Na linha de transmissão a propagação das ondas incidente e refletida cria um padrão de onda estacionária (figura 1).
figura 1: onda estacionária para uma linha sem perdas e com
fonte: WENTWORTH, Stuart M. Eletromagnetismo Aplicado: Abordagem Antecipada das Linhas de Transmissão. Bookman, 2009.
O parâmetro utilizado para medir ou indicar a "quantidade" de onda estacionário ou de reflexão de onda numa linha de transmissão é a relação de onda estacionária (VSWR ou ROTE). O qual é definido como a razão entre as amplitudes máxima e a mínima da onda estacionária entre um pico e um vale consecutivo:
![{\displaystyle VSWR={|V(z)_{max}| \over |V(z)_{min}|}}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/260613596f25bd24253f3816cf467183f271134e)
![{\displaystyle VSWR={|V_{max}^{+}+V_{max}^{-}| \over |V_{max}^{+}-V_{max}^{-}|}}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/71934f3526ff9ed6b5be082971fd84a9677682b0)
(1)
substituindo
por
temos:
![{\displaystyle VSWR={|V_{o}^{+}+\Gamma V_{o}^{+}| \over |V_{o}^{+}-\Gamma V_{o}^{+}|}}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3fbe72c4cf8eec8c80bac8f55838f1ad0f23955a)
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Linha sem perdas
Muitas linhas de transmissão são formadas por bons condutores e isolantes. Essas linhas apresentam valores de R e G muito pequenos e como:
![{\displaystyle R<<jwL=>R+jwL=jwL}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7eadece56f312b1b8b33881b2ff248df3cf266ef)
![{\displaystyle G<<jwC=>G+jwC=jwC}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5fd8608e4f29254df8733a60832a8a68bd646887)
Ao fazermos essas aproximações estamos considerando que a linha não tem perdas, como podemos observar no coeficiente de propagação (γ)
![{\displaystyle \gamma ={\sqrt {(R+jwL)(G+jwC)}}}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af7ccfcc631b7dfc0fcb8afef47767d026d42d23)
![{\displaystyle \gamma ={\sqrt {(jw)^{2}LC)}}}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/efa6c64ddc0aaf13eba5ac4dabe17f3ff081b56b)
(2)
como
e a equação (2) não apresenta parte real
.
Impedância característica de uma linha sem perdas
![{\displaystyle Z_{o}={\sqrt {R+jwL \over G+jwC}}}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8df6a0dcf8936f0859a5b391c34ab2addd5e329b)
![{\displaystyle Z_{o}={\sqrt {jwL \over jwC}}}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa2917d6f51067bcd768bc3d2aae9e91bbac243e)
a impedância característica da uma linha sem perdas é resistiva !!!
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Potência incidente de uma linha sem perdas
Uma vez que
é resistiva e
, a potência incidente de uma linha sem perdas passa a ser:
![{\displaystyle P(z)^{+}={V_{o}^{+2} \over Z_{o}}e^{-2\alpha }cos\theta }](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/556b6e72f15c33dfd8c7631341ec0f8f1f703b08)
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Impedância de entrada,
na linha sem perdas
Em relação a
temos:
![{\displaystyle Z_{in(-l)}=Z_{o}{Z_{L}(e^{\gamma l}+e^{-\gamma l})+Z_{o}(e^{\gamma l}-e^{-\gamma l}) \over Z_{L}(e^{\gamma l}-e^{-\gamma l})+Z_{o}(e^{\gamma l}+e^{-\gamma l})}}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e000be251975317084f4e39c4d568ca76848a52)
![{\displaystyle Z_{in}=Z_{o}{Z_{L}((e^{\alpha l}e^{j\beta l})+(e^{-\alpha l}e^{-j\beta l}))+Z_{o}((e^{\alpha l}e^{j\beta l})-(e^{-\alpha l}e^{-j\beta l})) \over Z_{L}((e^{\alpha l}e^{j\beta l})-(e^{-\alpha l}e^{-j\beta l}))+Z_{o}((e^{\alpha l}e^{j\beta l})+(e^{-\alpha l}e^{-j\beta l}))}}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eafffddb694819116b386d1458c3735fcbe0f273)
como α = 0:
![{\displaystyle Z_{in}=Z_{o}{Z_{L}(e^{j\beta l}+e^{-j\beta l})+Z_{o}(e^{j\beta l}-e^{-j\beta l}) \over Z_{L}(e^{j\beta l}-e^{-j\beta l})+Z_{o}(e^{j\beta l}+e^{-j\beta l})}}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1cf9d77e8ab3cfa0bc5b2e18dd4910ab715d69f0)
e da identidade de Euler:
![{\displaystyle e^{-j\beta l}=cos\beta l-jsen\beta l}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d6f0ffcdc79d2ce2b93d391ed2c519a68007379c)
![{\displaystyle e^{j\beta z}=cos\beta l+jsen\beta l}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/de71f72ee111f33d56e8aadba52b4c7f3e98ce0c)
![{\displaystyle Z_{in(z)}=Z_{o}{Z_{L}(cos\beta l{\color {red}+jsen\beta l}+cos\beta l{\color {red}-jsen\beta l)}+Z_{o}({\color {red}cos\beta l}+jsen\beta l{\color {red}-cos\beta l}+jsen\beta l) \over Z_{L}({\color {red}cos\beta l}+jsen\beta l{\color {red}-cos\beta l}+jsen\beta l)+Z_{o}(cos\beta l{\color {red}+jsen\beta l}+cos\beta l-{\color {red}jsen\beta l)}}}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc7695d63d7137599e0acd0d11eca5429d20b0df)
![{\displaystyle Z_{in}=Z_{o}{Z_{L}(cos\beta l)+Z_{o}(jsen\beta l) \over Z_{L}(jsen\beta l)+Z_{o}(cos\beta l)}}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5eedcba7a3207069071c2617683c7b98f3695a58)
dividindo numerador e denominador por
:
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