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Linha 1: | Linha 1: | ||
+ | =Teorema de Millman= | ||
+ | O Teorema de Millman apresenta um método usado para reduzir um número qualquer de '''fontes de tensão em paralelo''' a apenas uma. Este teorema constitui um caso especial da aplicação do teorema de Thévenin. A Figura 1 apresenta um exemplo de simplificação utilização o teorema de Millman. | ||
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+ | Figura 1 - Teorema de Millman para simplificação de fontes de tensão. | ||
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+ | O primeiro passo é transformar as fontes de tensão com resistência em série em fontes de corrente com resistências em paralelo. A seguir, deve-se calcular o circuito equivalente com uma única fonte de corrente e uma única resistência. Estes cálculos são feitos da seguinte maneira: | ||
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+ | <math>I=\frac{E_1}{R_1}+\frac{E_2}{R_2}+\frac{E_3}{R_3}</math> | ||
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+ | <math>\frac{1}{R}=\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}+\frac{1}{R_3}</math> | ||
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+ | A transformação do circuito fonte de corrente e resistência em paralelo em fonte de tensão e resistência | ||
+ | em série deve ser realizada da seguinte maneira: | ||
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+ | <math>E_M=I.R\,</math> | ||
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+ | <math>R_M=R\,</math> | ||
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+ | ==Exemplo== | ||
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+ | Determinar a corrente na resistência de 5 ohms utilizando o teorema de Millman. Confirme os resultados utilizando o teorema de Thevenin. | ||
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+ | {{collapse top|Solução}} | ||
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+ | ;Teorema de Milman: | ||
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+ | Corrente (I): | ||
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+ | <math>I=\frac{V_1}{10}+\frac{V_2}{2}\,</math> | ||
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+ | <math>I=\frac{8}{10}+\frac{4}{2}=2,8 A\,</math> | ||
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+ | Resistência equivalente (R): | ||
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+ | <math>\frac{1}{R}=\frac{1}{10}+\frac{1}{2}=1,667 \Omega\,</math> | ||
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+ | <math>V_M=I.R=2,8.1,667=4,67 V\,</math> | ||
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+ | Logo: | ||
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+ | <math>i=\frac{V_M}{R+5//4}+\frac{4,67}{1,667+2,22}=1,2 A\,</math> | ||
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+ | <math>i_{5\Omega}=\frac{i.4}{5+4}+\frac{1,2.4}{9}=0,533 A\,</math> | ||
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+ | =Associação de Fontes= | ||
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+ | ==Fontes de Tensão== | ||
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+ | A associação em série de fontes de tensão permite aumentar a diferença de potencial disponibilizada para efeitos de alimentação de um circuito. Um exemplo da associação em série de fontes é a utilização de múltiplas pilhas para alimentar aparelhos eletrodomésticos como lanternas, rádios portáteis. Com efeito, é comum associarem-se em série quatro pilhas de 1.5 V (corretamente associadas) para definir uma fonte de alimentação de 6 V. | ||
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+ | A tensão disponível aos terminais de uma associação em série de fontes de tensão é dada pela soma das tensões parciais. Como se indica nas Figuras 2 (a) e 2 (b), a adição dos valores nominais das tensões deve ter em conta a polaridade da ligação: polaridades concordantes adicionam-se (a), e polaridades discordantes subtraem-se (b). Por outro lado, no caso das fontes de tensão com resistência interna não nula, como na Figura 2 (c), o valor da resistência interna resultante é dado pela soma das resistências internas de cada uma das fontes. A associação em série conduz, por conseguinte, a uma fonte cuja resistência interna é superior àquela característica de cada uma, considerada isoladamente. | ||
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+ | [[Imagem:fig106_CEL18702.png|center]] | ||
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+ | Figura 2 - Associação em série de fontes de tensão. | ||
+ | </center> | ||
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+ | A associação em paralelo de fontes de tensão é uma operação cuja realização prática necessita de alguns cuidados. Esta recomendação é particularmente verdadeira nos casos em que as fontes de tensão apresentam valores nominais bastante diferenciados e resistências internas reduzidas. Como se ilustra na Figura 3 (a), no caso particular em que as fontes de tensão são ideais e apresentam valores nominais distintos, a sua ligação em paralelo define uma malha cuja solução é apenas compatível com a circulação de uma corrente de valor infinito. Na realidade, a corrente entre as fontes é sempre limitada pelas respectivas resistências internas Figura 3 (b), valor que pode ser bastante elevado se estas não dispuserem de mecanismos de proteção. | ||
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+ | Figura 3 - Associação em paralelo de fontes de tensão. | ||
+ | </center> | ||
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+ | A associação em paralelo de fontes de tensão é o objeto do Teorema de Millman. De acordo com as regras estabelecidas para a transformação de fonte, o circuito representado na Figura 3 (b) pode ser sucessivamente transformado nos circuitos equivalentes representados em (c) e (d). Na primeira transformação, Figura 3 (c), substitui-se cada uma das fontes de tensão pela respectiva fonte de corrente equivalente, efetuando-se depois, sucessivamente, as associações em paralelo das fontes de corrente e das resistências internas, e a transformação inversa numa fonte de tensão com resistência interna. É facilmente demonstrável que os parâmetros da fonte de tensão resultante são: | ||
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+ | <math>V_5=\frac{G_1.V_1+G_2.V2}{G_1+G_2}\,</math> | ||
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+ | e | ||
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+ | <math>R_5=\frac{R_1.R_2}{R_1+R_2}\,</math> | ||
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+ | respectivamente para o valor nominal da tensão e para a resistência interna. | ||
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+ | ==Fonte de Corrente== | ||
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+ | A associação em paralelo de fontes de corrente rege-se por um conjunto de regras semelhante àquele estabelecido para a associação em série de fontes de tensão. Neste caso, a corrente colocada aos terminais de uma associação em paralelo é dada pela soma das correntes parciais (Figura 4.a e 4.b), que naturalmente deve ter em conta as polaridades respectivas. No caso das fontes de corrente reais, Figura 4.16.c, o valor da resistência interna é dada pelo paralelo das resistências internas parciais, o que torna a fonte de corrente mais acentuadamente não ideal. | ||
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+ | [[Imagem:fig130_CEL18702.png|center]] | ||
+ | <center> | ||
+ | Figura 4 - Associação em paralelo de fontes de corrente. | ||
+ | </center> | ||
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+ | <blockquote style="background: #FFEEFF; border: 1px solid red; margin-left: 0px; margin-right: 0px; padding: 1em;"> | ||
+ | ;Nota: A associação em série de fontes de corrente ideais com valores nominais distintos conduz a uma indeterminação no nó de interligação, devido a '''não''' verificação da Lei de Kirchhoff das correntes. No nó comum às duas fontes deve verificar-se sempre a igualdade i<sub>1</sub>-i<sub>2</sub>=0, ou, o que é o mesmo, i<sub>1</sub>=i<sub>2</sub>. | ||
+ | </blockquote> | ||
+ | |||
+ | =Princípio da Superposição= | ||
+ | |||
+ | O teorema da superposição para circuitos elétricos afirma que a corrente elétrica total em qualquer ramo de um circuito bilateral linear é igual a soma algébrica das correntes produzidas por cada fonte atuando separadamente no circuito. Isto vale também para tensões elétricas. | ||
+ | |||
+ | ==Video aula== | ||
+ | |||
+ | <center>{{#ev:youtube|BPo4FnpQK3k#!}} </center> | ||
+ | |||
+ | ==Exemplo== | ||
+ | |||
+ | Superposição (Sistemas Lineares) | ||
+ | |||
+ | A resposta de um circuito linear a várias excitações simultâneas é igual à soma das respostas individuais a cada uma das excitações. | ||
+ | |||
+ | Procedimento: | ||
+ | |||
+ | 1. Calcula-se a solução para o estado inicial, anulando-se as entradas (curto-circuitando as fontes de tensão e abrindo as fontes de corrente). | ||
+ | |||
+ | 2. Calcula-se a solução para cada fonte, anulando-se as condições iniciais e as demais fontes do circuito. | ||
+ | |||
+ | 3. Somam-se as soluções individuais. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | [[Imagem:fig45_CEL18702.png|center|400px]] | ||
+ | <center> | ||
+ | Figura 1 - Circuito original com uma fonte de tensão e outra de corrente. | ||
+ | </center> | ||
+ | |||
+ | ;Determinar a corrente ''i'' | ||
+ | |||
+ | <math>i=i'+i''\,</math> | ||
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+ | [[Imagem:fig45b_CEL18702.png|center|400px]] | ||
+ | <center> | ||
+ | Figura 2 - Circuito a partir da fonte de tensão. | ||
+ | </center> | ||
+ | |||
+ | ;Fonte de tensão: | ||
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+ | {{collapse top|Solução}} | ||
+ | |||
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+ | <math>i'=\frac{V_x}{20}\,</math> | ||
+ | |||
+ | <math>V_x=\frac{40.20}{20+10}=26,7V\,</math> | ||
+ | |||
+ | <math>i'=\frac{26,7}{20}=1,33A\,</math> | ||
+ | |||
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+ | {{collapse bottom}} | ||
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+ | [[Imagem:fig45c_CEL18702.png|center|400px]] | ||
+ | <center> | ||
+ | Figura 3 - Circuito a partir da fonte de corrente. | ||
+ | </center> | ||
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+ | ;Fonte de corrente: | ||
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+ | {{collapse top|Solução}} | ||
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+ | <math>i''=\frac{2.10}{10+20}=0,67A\,</math> | ||
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+ | {{collapse bottom}} | ||
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+ | |||
+ | ;Resultado: | ||
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+ | {{collapse top|Solução}} | ||
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+ | <math>i=i'+i''\,</math> | ||
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+ | <math>i=1,33+0,67=2A\,</math> | ||
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+ | {{collapse bottom}} | ||
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+ | ;Verificação através da análise de malha: | ||
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+ | {{collapse top|Solução}} | ||
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+ | ;malha 1 | ||
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+ | <math>30i_1-20i_2=40\,</math> | ||
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+ | ;malha 2 | ||
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+ | <math>i_2=-2A\,</math> | ||
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+ | ;Logo: | ||
+ | |||
+ | <math>30i_1-20.(-2)=40\,</math> | ||
+ | |||
+ | <math>i_1=\frac{40-40}{30}=0A\,</math> | ||
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+ | Como: | ||
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+ | <math>i=i_1-i_2=0-(-2)=2A\,</math> | ||
+ | |||
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+ | {{collapse bottom}} | ||
+ | |||
+ | =Exercícios= | ||
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+ | ==Superposição== | ||
+ | |||
+ | [1] Determinar a Corrente '''I''' no circuito abaixo usando o teorema da Superposição. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | [[Imagem:fig62_CEL18702.png|center|400px]] | ||
+ | |||
+ | |||
+ | [2] Qual a corrente sobre o resistor de 12 ohms? | ||
+ | |||
+ | |||
+ | [[Imagem:fig99_CEL18702.png|center|500px]] | ||
+ | |||
+ | [3] Para o circuito abaixo, calcule o valor da tensão V<sub>0</sub>, utilizando: | ||
+ | |||
+ | a) O Teorema de de Thevenin (5 escores) | ||
+ | |||
+ | b) O Princípio da Superposição (5 escores) | ||
+ | |||
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+ | [[Imagem:fig112_CEL18702.png|center|500px]] | ||
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+ | |||
+ | |||
+ | {{collapse top|Resposta}} | ||
+ | |||
+ | V<sub>0</sub>=-8V | ||
+ | |||
+ | {{collapse bottom}} | ||
+ | |||
+ | |||
+ | [4] Para o circuito abaixo, calcule o valor da corrente I<sub>0</sub>, utilizando: | ||
+ | |||
+ | a) O Teorema de de Thevenin (5 escores) | ||
+ | |||
+ | b) O Princípio da Superposição (5 escores) | ||
+ | |||
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+ | [[Imagem:fig113_CEL18702.png|center|400px]] | ||
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+ | {{collapse top|Resposta}} | ||
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+ | I<sub>0</sub>=-1A | ||
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+ | {{collapse bottom}} | ||
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+ | |||
+ | [5] Para o circuito abaixo, calcule o valor da tensão V<sub>0</sub>, utilizando: | ||
+ | |||
+ | a) O Teorema de de Thevenin (5 escores) | ||
+ | |||
+ | b) O Princípio da Superposição (5 escores) | ||
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+ | [[Imagem:fig114_CEL18702.png|center|350px]] | ||
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+ | {{collapse top|Resposta}} | ||
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+ | V<sub>0</sub>=-4,5V (confirmar) | ||
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+ | {{collapse bottom}} | ||
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+ | [6] Para o circuito abaixo, calcule o valor da tensão V<sub>0</sub>, utilizando: | ||
+ | |||
+ | a) O Teorema de de Thevenin (5 escores) | ||
+ | |||
+ | b) O Princípio da Superposição (5 escores) | ||
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+ | [[Imagem:fig115_CEL18702.png|center|400px]] | ||
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+ | {{collapse top|Resposta}} | ||
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+ | V<sub>0</sub>=-30V (confirmar) | ||
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+ | {{collapse bottom}} | ||
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+ | |||
+ | [7] Para o circuito abaixo, calcule o valor da corrente I<sub>0</sub>, utilizando: | ||
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+ | a) O Teorema de de Thevenin (5 escores) | ||
+ | |||
+ | b) O Princípio da Superposição (5 escores) | ||
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+ | [[Imagem:fig116_CEL18702.png|center|400px]] | ||
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+ | {{collapse top|Resposta}} | ||
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+ | I<sub>0</sub>=-2A | ||
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+ | {{collapse bottom}} | ||
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+ | ==Millman== | ||
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+ | [1] Calcule, utilizando o teorema de Millman, o circuito equivalente ao circuito dado, visto de <math>R_L</math> (A e B). Calcule tensão e corrente em <math>R_L</math>. | ||
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+ | [[Imagem:fig48_CEL18702.png|center|400px]] | ||
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+ | {{collapse top|Solução}} | ||
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+ | <math>V_{AB}=7,5V\,,I=0,125A</math> | ||
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+ | {{collapse bottom}} | ||
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+ | |||
+ | [2] Calcule V<sub>AB</sub> com o circuito em aberto e depois com R<sub>c</sub>=3Ω ligada ao circuito. | ||
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+ | [[Imagem:fig102_CEL18702.png|center|400px]] | ||
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+ | {{collapse top|Respostas}} | ||
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+ | V<sub>Th</sub>=4,2V; R<sub>Th</sub>=R<sub>N</sub>=3Ω; I<sub>N</sub>=1,4A; V<sub>AB</sub>=2,1V | ||
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+ | {{collapse bottom}} | ||
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+ | |||
+ | [3] Calcule a tensão sobre o resistor de 4Ω. | ||
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+ | [[Imagem:fig109_CEL18702.png|center|400px]] | ||
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+ | {{collapse top|Respostas}} | ||
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+ | V<sub>4Ω</sub>=6,9V | ||
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+ | [4] Calcule a tensão sobre o resistor de 6Ω. | ||
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+ | [[Imagem:fig108_CEL18702.png|center|400px]] | ||
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+ | {{collapse top|Respostas}} | ||
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+ | V<sub>6Ω</sub>=-14,8V | ||
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+ | {{collapse bottom}} | ||
+ | |||
+ | [5] Utilizando o método dos nós calcular a corrente I<sub>0</sub> para o circuito abaixo. | ||
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+ | [[Imagem:fig105_CEL18702.png|center|400px]] | ||
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+ | {{collapse top|Respostas}} | ||
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+ | I<sub>0</sub>=0,33uA | ||
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+ | |||
+ | [6] Utilizando análise de nós, determine o valor de V<sub>X</sub> para o circuito abaixo. | ||
+ | |||
+ | [[Imagem:fig104_CEL18702.png|center|400px]] | ||
+ | |||
+ | |||
+ | {{collapse top|Respostas}} | ||
+ | |||
+ | V<sub>X</sub>=26,3mV | ||
+ | |||
+ | {{collapse bottom}} | ||
+ | |||
+ | |||
+ | [7] Determine os equivalentes de Thévenin e de Norton do circuito abaixo. Calcule V<sub>AB</sub> com R<sub>c</sub>=3Ω ligada ao circuito. | ||
+ | |||
+ | [[Imagem:fig102_CEL18702.png|center|400px]] | ||
+ | |||
+ | |||
+ | {{collapse top|Respostas}} | ||
+ | |||
+ | V<sub>Th</sub>=4,2V; R<sub>Th</sub>=R<sub>N</sub>=3Ω; I<sub>N</sub>=1,4A; V<sub>AB</sub>=2,1V | ||
+ | |||
+ | {{collapse bottom}} | ||
+ | |||
+ | |||
+ | [8] Calcule os equivalentes de Thévenin e de Norton para o circuito abaixo. Calcule V<sub>AB</sub> com R<sub>L</sub> ligada ao circuito. | ||
+ | |||
+ | [[Imagem:fig103_CEL18702.png|center|400px]] | ||
+ | |||
+ | |||
+ | {{collapse top|Solução}} | ||
+ | |||
+ | ;Thevenin | ||
+ | |||
+ | Só existe uma malha de corrente no circuito e é a de 2mA. Lembre-se que entre A e B está aberto.Como não há corrente circulando pelo R<sub>2</sub>, a tensão V<sub>AB</sub> é a soma da queda de tensão no resistor R<sub>1</sub> mais a fonte de 4V. | ||
+ | |||
+ | Sabendo que a corrente de malha é 2mA fica: | ||
+ | |||
+ | |||
+ | <math>V_{AB}=R_1.2.10^{-3}+4\,</math> | ||
+ | |||
+ | <math>V_{AB}=2.10^3.2.10^{-3}+4\,</math> | ||
+ | |||
+ | <math>V_{AB}=V_{Th}=8V\,</math> | ||
+ | |||
+ | Para calcular a resistência equivalente a fonte de corrente fica em aberto enquanto a fonte de tensão fica em curto, logo: | ||
+ | |||
+ | <math>R_{eq}=2k+3k=5k\Omega\,</math> | ||
+ | |||
+ | <math>R_{eq}=R_{Th}=5k\Omega\,</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | Para calcular o I<sub>N</sub> fazemos: | ||
+ | |||
+ | |||
+ | <math>I_N=\frac{V_{Th}}{R_{Th}}=\frac{8}{5.10^3}=1,6mA\,</math> | ||
+ | |||
+ | Colocando de volta o resistor da carga R<sub>L</sub>, o V<sub>AB</sub> que é a tensão sobre a carga fica: | ||
+ | |||
+ | <math>I_L=\frac{V_{Th}}{R_{Th}+R_L}=\frac{8}{5.10^3+1.10^3}=1,33mA\,</math> | ||
+ | |||
+ | então, o novo V<sub>AB</sub> é | ||
+ | |||
+ | <math>V_{AB}=R_L.I_L=1.10^3.1,33.10^{-3}=1,33V\,</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | Confirmando todos os resutados: | ||
+ | |||
+ | V<sub>Th</sub>=8V; R<sub>Th</sub>=R<sub>N</sub>=5kΩ; I<sub>N</sub>=1,60mA; V<sub>AB</sub>=-1,33V | ||
+ | |||
+ | |||
+ | ;Norton | ||
+ | |||
+ | Pessoal, como não gosto de deixar coisas mal resolvidas, vejam como fica a análise principal do circuito, com Norton, utilizando a Lei de Kirchoff (foi aí que "erramos"). O sentido da corrente i<sub>1</sub> é entrando no nó, juntamente com a corrente de 2mA. Logo, a corrente i<sub>2</sub> que sai do nó é soma de i<sub>1</sub> mais 2mA. Vejam como fica: | ||
+ | |||
+ | Equação 1: | ||
+ | |||
+ | <math>i_2=i_1+2.10^{-3}\,</math> | ||
+ | |||
+ | ;Logo, | ||
+ | |||
+ | <math>-i_1+i_2=2.10^{-3}\,</math> | ||
+ | |||
+ | Equação 2: (passando pela malha de fora) | ||
+ | |||
+ | <math>-4+2.10^3i_1+3.10^3i_2=0\,</math> | ||
+ | |||
+ | <math>2.10^3i_1+3.10^3i_2=4\,</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | ;Resolvendo o sistema (Cramer): | ||
+ | |||
+ | <math> | ||
+ | \Delta=\begin{vmatrix} -1 & 1 \\ 2.10^3 & 3.10^3 \end{vmatrix}\,.\,\begin{vmatrix} 2.10^{-3} \\ 4 \end{vmatrix} | ||
+ | </math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | <math> | ||
+ | \Delta=\begin{vmatrix} -1 & 1 \\ 2.10^3 & 3.10^3 \end{vmatrix}\,=-3.10^3-2.10^3\qquad \Delta=-5.10^3 | ||
+ | </math> | ||
+ | |||
+ | <math> | ||
+ | \Delta i_2=\begin{vmatrix} -1 & 2.10^{-3} \\ 2.10^3 & 4 \end{vmatrix}\,=-4-4\qquad \Delta i_2=-8 | ||
+ | </math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | <math>i_2=\frac{\Delta i_2}{\Delta}=\frac{-8}{-5.10^3} \qquad i_2=1,6mA\,</math> | ||
+ | |||
+ | Daí é só fazer os outros cálculos. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | Prof. Douglas A. | ||
+ | |||
+ | {{collapse bottom}} | ||
+ | |||
+ | =Referências= | ||
+ | |||
+ | [1] http://www.corradi.junior.nom.br/teoremas_exer_resolvido.pdf | ||
+ | |||
+ | [2] http://www.ufrgs.br/eng04030/Aulas/teoria/cap_04/assocfon.htm | ||
+ | |||
+ | [3] http://www.dt.fee.unicamp.br/~www/ea612/node140.html | ||
Edição das 21h31min de 27 de março de 2019
Teorema de Millman
O Teorema de Millman apresenta um método usado para reduzir um número qualquer de fontes de tensão em paralelo a apenas uma. Este teorema constitui um caso especial da aplicação do teorema de Thévenin. A Figura 1 apresenta um exemplo de simplificação utilização o teorema de Millman.
Figura 1 - Teorema de Millman para simplificação de fontes de tensão.
O primeiro passo é transformar as fontes de tensão com resistência em série em fontes de corrente com resistências em paralelo. A seguir, deve-se calcular o circuito equivalente com uma única fonte de corrente e uma única resistência. Estes cálculos são feitos da seguinte maneira:
A transformação do circuito fonte de corrente e resistência em paralelo em fonte de tensão e resistência em série deve ser realizada da seguinte maneira:
Exemplo
Determinar a corrente na resistência de 5 ohms utilizando o teorema de Millman. Confirme os resultados utilizando o teorema de Thevenin.
Solução |
---|
Corrente (I):
Resistência equivalente (R):
Logo:
|
Associação de Fontes
Fontes de Tensão
A associação em série de fontes de tensão permite aumentar a diferença de potencial disponibilizada para efeitos de alimentação de um circuito. Um exemplo da associação em série de fontes é a utilização de múltiplas pilhas para alimentar aparelhos eletrodomésticos como lanternas, rádios portáteis. Com efeito, é comum associarem-se em série quatro pilhas de 1.5 V (corretamente associadas) para definir uma fonte de alimentação de 6 V.
A tensão disponível aos terminais de uma associação em série de fontes de tensão é dada pela soma das tensões parciais. Como se indica nas Figuras 2 (a) e 2 (b), a adição dos valores nominais das tensões deve ter em conta a polaridade da ligação: polaridades concordantes adicionam-se (a), e polaridades discordantes subtraem-se (b). Por outro lado, no caso das fontes de tensão com resistência interna não nula, como na Figura 2 (c), o valor da resistência interna resultante é dado pela soma das resistências internas de cada uma das fontes. A associação em série conduz, por conseguinte, a uma fonte cuja resistência interna é superior àquela característica de cada uma, considerada isoladamente.
Figura 2 - Associação em série de fontes de tensão.
A associação em paralelo de fontes de tensão é uma operação cuja realização prática necessita de alguns cuidados. Esta recomendação é particularmente verdadeira nos casos em que as fontes de tensão apresentam valores nominais bastante diferenciados e resistências internas reduzidas. Como se ilustra na Figura 3 (a), no caso particular em que as fontes de tensão são ideais e apresentam valores nominais distintos, a sua ligação em paralelo define uma malha cuja solução é apenas compatível com a circulação de uma corrente de valor infinito. Na realidade, a corrente entre as fontes é sempre limitada pelas respectivas resistências internas Figura 3 (b), valor que pode ser bastante elevado se estas não dispuserem de mecanismos de proteção.
Figura 3 - Associação em paralelo de fontes de tensão.
A associação em paralelo de fontes de tensão é o objeto do Teorema de Millman. De acordo com as regras estabelecidas para a transformação de fonte, o circuito representado na Figura 3 (b) pode ser sucessivamente transformado nos circuitos equivalentes representados em (c) e (d). Na primeira transformação, Figura 3 (c), substitui-se cada uma das fontes de tensão pela respectiva fonte de corrente equivalente, efetuando-se depois, sucessivamente, as associações em paralelo das fontes de corrente e das resistências internas, e a transformação inversa numa fonte de tensão com resistência interna. É facilmente demonstrável que os parâmetros da fonte de tensão resultante são:
e
respectivamente para o valor nominal da tensão e para a resistência interna.
Fonte de Corrente
A associação em paralelo de fontes de corrente rege-se por um conjunto de regras semelhante àquele estabelecido para a associação em série de fontes de tensão. Neste caso, a corrente colocada aos terminais de uma associação em paralelo é dada pela soma das correntes parciais (Figura 4.a e 4.b), que naturalmente deve ter em conta as polaridades respectivas. No caso das fontes de corrente reais, Figura 4.16.c, o valor da resistência interna é dada pelo paralelo das resistências internas parciais, o que torna a fonte de corrente mais acentuadamente não ideal.
Figura 4 - Associação em paralelo de fontes de corrente.
- Nota
- A associação em série de fontes de corrente ideais com valores nominais distintos conduz a uma indeterminação no nó de interligação, devido a não verificação da Lei de Kirchhoff das correntes. No nó comum às duas fontes deve verificar-se sempre a igualdade i1-i2=0, ou, o que é o mesmo, i1=i2.
Princípio da Superposição
O teorema da superposição para circuitos elétricos afirma que a corrente elétrica total em qualquer ramo de um circuito bilateral linear é igual a soma algébrica das correntes produzidas por cada fonte atuando separadamente no circuito. Isto vale também para tensões elétricas.
Video aula
Exemplo
Superposição (Sistemas Lineares)
A resposta de um circuito linear a várias excitações simultâneas é igual à soma das respostas individuais a cada uma das excitações.
Procedimento:
1. Calcula-se a solução para o estado inicial, anulando-se as entradas (curto-circuitando as fontes de tensão e abrindo as fontes de corrente).
2. Calcula-se a solução para cada fonte, anulando-se as condições iniciais e as demais fontes do circuito.
3. Somam-se as soluções individuais.
Figura 1 - Circuito original com uma fonte de tensão e outra de corrente.
- Determinar a corrente i
Figura 2 - Circuito a partir da fonte de tensão.
- Fonte de tensão
Solução |
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Figura 3 - Circuito a partir da fonte de corrente.
- Fonte de corrente
Solução |
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- Resultado
Solução |
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- Verificação através da análise de malha
Solução |
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Como:
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Exercícios
Superposição
[1] Determinar a Corrente I no circuito abaixo usando o teorema da Superposição.
[2] Qual a corrente sobre o resistor de 12 ohms?
[3] Para o circuito abaixo, calcule o valor da tensão V0, utilizando:
a) O Teorema de de Thevenin (5 escores)
b) O Princípio da Superposição (5 escores)
Resposta |
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V0=-8V |
[4] Para o circuito abaixo, calcule o valor da corrente I0, utilizando:
a) O Teorema de de Thevenin (5 escores)
b) O Princípio da Superposição (5 escores)
Resposta |
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I0=-1A |
[5] Para o circuito abaixo, calcule o valor da tensão V0, utilizando:
a) O Teorema de de Thevenin (5 escores)
b) O Princípio da Superposição (5 escores)
Resposta |
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V0=-4,5V (confirmar) |
[6] Para o circuito abaixo, calcule o valor da tensão V0, utilizando:
a) O Teorema de de Thevenin (5 escores)
b) O Princípio da Superposição (5 escores)
Resposta |
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V0=-30V (confirmar) |
[7] Para o circuito abaixo, calcule o valor da corrente I0, utilizando:
a) O Teorema de de Thevenin (5 escores)
b) O Princípio da Superposição (5 escores)
Resposta |
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I0=-2A |
Millman
[1] Calcule, utilizando o teorema de Millman, o circuito equivalente ao circuito dado, visto de (A e B). Calcule tensão e corrente em .
Solução |
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[2] Calcule VAB com o circuito em aberto e depois com Rc=3Ω ligada ao circuito.
Respostas |
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VTh=4,2V; RTh=RN=3Ω; IN=1,4A; VAB=2,1V |
[3] Calcule a tensão sobre o resistor de 4Ω.
Respostas |
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[4] Calcule a tensão sobre o resistor de 6Ω.
Respostas |
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[5] Utilizando o método dos nós calcular a corrente I0 para o circuito abaixo.
Respostas |
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I0=0,33uA |
[6] Utilizando análise de nós, determine o valor de VX para o circuito abaixo.
Respostas |
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VX=26,3mV |
[7] Determine os equivalentes de Thévenin e de Norton do circuito abaixo. Calcule VAB com Rc=3Ω ligada ao circuito.
Respostas |
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VTh=4,2V; RTh=RN=3Ω; IN=1,4A; VAB=2,1V |
[8] Calcule os equivalentes de Thévenin e de Norton para o circuito abaixo. Calcule VAB com RL ligada ao circuito.
Solução |
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Só existe uma malha de corrente no circuito e é a de 2mA. Lembre-se que entre A e B está aberto.Como não há corrente circulando pelo R2, a tensão VAB é a soma da queda de tensão no resistor R1 mais a fonte de 4V. Sabendo que a corrente de malha é 2mA fica:
Para calcular a resistência equivalente a fonte de corrente fica em aberto enquanto a fonte de tensão fica em curto, logo:
Colocando de volta o resistor da carga RL, o VAB que é a tensão sobre a carga fica:
então, o novo VAB é
VTh=8V; RTh=RN=5kΩ; IN=1,60mA; VAB=-1,33V
Pessoal, como não gosto de deixar coisas mal resolvidas, vejam como fica a análise principal do circuito, com Norton, utilizando a Lei de Kirchoff (foi aí que "erramos"). O sentido da corrente i1 é entrando no nó, juntamente com a corrente de 2mA. Logo, a corrente i2 que sai do nó é soma de i1 mais 2mA. Vejam como fica: Equação 1:
Equação 2: (passando pela malha de fora)
Daí é só fazer os outros cálculos.
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Referências
[1] http://www.corradi.junior.nom.br/teoremas_exer_resolvido.pdf
[2] http://www.ufrgs.br/eng04030/Aulas/teoria/cap_04/assocfon.htm
[3] http://www.dt.fee.unicamp.br/~www/ea612/node140.html