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Edição das 16h05min de 5 de dezembro de 2016
MURAL DE AVISOS E OPORTUNIDADES DA ÁREA DE TELECOMUNICAÇÕES
Informações gerais
Aulas
N | Dia | Desenvolvimento | Leitura recomendada |
---|---|---|---|
1 | 12/08 | Plano de ensino. Definição de variáveis aleatória. Variáveis aleatórias discretas. Função massa de probabilidade (PMF). [O]. | Yates, Sec. 2.2, 2.1 |
2 | 15/08 | Propriedades da PMF. Algumas distribuições de probabilidade discretas. [O]. | Yates, Sec. 2.3 |
3 | 19/08 | Variáveis aleatórias contínuas. Função densidade de probabilidade (PDF). Propriedades da PDF. Algumas distribuições de probabilidade contínuas. | Yates, Sec. 3.2, 3.4. |
4 | 26/08 | [O]. Função de distribuição acumulada (CDF). | Yates, Sec. 2.4, 3.1. |
5 | 29/08 | PDF para variáveis aleatórias discretas. Variáveis aleatórias mistas. [O]. | Yates, Sec. 3.6. |
6 | 02/09 | PDF conjunta e marginal. CDF conjunta e marginal. | Yates, Sec. 4.1 a 4.5. |
7 | 09/09 | PDF condicional. [O]. Variáveis aleatórias independentes. | Yates, Sec. 2.9, 3.8, 4.8 a 4.10. |
8 | 12/09 | Valor esperado. Teorema fundamental do valor esperado. Propriedades do valor esperado. Média, variância, desvio padrão. | Yates, Sec. 2.5, 2.7, 2.8, 3.3. |
9 | 16/09 | Covariância e correlação. [O]. | Yates, Sec. 4.7. |
10 | 23/09 | Variáveis aleatórias descorrelacionadas. Independência vs descorrelação. Coeficiente de Pearson. | Yates, Sec. 4.7. |
11 | 27/09 | Vetores aleatórios. Vetor média e matriz covariância. | Yates, Sec. 5.1, 5.2, 5.6. |
12 | 30/09 | Vetores aleatórios gaussianos. Definição. PDF conjunta. Exemplos [1]. | Yates, Sec. 3.5, 5.7. Albuquerque, Cap. 6. |
13 | 07/10 | Prova #1.1. | |
14 | 10/10 | Correção da Prova #1.1. | |
15 | 14/10 | Exemplos [2]. Independência vs descorrelação para variáveis aleatórias conjuntamente gaussianas. | Albuquerque, Cap. 6. |
16 | 21/10 | Participação na MCC. | |
17 | 22/10 | Processos estocásticos contínuos e discretos. Especificação de processos estocásticos. | Yates, Sec. 10.1, 10.2. |
18 | 24/10 | Função média, função autocorrelação e função autocovariância. Exemplos [1]. | Yates, Sec. 10.8. |
19 | 04/11 | Exemplos [2]. | Yates, Sec. 10.8. |
20 | 09/11 | Estacionariedade. Estacionariedade no sentido estrito. Estacionariedade no sentido amplo. | Yates, Sec. 10.9, 10.10. |
21 | 11/11 | Sem aula devido à greve dos ônibus. | |
22 | 18/11 | Prova #1.2. | |
23 | 21/11 | Processos ESA. Função autocorrelação e densidade espectral de potência de processos ESA. Teorema de Wiener–Khinchine. | Yates, Sec. 11.5. |
24 | 25/11 | Sem aula devido ao Movimento de Ocupação. | |
25 | 26/11 | Resposta de sistemas lineares a entradas aleatórias. | Yates, Sec. 11.8. Albuquerque, Sec. 7.10. |
26 | 02/12 | Processos estocásticos gaussianos. | Yates, Sec. 10.12, Albuquerque, Sec. 7.11. |
27 | 05/12 | Cadeias de Markov. Introdução. Definição. Exemplos. Comportamento assintótico de cadeias de Markov. | Yates, Sec. 12.1 a 12.3. Grinstead, Sec. 11.1, 11.2. |
Simulações
Aula #1 |
---|
N = 1000; % Número de experimentos
D1 = randi([1 6], 1, N); % Dado 1
D2 = randi([1 6], 1, N); % Dado 2
X = D1 + D2; % Variável aleatória de interesse
x = 2:12; % Centros dos bins
freq = hist(X, x); % Histograma de X
pmf_prat = freq / N; % PMF prática a partir do histograma
pmf_teor = [1 2 3 4 5 6 5 4 3 2 1] / 36; % PMF teória calculada em sala de aula
% Plots
figure
hold on
stem(x, pmf_prat, 'r')
stem(x, pmf_teor, 'b')
grid on
|
Aula #2 |
---|
N = 10000;
X = zeros(1, N);
for ii = 1 : N
count = 0;
while 1
D = randi([1 6]);
count += 1;
if D == 6
break
end
end
X(ii) = count;
end
x = 1 : max(X);
freq = hist(X, x);
pmf_prat = freq/N;
pmf_teor = (5/6).^(x-1) * (1/6);
figure
hold on
stem(x, pmf_prat, 'r')
stem(x, pmf_teor, 'b')
grid on
prob_a_prat = sum(X <= 3) / N
prob_a_teor = 91/216
prob_b_prat = sum(X >= 6) / N
prob_b_teor = 3125/7776
prob_c_prat = sum(mod(X, 2) == 1) / N
prob_c_teor = 6/11
prob_d_prat = length(findstr(X, [1 1])) / N
prob_d_teor = 1/36
|
Aula #4 |
---|
close all
N = 10000;
sigma = 5;
X = randn(1, N) * sigma;
Y = randn(1, N) * sigma;
Z = X + 1j*Y;
R = abs(Z);
T = angle(Z);
x = linspace(-25, 25, 100);
freq_X = hist(X, x);
pdf_X_prat = freq_X / trapz(x, freq_X);
pdf_X_teor = 1/sqrt(2*pi*sigma^2) * exp(-x.^2 / (2*sigma^2));
y = linspace(-25, 25, 100);
freq_Y = hist(Y, y);
pdf_Y_prat = freq_Y / trapz(y, freq_Y);
pdf_Y_teor = 1/sqrt(2*pi*sigma^2) * exp(-y.^2 / (2*sigma^2));
r = linspace(-1, 25, 100);
freq_R = hist(R, r);
pdf_R_prat = freq_R / trapz(r, freq_R);
pdf_R_teor = r/(sigma^2) .* exp(-r.^2 / (2*sigma^2)) .* (r > 0);
t = linspace(-3.5, 3.5, 100);
freq_T = hist(T, t);
pdf_T_prat = freq_T / trapz(t, freq_T);
pdf_T_teor = 1 / (2*pi) * ((-pi <= t) & (t <= pi));
r2 = linspace(-10, 400, 100);
freq_R2 = hist(R.^2, r2);
pdf_R2_prat = freq_R2 / trapz(r2, freq_R2);
pdf_R2_teor = 1/(2*sigma^2) * exp(-r2 / (2*sigma^2)) .* (r2 > 0);
figure(1)
scatter(X, Y)
axis('equal')
grid on
figure(2)
subplot(1,2,1)
hold on
bar(x, pdf_X_prat, 'y')
plot(x, pdf_X_teor, 'b--', 'linewidth', 4)
xlim([x(1) x(end)])
grid on
subplot(1,2,2)
hold on
bar(y, pdf_Y_prat, 'y')
plot(y, pdf_Y_teor, 'b--', 'linewidth', 4)
xlim([y(1) y(end)])
grid on
figure(3)
subplot(2,2,1)
hold on
bar(r, pdf_R_prat, 'y')
plot(r, pdf_R_teor, 'b--', 'linewidth', 4)
xlim([r(1) r(end)])
grid on
subplot(2,2,2)
hold on
bar(t, pdf_T_prat, 'y')
plot(t, pdf_T_teor, 'b--', 'linewidth', 4)
xlim([t(1) t(end)])
grid on
subplot(2,2,3)
hold on
bar(r2, pdf_R2_prat, 'y')
plot(r2, pdf_R2_teor, 'b--', 'linewidth', 4)
xlim([r2(1) r2(end)])
grid on
|
Aula #5 |
---|
close all
N = 10000;
X = zeros(1, N);
for ii = 1 : N
U = 4*rand();
if U <= 1
X(ii) = 2*rand();
else
X(ii) = (rand() < 2/3);
end
end
x = linspace(-1, 3, 100);
freq = hist(X, x);
pdf_prat = freq / trapz(x, freq);
cdf_prat = cumsum(freq) / N;
figure
plot(x, pdf_prat)
grid on
figure
plot(x, cdf_prat)
ylim([-0.1 1.1])
grid on
|
Aula #7 |
---|
close all
N = 10000;
X = zeros(1, N);
Y = zeros(1, N);
ii = 1;
while ii <= N
X(ii) = 2*rand() - 1;
Y(ii) = 2*rand() - 1;
if X(ii)^2 + Y(ii)^2 <= 1;
ii += 1;
end
end
y = linspace(-1.2, 1.2, 100);
freq_Y = hist(Y, y);
pdf_Y_prat = freq_Y / trapz(y, freq_Y);
pdf_Y_teor = (2/pi) * sqrt(1 - y.^2) .* ((-1 <= y) & (y <= 1));
xc = 0.8;
Yc = zeros(1, N);
ii = 1;
while ii <= N
Yc(ii) = 2*rand() - 1;
if xc^2 + Yc(ii)^2 <= 1
ii += 1;
end
end
freq_Yc = hist(Yc, y);
pdf_Yc_prat = freq_Yc / trapz(y, freq_Yc);
pdf_Yc_teor = 1 / (2*sqrt(1 - xc^2)) .* (abs(y) <= sqrt(1 - xc^2));
figure(1)
scatter(X, Y)
axis('equal')
grid on
figure(2)
hold on
bar(y, pdf_Y_prat, 'y')
plot(y, pdf_Y_teor, 'b--', 'linewidth', 4)
axis('equal')
grid on
figure(3)
hold on
bar(y, pdf_Yc_prat, 'y')
plot(y, pdf_Yc_teor, 'b--', 'linewidth', 4)
axis('equal')
grid on
|
Aula #9 |
---|
N = 1e6;
U = randi([0 2], 1, N);
V = randi([0 2], 1, N);
X = U + V;
Y = U .* V;
u = 0:2;
freq_U = hist(U, u);
pmf_U_prat = freq_U / N;
pmf_U_teor = [1/3 1/3 1/3];
v = 0:2;
freq_V = hist(V, v);
pmf_V_prat = freq_V / N;
pmf_V_teor = [1/3 1/3 1/3];
freq_U_V = hist3([U' V'], [3 3]);
pmf_U_V_prat = freq_U_V / N;
pmf_U_V_teor = (1/9) * ones(3, 3);
x = 0:4;
freq_X = hist(X, x);
pmf_X_prat = freq_X / N;
pmf_X_teor = [1/9 2/9 3/9 2/9 1/9];
y = 0:4;
freq_Y = hist(Y, y);
pmf_Y_prat = freq_Y / N;
pmf_Y_teor = [5/9 1/9 2/9 0 1/9];
freq_X_Y = hist3([X' Y'], [5 5]);
pmf_X_Y_prat = freq_X_Y / N;
pmf_X_Y_teor = [1/9 0 0 0 0; 2/9 0 0 0 0; 2/9 1/9 0 0 0; 0 0 2/9 0 0; 0 0 0 0 1/9];
figure(1), clf
subplot(2,2,1), hold on, grid on
bar(u, pmf_U_prat, 'y', 0.5)
stem(u, pmf_U_teor, 'b', 'LineWidth', 2, 'MarkerSize', 8, 'MarkerFaceColor', 'auto')
subplot(2,2,2), hold on, grid on
bar(v, pmf_V_prat, 'y', 0.5)
stem(v, pmf_V_teor, 'b', 'LineWidth', 2, 'MarkerSize', 8, 'MarkerFaceColor', 'auto')
subplot(2,2,3), hold on, grid on
bar(x, pmf_X_prat, 'y', 0.5)
stem(x, pmf_X_teor, 'b', 'LineWidth', 2, 'MarkerSize', 8, 'MarkerFaceColor', 'auto')
subplot(2,2,4), hold on, grid on
bar(y, pmf_Y_prat, 'y', 0.5)
stem(y, pmf_Y_teor, 'b', 'LineWidth', 2, 'MarkerSize', 8, 'MarkerFaceColor', 'auto')
figure(2), clf
hold on, grid on
[um vm] = meshgrid(u, v);
my_bar3(pmf_U_V_prat, 0.5)
stem3(um(:), vm(:), pmf_U_V_teor(:), 'LineWidth', 2, 'MarkerSize', 12, 'MarkerFaceColor', 'auto')
figure(3), clf
hold on, grid on
[xm ym] = meshgrid(x, y);
my_bar3(pmf_X_Y_prat, 0.5)
stem3(xm(:), ym(:), pmf_X_Y_teor(:), 'LineWidth', 2, 'MarkerSize', 12, 'MarkerFaceColor', 'auto')
printf('E[U] = %f\n', mean(U))
printf('E[V] = %f\n', mean(V))
printf('E[U^2] = %f\n', mean(U.^2))
printf('E[V^2] = %f\n', mean(V.^2))
printf('var[U] = %f\n', var(U))
printf('var[V] = %f\n', var(V))
printf('E[UV] = %f\n', mean(U.*V))
printf('cov[U, V] = %f\n', cov(U, V))
printf('\n')
printf('E[X] = %f\n', mean(X))
printf('E[Y] = %f\n', mean(Y))
printf('E[X^2] = %f\n', mean(X.^2))
printf('E[Y^2] = %f\n', mean(Y.^2))
printf('var[X] = %f\n', var(X))
printf('var[Y] = %f\n', var(Y))
printf('E[XY] = %f\n', mean(X.*Y))
printf('cov[X, Y] = %f\n', cov(X, Y))
printf('\n')
|
Funções auxiliares:
my_bar3 |
---|
Credits: Amro from Stack Overflow function pp = my_bar3(M, width)
% MY_BAR3 3D bar graph.
%
% M - 2D matrix
% width - bar width (1 means no separation between bars)
%
% See also: bar3, hist3
%% construct patch
if nargin < 2, width = 0.8; end
assert(ismatrix(M), 'Matrix expected.')
% size of matrix
[ny,nx] = size(M);
% first we build a "template" column-bar (8 vertices and 6 faces)
% (bar is initially centered at position (1,1) with width=? and height=1)
hw = width / 2; % half width
[X,Y,Z] = ndgrid([0-hw 0+hw], [0-hw 0+hw], [0 1]);
v = [X(:) Y(:) Z(:)];
f = [
1 2 4 3 ; % bottom
5 6 8 7 ; % top
1 2 6 5 ; % front
3 4 8 7 ; % back
1 5 7 3 ; % left
2 6 8 4 % right
];
% replicate vertices of "template" to form nx*ny bars
[offsetX,offsetY] = meshgrid(0:nx-1,0:ny-1);
offset = [offsetX(:) offsetY(:)]; offset(:,3) = 0;
v = bsxfun(@plus, v, permute(offset,[3 2 1]));
v = reshape(permute(v,[2 1 3]), 3,[]).';
% adjust bar heights to be equal to matrix values
v(:,3) = v(:,3) .* kron(M(:), ones(8,1));
% replicate faces of "template" to form nx*ny bars
increments = 0:8:8*(nx*ny-1);
f = bsxfun(@plus, f, permute(increments,[1 3 2]));
f = reshape(permute(f,[2 1 3]), 4,[]).';
%% plot
% prepare plot
if exist('OCTAVE_VERSION','builtin') > 0
% If running Octave, select OpenGL backend, gnuplot wont work
#graphics_toolkit('fltk');
hax = gca;
else
hax = newplot();
set(ancestor(hax,'figure'), 'Renderer','opengl')
end
% draw patch specified by faces/vertices
% (we use a solid color for all faces)
p = patch('Faces',f, 'Vertices',v, ...
'FaceColor', 'y', 'EdgeColor','k', 'Parent',hax);
view(hax,3); grid(hax,'on');
set(hax, 'XTick',1:nx, 'YTick',1:ny, 'Box','off', 'YDir','reverse', ...
'PlotBoxAspectRatio',[1 1 (sqrt(5)-1)/2]) % 1/GR (GR: golden ratio)
% return handle to patch object if requested
if nargout > 0
pp = p;
end
end
|
Arquivos
Material
Listas de exercícios
Formulário
Trabalhos
- Trabalho: Distribuições binomial e de Pascal.
- Trabalho: Variáveis aleatórias contínuas conjuntas.
- Trabalho: Cadeias de Markov.
Bibliografia
- Yates, Roy D.; Goodman, David J. Probability and Stochastic Processes: A Friendly Introduction for Electrical and Computer Engineers, 2nd Ed., 2005.
- Albuquerque, J.P.A.; Fortes, J.M.P.; Finamore, W.A. Probabilidade, Variáveis Aleatórias e Processos Estocásticos, 2008.
- Grinstead, Charles M.; Snell, J. Laurie. Introduction to Probability, 2006.
Professores anteriores
- 2016-1: Roberto Wanderley da Nóbrega
- 2015-2: Roberto Wanderley da Nóbrega
- 2015-1: Roberto Wanderley da Nóbrega
- 2014-2: Roberto Wanderley da Nóbrega