Mudanças entre as edições de "Transformação Bilinear"
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Essa transformação é o resulta em um mapeamento exato do plano z no plano s através de <math> z = e^{sT} \ </math> | Essa transformação é o resulta em um mapeamento exato do plano z no plano s através de <math> z = e^{sT} \ </math> | ||
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− | Ela pode ser utilizada para ser transformar um sistema linear invariante no tempo continuo <math> H_a(s) \ </math> em um sistema linear invariante no tempo discreto <math> H_d(z) \ </math>, e vice-versa. | + | Ela pode ser utilizada para ser transformar um sistema linear invariante no tempo continuo (filtro analógico) <math> H_a(s) \ </math> em um sistema linear invariante no tempo discreto (filtro digital) <math> H_d(z) \ </math>, e vice-versa. |
O mapeamento da função <math> H_a(s) \ </math> em <math> H_d(z) \ </math> é feita por: | O mapeamento da função <math> H_a(s) \ </math> em <math> H_d(z) \ </math> é feita por: | ||
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</math> | </math> | ||
− | == | + | == Empenamento de frequência (''frequency warping'') == |
− | + | Determinar a resposta de frequencia em filtro analógico (de tempo contínuo), a função de transferência <math> H_a(s) </math> é avaliada em <math>s = j \omega_a / </math>, que corresponde aos valores dessa função no eixo imaginário <math> j \omega </math>. Da mesma forma para filtros digitais (de tempo discreto), a função de transferência <math> H_d(z) </math> é avaliada em <math>z = e^{ j \omega_d T} </math>, correspondendo aos valores sobre o circulo unitário pois <math>z = e^{ j \omega_d T} </math> possui magnitude constante <math> |z| = 1 </math>. | |
+ | A transformação bilinear mapeia o eixo imaginário do plano ''s'' no circulo unitário no plano ''z'', no entanto o mapeamento das frequências não é linear, sofrendo um empenamento (distorção). Para utilizar essa transformação na obtenção de filtros digitais a partir de filtros analógicos, é necessário determinar como cada frequencia do filtro final desejado <math> \omega_d </math> deve ser projetada no filtro analógico <math> \omega_a </math>. Essa distorção pode ser obtida fazendo a substituição de <math>z = e^{ j \omega_d T} \ </math> na equação da transformação bilinear, e aplicando a [https://en.wikipedia.org/wiki/Euler's_formula#Relationship_to_trigonometry fórmula de Euler para o seno]. | ||
+ | :<math>H_d(z) = H_a \left( \frac{2}{T} \frac{z-1}{z+1}\right) </math> | ||
+ | : <math>H_d(e^{ j \omega_d T}) = H_a \left(j \frac{2}{T} \cdot \tan \left( \omega_d T/2 \right) \right) = H_a(j \omega_a) </math> | ||
− | + | {{collapse_top | dedução}} | |
+ | Dado que: | ||
+ | :<math>\begin{align} | ||
+ | \cos \omega = \frac{e^{i\omega} + e^{-i\omega}}{2}, \\ | ||
+ | \sin \omega = \frac{e^{i\omega} - e^{-i\omega}}{2i}. | ||
+ | \end{align}</math> | ||
− | + | e que | |
+ | <math>\tan \omega =\frac{\sin \omega}{\cos \omega} </math> | ||
− | + | É possível deduzir que: | |
− | <math> | + | {| |
+ | |- | ||
+ | |<math>H_d(e^{ j \omega_d T}) </math> | ||
+ | |<math>= H_a \left( \frac{2}{T} \frac{e^{ j \omega_d T} - 1}{e^{ j \omega_d T} + 1}\right) </math> | ||
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+ | |<math>= H_a \left( \frac{2}{T} \cdot \frac{e^{j \omega_d T/2} \left(e^{j \omega_d T/2} - e^{-j \omega_d T/2}\right)}{e^{j \omega_d T/2} \left(e^{j \omega_d T/2} + e^{-j \omega_d T/2 }\right)}\right) </math> | ||
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+ | |<math>= H_a \left( \frac{2}{T} \cdot \frac{\left(e^{j \omega_d T/2} - e^{-j \omega_d T/2}\right)}{\left(e^{j \omega_d T/2} + e^{-j \omega_d T/2 }\right)}\right) </math> | ||
+ | |- | ||
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+ | |<math>= H_a \left(j \frac{2}{T} \cdot \frac{ \left(e^{j \omega_d T/2} - e^{-j \omega_d T/2}\right) /(2j)}{\left(e^{j \omega_d T/2} + e^{-j \omega_d T/2 }\right) / 2}\right) </math> | ||
+ | |- | ||
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+ | |<math>= H_a \left(j \frac{2}{T} \cdot \frac{ \sin(\omega_d T/2) }{ \cos(\omega_d T/2) }\right) </math> | ||
+ | |- | ||
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+ | |<math>= H_a \left(j \frac{2}{T} \cdot \tan \left( \omega_d T/2 \right) \right) </math> | ||
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− | + | Isso mostra que cada ponto no circulo unitário do plano ''z'' é mapeado em um ponto no eixo imaginário do plano ''s''. E que as frequências do filtro digital são mapeadas nas frequencias analógicas: | |
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+ | :<math> \omega_a = \frac{2}{T} \tan \left( \omega_d \frac{T}{2} \right) </math> | ||
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+ | Apesar desse empenamento, os ganhos e mudanças de fase do filtro digital em <math> (2/T) \tan(\omega_d T/2) </math> são exatamente as mesmas do filtro analógico, | ||
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+ | The discrete-time filter behaves at frequency <math>\omega_d</math> the same way that the continuous-time filter behaves at frequency <math> (2/T) \tan(\omega_d T/2) </math>. Specifically, the gain and phase shift that the discrete-time filter has at frequency <math>\omega_d</math> is the same gain and phase shift that the continuous-time filter has at frequency <math>(2/T) \tan(\omega_d T/2)</math>. This means that every feature, every "bump" that is visible in the frequency response of the continuous-time filter is also visible in the discrete-time filter, but at a different frequency. For low frequencies (that is, when <math>\omega_d \ll 2/T</math> or <math>\omega_a \ll 2/T</math>), then the features are mapped to a ''slightly'' different frequency; <math>\omega_d \approx \omega_a </math>. | ||
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+ | One can see that the entire continuous frequency range | ||
+ | --> | ||
+ | Além disso a faixa infinita de frequências do filtro analógico | ||
+ | : <math> -\infty < \omega_a < +\infty \ </math> | ||
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+ | São mapeadas no filtro digital no intervalo | ||
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+ | : <math> -\frac{\pi}{T} < \omega_d < +\frac{\pi}{T}. </math> | ||
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+ | <!-- | ||
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+ | The continuous-time filter frequency <math> \omega_a = 0 </math> corresponds to the discrete-time filter frequency <math> \omega_d = 0 </math> and the continuous-time filter frequency <math> \omega_a = \pm \infty </math> correspond to the discrete-time filter frequency <math> \omega_d = \pm \pi / T. </math> | ||
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+ | One can also see that there is a nonlinear relationship between <math> \omega_a \ </math> and <math> \omega_d.</math> This effect of the bilinear transform is called '''frequency warping'''. The continuous-time filter can be designed to compensate for this frequency warping by setting <math> \omega_a = \frac{2}{T} \tan \left( \omega_d \frac{T}{2} \right) </math> for every frequency specification that the designer has control over (such as corner frequency or center frequency). This is called '''pre-warping''' the filter design. | ||
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+ | It is possible, however, to compensate for the frequency warping by pre-warping a frequency specification <math> \omega_0 </math> (usually a resonant frequency or the frequency of the most significant feature of the frequency response) of the continuous-time system. These pre-warped specifications may then be used in the bilinear transform to obtain the desired discrete-time system. When designing a digital filter as an approximation of a continuous time filter, the frequency response (both amplitude and phase) of the digital filter can be made to match the frequency response of the continuous filter at a specified frequency <math> \omega_0 </math>, as well as matching at DC, if the following transform is substituted into the continuous filter transfer function.<ref>{{cite book |last=Astrom |first=Karl J. |date=1990 |title=Computer Controlled Systems, Theory and Design |edition=Second |publisher=Prentice-Hall |page=212 |isbn=0-13-168600-3}}</ref> This is a modified version of Tustin's transform shown above. | ||
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+ | :<math>s \leftarrow \frac{\omega_0}{\tan\left(\frac{\omega_0 T}{2}\right)} \frac{z - 1}{z + 1}.</math> | ||
+ | |||
+ | However, note that this transform becomes the original transform | ||
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+ | :<math>s \leftarrow \frac{2}{T} \frac{z - 1}{z + 1}</math> | ||
+ | |||
+ | as <math> \omega_0 \to 0 </math>. | ||
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+ | The main advantage of the warping phenomenon is the absence of aliasing distortion of the frequency response characteristic, such as observed with [[Impulse invariance]]. | ||
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+ | --> | ||
+ | |||
+ | ==FONTES== | ||
+ | *[https://www.mathworks.com/help/control/ug/continuous-discrete-conversion-methods.html#bs78nig-8 Continuous-Discrete Conversion Methods Tustin Approximation] Mathworks |
Edição das 13h28min de 12 de setembro de 2019
Discretização de filtros analógicos
A transformação bilinear do domínio da Transformada de Laplace para o domínio da Transformada z é feito por
O mapeamento inverso em é feita por
é uma aproximação de primeira ordem do logaritmo pela série de potência
Essa transformação é o resulta em um mapeamento exato do plano z no plano s através de
dedução |
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Ela pode ser utilizada para ser transformar um sistema linear invariante no tempo continuo (filtro analógico) em um sistema linear invariante no tempo discreto (filtro digital) , e vice-versa. O mapeamento da função em é feita por:
O mapeamento inverso em é feita pela aproximação de primeira ordem da substituição
Empenamento de frequência (frequency warping)
Determinar a resposta de frequencia em filtro analógico (de tempo contínuo), a função de transferência é avaliada em , que corresponde aos valores dessa função no eixo imaginário . Da mesma forma para filtros digitais (de tempo discreto), a função de transferência é avaliada em , correspondendo aos valores sobre o circulo unitário pois possui magnitude constante .
A transformação bilinear mapeia o eixo imaginário do plano s no circulo unitário no plano z, no entanto o mapeamento das frequências não é linear, sofrendo um empenamento (distorção). Para utilizar essa transformação na obtenção de filtros digitais a partir de filtros analógicos, é necessário determinar como cada frequencia do filtro final desejado deve ser projetada no filtro analógico . Essa distorção pode ser obtida fazendo a substituição de na equação da transformação bilinear, e aplicando a fórmula de Euler para o seno.
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Dado que: e que É possível deduzir que: |
Isso mostra que cada ponto no circulo unitário do plano z é mapeado em um ponto no eixo imaginário do plano s. E que as frequências do filtro digital são mapeadas nas frequencias analógicas:
Além disso a faixa infinita de frequências do filtro analógico
São mapeadas no filtro digital no intervalo