CEL18702 2017 1 AULA04

1 Análise de Malhas

A Análise de Malhas é uma técnica utilizada em análise de circuitos baseada na simplificação do circuito do ponto de vista da "soma" de tensões. O método de análise das malhas só é aplicado às redes planares, isto é, somente se for possível desenhar o diagrama de um circuito numa superfície plana, sem que haja cruzamento dos ramos, então o circuito é dito planar. Na Figura 1 temos um exemplo de rede planar e não planar.

Figura 1 - Rede planar (a) e Rede não planar (b).

Um circuito é uma rede que contém pelo menos um caminho fechado por onde possa fluir corrente. O nome oficial para esse caminho é laço. Assim, se iniciarmos por um determinado nó e traçarmos pela rede uma linha fechada contínua, passando uma vez em cada nó e terminando no nó de partida, este caminho é um laço. A malha é uma propriedade de circuitos planares e é definida como sendo um laço que não contém nenhum outro por dentro.

A técnica de análise de malhas envolve o conceito de corrente de malha que definiremos como sendo a corrente que flui apenas no perímetro de uma malha. Vamos utilizar o exemplo da Figura 2 para melhor entendimento do método.

Figura 2 - Exemplo de aplicação do método de malhas.

Solução

1. Arbitramos as correntes de malhas dando a designação de $i_1$ para a malha 1, $i_2$ para a malha 2 e assim por diante;
2. O sentido arbitrado para as correntes de malha pode ser qualquer um, mas para facilitar a obtenção das equações adotamos sempre o sentido horário;
3. Escreve-se as equações de malha em termos das tensões utilizando a lei de Ohm $V=RI$
4. Simplifica-se as equações e resolve-se o sistema obtido.

Malha 1

$-6+2(i_1-i_2)+1(i_1-i_3)=0\to -6+2i_1-2i_2+1i_1-2i_3=0$

Malha 2

$4i_2+3(i_2-i_3)+2(i_2-i_1)=0\to 4i_2+3i_2-3i_3+2i_2-2i_1=0$

Malha 3

$-12+2i_3+1(i_3-i_1)+3(i_3-i_2)=0\to -12+2i_3+1i_3-1i_1+3i_3-3i_2=0$

Arrumando...

$3i_1-2i_2-i_3=6$

$-2i_1+9i_2-3i_3=0$

$-i_1-3i_2+6i_3=12$

$\mathrm{\Delta }=\left|\begin{array}{ccc}3& -2& -1\\ -2& 9& -3\\ -1& -3& 6\end{array}\right|.\left|\begin{array}{c}6\\ 0\\ 12\end{array}\right|$

$det\mathrm{\Delta }=\left|\begin{array}{ccc}3& -2& -1\\ -2& 9& -3\\ -1& -3& 6\end{array}\right|=90$

$det\mathrm{\Delta }{i}_1=\left|\begin{array}{ccc}6& -2& -1\\ 0& 9& -3\\ 12& -3& 6\end{array}\right|=450$

$det\mathrm{\Delta }{i}_2=\left|\begin{array}{ccc}3& 6& -1\\ -2& 0& -3\\ -1& 12& 6\end{array}\right|=222$

$det\mathrm{\Delta }{i}_3=\left|\begin{array}{ccc}3& -2& 6\\ -2& 9& 0\\ -1& -3& 12\end{array}\right|=366$

$i_1=\frac{\mathrm{\Delta }{i}_1}{\mathrm{\Delta }}{i}_1=\frac{450}{90}=5A$

$i_2=\frac{\mathrm{\Delta }{i}_2}{\mathrm{\Delta }}{i}_2=\frac{222}{90}=2,47A$

$i_3=\frac{\mathrm{\Delta }{i}_3}{\mathrm{\Delta }}{i}_3=\frac{366}{90}=4,07A$

1.1 Exercício de Fixação

Determine o valor de todas as correntes no circuito e a queda de tensão nos resistores:

Solução

Malha 1 $-26+1k{i}_1+2k(i_1-i_2)+13k(i_1-i_3)=0\to -26+1k{i}_1+2k{i}_1-2k{i}_2+13k{i}_2-13k{i}_3=0\to 16k{i}_1-2k{i}_2-13k{i}_3=26$ Malha 2 $4k{i}_2+5k(i_2-i_3)+2k(i_2-i_1)=0\to 4k{i}_2+5k{i}_2-5k{i}_3+2k{i}_2-2k{i}_1=0\to -2k{i}_1+11k{i}_2-5k{i}_3=0$ Malha 3 $5k(i_3-i_2)+0.5k{i}_3+13k(i_3-i_1)=0\to 5k{i}_3-5k{i}_2+0.5k{i}_3+13k{i}_3-13k{i}_1=0\to -13k{i}_1-5k{i}_2+18.5k{i}_3=0$ Organizando $16000i_1-2000i_2-13000i_3=26$ $-2000i_1+11000i_2-5000i_3=0$ $-13000i_1-5000i_2+18500i_3=0$ Resolvendo por Cramer $\mathrm{\Delta }=\left|\begin{array}{ccc}16000& -2000& -13000\\ -2000& 11000& -5000\\ -13000& -5000& 18500\end{array}\right|.\left|\begin{array}{c}26\\ 0\\ 0\end{array}\right|$ Resultado confirmado (matlab/calc) $\mathrm{\Delta }=663000000000$ $\mathrm{\Delta }{i}_1=4641000000$ $\mathrm{\Delta }{i}_2=2652000000$ $\mathrm{\Delta }{i}_3=3978000000$ $i_1=0,007A$ $i_2=0,004A$ $i_3=0,006A$ $V_{1k}=7V$ $V_{2k}=6V$ $V_{4k}=16V$ $V_{5k}=-10V$ $V_{13k}=13V$ $V_{500}=3V$

2 Exercícios AT1

[1] Determina a potência fornecida ou absorvida pelos elemento do circuito abaixo. (Kirchhoff)

[2] Encontre as correntes para o circuito abaixo e a tensão sobre o resistor de 1 $\mathrm{\Omega }$. (Malhas)

Solução

malha 1 $-6+2(i_1-i_2)+1(i_1-i_3)=0\to -6+2i_1-2i_2+1_1-6=0\to 3i_1-2i_2=12$ malha 2 $4i_2+3(i_2-i_3)+2(i_2-i_1)=0\to 4i_2+3i_2-18+2i_2-2i_1=0\to -2i_1+9_{i}2=18$ Resolvendo o sistema (Cramer) $\mathrm{\Delta }=\left|\begin{array}{cc}3& -2\\ -2& 9\end{array}\right|.\left|\begin{array}{c}12\\ 18\end{array}\right|$ $\mathrm{\Delta }=\left|\begin{array}{cc}3& -2\\ -2& 9\end{array}\right|=27-(4)\mathrm{\Delta }=23$ $\mathrm{\Delta }{i}_1=\left|\begin{array}{cc}12& -2\\ 18& 9\end{array}\right|=108-(-36)\mathrm{\Delta }{i}_1=144$ $\mathrm{\Delta }{i}_2=\left|\begin{array}{cc}3& 12\\ -2& 18\end{array}\right|=54-(-24)\mathrm{\Delta }{i}_2=78$ $i_1=\frac{\mathrm{\Delta }{i}_1}{\mathrm{\Delta }}=\frac{144}{23}{i}_1=6,26A$ $i_2=\frac{\mathrm{\Delta }{i}_2}{\mathrm{\Delta }}=\frac{78}{23}{i}_2=3,39A$

[3] Encontre a corrente $i_a$ para o circuito abaixo. (Malhas)

[4] Encontre as correntes para o circuito abaixo. (Malhas)

3 Referências

[1] http://www3.fsa.br/localuser/Eletronica/mario.garcia/Circuitos%20el%C3%A9tricos%20I/Determinantes.PDF

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