|
|
Linha 66: |
Linha 66: |
| === Equação da onda viajante === | | === Equação da onda viajante === |
| | | |
| + | Lembrando que: |
| + | |
| + | <math>{\partial \Re \left \{ e^{jwt} \right \} \over \partial t} ={\partial \Re \left \{ cos (wt) + jsen (wt) \right \} \over \partial t}</math> |
| + | |
| + | |
| + | <math>= {\partial cos(wt) \over \partial t} = -wsen (wt)</math> |
| + | |
| + | e |
| + | |
| + | <math>\Re \left \{ jwe^{jwt} \right \}= \Re \left \{jw( cos(wt) + jsen (wt)) \right \}</math> |
| + | |
| + | <math> = -wsen (wt)</math> |
| + | |
| + | temos que: |
| + | |
| + | |
| + | <math>{\partial \Re \left \{ e^{jwt} \right \} \over \partial t} =\Re \left \{ jwe^{jwt} \right \}</math> |
| + | |
| + | |
| + | portanto: |
| + | |
| + | <math>{\partial v(z,t) \over \partial t}= {\partial \Re \left \{ V(z)e^{jwt} \right \} \over \partial t}</math> |
| + | |
| + | |
| + | <math>{\partial v(z,t) \over \partial t}= V(z) {\partial \Re \left \{ e^{jwt} \right \} \over \partial t} = V(z) {\partial \Re \left \{ jwe^{jwt} \right \} \over \partial t}</math> |
| + | |
| + | <math>{\partial v(z,t) \over \partial t}= jwV(z) </math> |
| | | |
| Utilizando a notação de função complexa e substituindo v(z,t) e i(z,t) nas equações telegráficas (5) e (6): | | Utilizando a notação de função complexa e substituindo v(z,t) e i(z,t) nas equações telegráficas (5) e (6): |
A figura abaixo mostra uma seção infinitesimal de uma linha de transmissão sendo submetida a uma tensão e percorrida por uma corrente. A partir da análise das tensões e correntes instantâneas desse modelo chegaremos nas equações da onda viajante na linha de transmissão.
fonte: WENTWORTH, Stuart M. Eletromagnetismo Aplicado: Abordagem Antecipada das Linhas de Transmissão. Bookman, 2009.
A partir de Kirchhoff para a malha temos:
(1)
E de Kirchhoff para o nó a:
(2)
Dividindo as equações (1) E (2) por e fazendo :
(3)
(4)
Os limites nas equações (4) e (5) correspondem a definição de derivada, portanto podemos escrever as equações telegráficas:
(5)
|
(6)
|
Solução das equações telegráficas via uma função harmônica no tempo (sinusoidal)
Vamos obter a solução para as equações telegráficas a partir de uma solução harmônica no tempo, isto é, vamos considerar que a tensão v(z,t) é cossenoidal.
A equação de uma onda de tensão cossenoidal e descrita por:
(7)
v(z) e são funções apenas da posição z
Considerando a identidade de Euler [ ], podemos reescrever a equação (7) como:
(8)
(9)
Da representação de função complexa:
(10)
Portanto:
(11)
(12)
A análise feita considerando uma onda de tensão tem seu equivalente em termos de uma onda de corrente.
Equação da onda viajante
Lembrando que:
e
temos que:
portanto:
Utilizando a notação de função complexa e substituindo v(z,t) e i(z,t) nas equações telegráficas (5) e (6):
(13)
(14)