+'})^{2} \over Z_{o}}}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bfe24cfa0e136ca90d9e56934ed73ca977685b14)
(9)
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O primeiro termo do lado direito da equação (9) corresponde a potência incidente no terminal a e o segundo termo a potência refletida no mesmo terminal. Esta relação mostra que a parcela de potência que chega ao final da linha e não é absorvida pela carga, retorno para linha. Isto é, V^-(z) e I^-(z) são as ondas refletidas na linha e transportam a potência refletida.
Potências na linha e entregue à carga
Potência incidente |
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Potência refletida |
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Potência entregue à carga |
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