Mudanças entre as edições de "Transformação Bilinear"
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: <math>H_d(e^{ j \omega_d T}) = H_a \left(j \frac{2}{T} \cdot \tan \left( \omega_d T/2 \right) \right) = H_a(j \omega_a) </math> | : <math>H_d(e^{ j \omega_d T}) = H_a \left(j \frac{2}{T} \cdot \tan \left( \omega_d T/2 \right) \right) = H_a(j \omega_a) </math> | ||
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\cos \omega = \frac{e^{i\omega} + e^{-i\omega}}{2}, \\ | \cos \omega = \frac{e^{i\omega} + e^{-i\omega}}{2}, \\ | ||
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e que | e que | ||
− | <math>\tan \omega =\frac{\sin \omega}{\cos \omega} </math> | + | <math>\tan \omega =\frac{\sin \omega}{\cos \omega} </math>, e |
+ | <math> 1 = {e^{j \omega}e^{-j \omega} </math> | ||
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Edição das 16h29min de 12 de setembro de 2019
Discretização de filtros analógicos
A transformação bilinear do domínio da Transformada de Laplace para o domínio da Transformada z é feito por
O mapeamento inverso em é feita por
é uma aproximação de primeira ordem do logaritmo pela série de potência
Essa transformação é o resulta em um mapeamento exato do plano z no plano s através de
dedução |
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Ela pode ser utilizada para ser transformar um sistema linear invariante no tempo continuo (filtro analógico) em um sistema linear invariante no tempo discreto (filtro digital) , e vice-versa. O mapeamento da função em é feita por:
O mapeamento inverso em é feita pela aproximação de primeira ordem da substituição
Empenamento de frequência (frequency warping)
Determinar a resposta de frequencia em filtro analógico (de tempo contínuo), a função de transferência é avaliada em , que corresponde aos valores dessa função no eixo imaginário . Da mesma forma para filtros digitais (de tempo discreto), a função de transferência é avaliada em , correspondendo aos valores sobre o circulo unitário pois possui magnitude constante .
A transformação bilinear mapeia o eixo imaginário do plano s no circulo unitário no plano z, no entanto o mapeamento das frequências não é linear, sofrendo um empenamento (distorção). Para utilizar essa transformação na obtenção de filtros digitais a partir de filtros analógicos, é necessário determinar como cada frequencia do filtro final desejado deve ser projetada no filtro analógico . Essa distorção pode ser obtida fazendo a substituição de na equação da transformação bilinear, e aplicando a fórmula de Euler para o seno.
Demonstração | ||||||||||||
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Considere que: e que , e Falhou ao verificar gramática (erro de sintaxe): {\displaystyle 1 = {e^{j \omega}e^{-j \omega} }
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Isso mostra que cada ponto no circulo unitário do plano z é mapeado em um ponto no eixo imaginário do plano s. E que as frequências do filtro digital são mapeadas nas frequencias analógicas:
Além disso a faixa infinita de frequências do filtro analógico
São mapeadas no filtro digital no intervalo