Código Gray

O código Gray é uma codificação na qual números adjacentes diferem de apenas um único bit. Desta forma ao fazer uma contagem em Gray, a cada incremento apenas um bit é modificado. Isso difere do que ocorre na contagem em binário, onde vários bits podem alterar com o incremento de um.

Por exemplo:

• Em código binário sequencial o número adjacente a 0111 (7) é o 1000 (8), mudança em 4 bits.
• Em código Gray seria: o número adjacente a 0100 (7) é o 1100 (8), mudança de apenas 1 bit.

Entre as aplicações do código Gray temos:

• sistemas de controle de posição de eixos rotativos em máquinas
• minimização de circuitos (Mapas de Karnaugh)
• minimização e até correção de erros na transmissão digital (ex: QAM)

1 Tabela de códigos de 0 a 15

Octal	Hexadecimal	Decimal	Binário	Gray	One Hot
00	0	0	0000	0000	0000.0000.0000.0001
01	1	1	0001	0001	0000.0000.0000.0010
02	2	2	0010	0011	0000.0000.0000.0100
03	3	3	0011	0010	0000.0000.0000.1000
04	4	4	0100	0110	0000.0000.0001.0000
05	5	5	0101	0111	0000.0000.0010.0000
06	6	6	0110	0101	0000.0000.0100.0000
07	7	7	0111	0100	0000.0000.1000.0000
10	8	8	1000	1100	0000.0001.0000.0000
11	9	9	1001	1101	0000.0010.0000.0000
12	A	10	1010	1111	0000.0100.0000.0000
13	B	11	1011	1110	0000.1000.0000.0000
14	C	12	1100	1010	0001.0000.0000.0000
15	D	13	1101	1011	0010.0000.0000.0000
16	E	14	1110	1001	0100.0000.0000.0000
17	F	15	1111	1000	1000.0000.0000.0000

Decimal	Binário	Gray	Decimal	Binário	Gray
0	0000	0000	8	1000	1100
1	0001	0001	9	1001	1101
2	0010	0011	10	1010	1111
3	0011	0010	11	1011	1110
4	0100	0110	12	1100	1010
5	0101	0111	13	1101	1011
6	0110	0101	14	1110	1001
7	0111	0100	15	1111	1000

2 Conversão de Binário para Gray

Conversão de um número binário de $N$ bits em um número Gray pode ser feita considerando o um número binário inicial $b_{N-1}|b_{N-2}|...|b_2|b_1|b_0$, o número Gray correspondente $g_{N-1}|g_{N-2}|...|g_2|g_1|g_0$ pode ser obtido através de:

para $i=N-1,g_{N-1}=b_{N-1}$

para $i=[N-2,...,0],g_i=b_i\oplus b_{i+1}$

Por exemplo para N = 4:

$g_3=b_3$

$g_2=b_2\oplus b_3$

$g_1=b_1\oplus b_2$

$g_0=b_0\oplus b_1$

3 Conversão de Gray para Binário

Conversão de um número Gray de $N$ bits em um número binário pode ser feita considerando o um número Gray inicial $g_{N-1}|g_{N-2}|...|g_2|g_1|g_0$, o número binário correspondente $b_{N-1}|b_{N-2}|...|b_2|b_1|b_0$ pode ser obtido através de:

para $i=N-1,b_{N-1}=g_{N-1}$

para $i=[N-2,...,0],b_i=g_i\oplus b_{i+1}$

Por exemplo para N = 4:

$b_3=g_3\oplus 0$

$b_2=g_2\oplus b_3$

$b_1=g_1\oplus b_2$

$b_0=g_0\oplus b_1$

Ou expandindo:

$b_3=g_3\oplus 0$

$b_2=g_2\oplus g_3$

$b_1=g_1\oplus g_2\oplus g_3$

$b_0=g_0\oplus g_1\oplus g_2\oplus g_3$

b(3..0) <= g(3..0) xor '0' b(3..1)

4 Curiosidade

• PULSE CODE COMMUNICATION Patente US2632058 Depositante: Bell Labs, Inventor: Frank Gray. Essa patente descreve o código Gray.
• História e usos do código Gray [1]