A figura 1 mostra uma seção infinitesimal de uma linha de transmissão sendo submetida a uma tensão e percorrida por uma corrente. A partir da análise das tensões e correntes instantâneas dessa seção chegaremos nas equações da onda viajante na linha de transmissão.
Figura 1: Seção infinitesimal de uma linha de transmissão.
fonte: WENTWORTH, Stuart M. Eletromagnetismo Aplicado: Abordagem Antecipada das Linhas de Transmissão. Bookman, 2009.
A partir de Kirchhoff para a malha temos:
(1)
E de Kirchhoff para o nó a :
(2)
Dividindo as equações (1) E (2) por
e fazendo
:
(3)
(4)
Os limites nas equações (4) e (5) correspondem a definição de derivada, portanto podemos escrever as equações telegráficas:
(5)
|
(6)
|
Solução das equações telegráficas via uma função harmônica no tempo (sinusoidal)
Vamos obter a solução para as equações telegráficas a partir de uma solução harmônica no tempo, isto é, vamos considerar que a tensão v(z,t) é cossenoidal.
A equação de uma onda de tensão cossenoidal e descrita por:
(7)
v(z) e Φ (z) são funções apenas da posição z.
Considerando a identidade de Euler [
], podemos reescrever a equação (7) como:
(8)
![{\displaystyle v(z,t)=v(z)cos(wt+\phi (z))=\Re \left\{v(z)e^{j(wt+\phi (z))}\right\}}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/85abe451db1341777c3daf2016b2f6b26056b32c)
(9)
Da representação de função complexa:
(10)
Portanto:
(11)
(12)
A análise feita considerando uma onda de tensão tem sua equivalente em termos de uma onda de corrente.
Equação da onda viajante
Lembrando que:
![{\displaystyle {\partial \Re \left\{e^{jwt}\right\} \over \partial t}={\partial \Re \left\{cos(wt)+jsen(wt)\right\} \over \partial t}}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ece0248e373d13a95298d94729d4b0c8d9da5a7)
![{\displaystyle ={\partial cos(wt) \over \partial t}=-wsen(wt)}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a92438c9ef2900dc7170fcb64f240014c0c93170)
e
![{\displaystyle \Re \left\{jwe^{jwt}\right\}=\Re \left\{jw(cos(wt)+jsen(wt))\right\}}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d8beb04f3fe048d917c6532ad86c9a11354446be)
![{\displaystyle =-wsen(wt)}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/de209261c62478f27db3836ccd544950d095bb9a)
temos:
![{\displaystyle {\partial \Re \left\{e^{jwt}\right\} \over \partial t}=\Re \left\{jwe^{jwt}\right\}}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/57cec4a97df8913892f522904ddcdb23b8462c02)
portanto:
![{\displaystyle {\partial v(z,t) \over \partial t}={\partial \Re \left\{V(z)e^{jwt}\right\} \over \partial t}}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b88c469767b6ac30ec1fe32a952580810dffc3b)
![{\displaystyle {\partial v(z,t) \over \partial t}=V(z){\partial \Re \left\{e^{jwt}\right\} \over \partial t}=V(z)\Re \left\{jwe^{jwt}\right\}}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/90e6fb7caf36af7a780a7d2a48d0ac7147da7759)
![{\displaystyle {\partial v(z,t) \over \partial t}=jwV(z)}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/32b46fa72071a9c303aa30018fb1bea34b318e9c)
Utilizando a notação de função complexa e substituindo v(z,t) e i(z,t) nas equações telegráficas (5) e (6):
(14)
|
(15)
|
Derivando a primeira equação telegráfica (14) em função de z:
![{\displaystyle {\partial ^{2}V(z) \over \partial z^{2}}=-(R+jwL){\partial I(z) \over \partial z}}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f5f2cb628245896312b5f956ebbc504a7504f15)
e substituindo
pela segunda equação telegráfica (15) temos:
(16)
fazendo
isto é
(17)
A equação (17) é uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem. Uma solução para esta equação é uma função exponencial, como:
(18)
onde A e
são constantes arbitrárias.
Derivando duas vezes a função (18) em função de z temos:
![{\displaystyle {\partial ^{2}V(z) \over \partial z^{2}}=\lambda ^{2}Ae^{\lambda z}}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/63ec3427f1fa801185191170eb1fab721bb1d8ae)
e a equação (17) pode ser reescrita como:
![{\displaystyle \lambda ^{2}Ae^{\lambda z}-\gamma ^{2}Ae^{\lambda z}=0}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc1c56fcaf994ba1b46d371172ef128990e55d17)
ou
ou ![{\displaystyle (\lambda +\gamma )(\lambda -\gamma )=0}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f9a06031b5b528a6694ec387838f4135791105b5)
Uma solução para essa equação é
, portanto:
![{\displaystyle V(z)=Ae^{-\gamma z}}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0277a635071804c092a4ee9ff840c761992e8cab)
Retornando para a representação no tempo:
![{\displaystyle v(z,t)=Ae^{-\alpha z}cos(wt-\beta z)}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f336dcf267fb6382ab3f87de425c2461e168e33f)
Substituindo A por uma constante mais significativa
(19)
A equação (19) corresponde a uma onda de tensão se propagando na direção +z com amplitude em z=0 de
Da segunda solução
temos:
(20)
A equação (20) corresponde a uma onda de tensão se propagando na direção -z com amplitude em z=0 de
A resposta completa da equação (18) é a equação da onda viajante no tempo, a qual é obtida pela soma das soluções individuais da equação diferencial:
(21)
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Uma análise equivalente poderia ser realizada para i(z,t) obtendo:
(22)
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