A figura abaixo mostra uma seção infinitesimal de uma linha de transmissão sendo submetida a uma tensão e percorrida por uma corrente. A partir da análise das tensões e correntes instantâneas desse modelo chegaremos nas equações da onda viajante na linha de transmissão.
fonte: WENTWORTH, Stuart M. Eletromagnetismo Aplicado: Abordagem Antecipada das Linhas de Transmissão. Bookman, 2009.
A partir de Kirchhoff para a malha temos:
(1)
E de Kirchhoff para o nó a:
(2)
Dividindo as equações (1) E (2) por e fazendo :
(3)
(4)
Os limites nas equações (4) e (5) correspondem a definição de derivada, portanto podemos escrever as equações telegráficas:
(5)
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(6)
|
Solução das equações telegráficas via uma função harmônica no tempo (sinusoidal)
Vamos obter a solução para as equações telegráficas a partir de uma solução harmônica no tempo, isto é, vamos considerar que a tensão v(z,t) é cossenoidal.
A equação de uma onda de tensão cossenoidal e descrita por:
(7)
v(z) e são funções apenas da posição z
Considerando a identidade de Euler [ ], podemos reescrever a equação (7) como:
(8)
(9)
Da representação de função complexa:
(10)
Portanto:
(11)
(12)
A análise feita considerando uma onda de tensão tem seu equivalente em termos de uma onda de corrente.
Equação da onda viajante
Lembrando que:
e
temos que:
portanto:
Utilizando a notação de função complexa e substituindo v(z,t) e i(z,t) nas equações telegráficas (5) e (6):
(14)
(15)
Derivando a função primeira equação telegráfica (14) em função de z
(16)
e substituindo pela segunda equação telegráfica (15) temos:
(16)
fazendo Falhou ao verificar gramática (função desconhecida '\gama'): {\displaystyle \gama^2 = (R + Ljw) (G + Cjw)}
Falhou ao verificar gramática (função desconhecida '\gama'): {\displaystyle {\partial^2 V(z) \over \partial z^2} -(\gama^2 V(z) =0 }
(17)
A equação (17) é uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem. Uma solução para esta equação é uma equação exponêncial, como:
(18) onde A e são constantes arbitrárias.
Derivando duas vezes a equação (18) em função de z temos:
Falhou ao verificar gramática (função desconhecida '\partil'): {\displaystyle {\partial^2 V(z) \over \partil z^2 =\lambda^2Ae{\lambdaz}}}
e a equação (17) pode ser reescrita como:
Falhou ao verificar gramática (função desconhecida '\gama'): {\displaystyle \lambda^2Ae^{\lambda z} - \gama^2 Ae{\lambda z} = 0}
ou
Falhou ao verificar gramática (função desconhecida '\gama'): {\displaystyle \lambda^2 - \gama^2 = 0 }
ou Falhou ao verificar gramática (função desconhecida '\gama'): {\displaystyle (\lambda+\gama)(\lambda-\gama) = 0 }
Uma solução para essa equação é Falhou ao verificar gramática (função desconhecida '\gama'): {\displaystyle \lambda = -\gama }
, portanto:
Falhou ao verificar gramática (função desconhecida '\gama'): {\displaystyle V(z) = Ae^{-\gama z}}
Retornando para a representação no tempo:
Falhou ao verificar gramática (função desconhecida '\alfa'): {\displaystyle v(z,t) = Ae^{-\alfa z} cos (wt - \beta z)}