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Linha 85: |
Linha 85: |
| === Impedância de entrada, <math>Z_in</math> na linha sem perdas === | | === Impedância de entrada, <math>Z_in</math> na linha sem perdas === |
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− | Em relação a <math>Z_in</math> temos: | + | Em relação a <math>Z_{in}</math> temos: |
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− | ::::<math>Z_{in(z)}= Z_o { Z_L (e^{-\gamma z} + e^{\gamma z}) + Z_o(e^{-\gamma z} - e^{\gamma z}) \over Z_L (e^{-\gamma z} - e^{\gamma z}) + Z_o (e^{-\gamma z} + e^{\gamma z})}</math> | + | ::::<math>Z_{in(-l)}= Z_o { Z_L (e^{\gamma l} + e^{-\gamma l}) + Z_o(e^{\gamma l} - e^{-\gamma l}) \over Z_L (e^{\gamma l} - e^{-\gamma l}) + Z_o (e^{\gamma l} + e^{-\gamma l})}</math> |
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− | ::::<math>Z_{in(z)}= Z_o { Z_L ((e^{-\alpha z} e^{-j\beta z})+ (e^{\alpha z} e^{j\beta z})) + Z_o((e^{-\alpha z} e^{-j\beta z})- (e^{\alpha z} e^{j\beta z})) \over Z_L ((e^{-\alpha z} e^{-j\beta z}) - (e^{\alpha z} e^{j\beta z})) + Z_o ((e^{-\alpha z} e^{-j\beta z}) + (e^{\alpha z} e^{j\beta z}))}</math> | + | ::::<math>Z_{in}= Z_o { Z_L ((e^{\alpha l} e^{j\beta l})+ (e^{-\alpha l} e^{-j\beta l})) + Z_o((e^{\alpha l} e^{j\beta l})- (e^{-\alpha l} e^{-j\beta l})) \over Z_L ((e^{\alpha l} e^{j\beta l}) - (e^{-\alpha l} e^{-j\beta l})) + Z_o ((e^{\alpha l} e^{j\beta l}) + (e^{-\alpha l} e^{-j\beta l}))}</math> |
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| como α = 0: | | como α = 0: |
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− | ::::<math>Z_{in(z)}= Z_o { Z_L ( e^{-j\beta z}+ e^{j\beta z}) + Z_o( e^{-j\beta z}- e^{j\beta z}) \over Z_L ( e^{-j\beta z} - e^{j\beta z}) + Z_o ( e^{-j\beta z} + e^{j\beta z})}</math> | + | ::::<math>Z_{in}= Z_o { Z_L ( e^{j\beta l}+ e^{-j\beta l}) + Z_o( e^{j\beta l}- e^{-j\beta l}) \over Z_L ( e^{j\beta l} - e^{-j\beta l}) + Z_o ( e^{j\beta l} + e^{-j\beta l})}</math> |
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| e da identidade de Euler: | | e da identidade de Euler: |
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− | ::::<math>e^{-j\beta z} = cos \beta z - j sen \beta z</math> | + | ::::<math>e^{-j\beta l} = cos \beta l - j sen \beta l</math> |
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− | ::::<math>e^{j\beta z} = cos \beta z + j sen \beta z</math> | + | ::::<math>e^{j\beta z} = cos \beta l + j sen \beta l</math> |
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− | ::::<math>Z_{in(z)}= Z_o { Z_L ( cos \beta z {\color{red}- j sen \beta z} + cos \beta z {\color{red} + j sen \beta z)} + Z_o( {\color{red} cos \beta z} - j sen \beta z {\color{red}- cos \beta z} - j sen \beta z) \over Z_L ( {\color{red}cos \beta z} - j sen \beta z {\color{red} - cos \beta z} - j sen \beta z) + Z_o ( cos \beta z {\color{red} - j sen \beta z} + cos \beta z + {\color{red}j sen \beta z)}}</math> | + | ::::<math>Z_{in(z)}= Z_o { Z_L ( cos \beta l{\color{red}+ j sen \beta l} + cos \beta l {\color{red} - j sen \beta l)} + Z_o( {\color{red} cos \beta l} + j sen \beta l {\color{red}- cos \beta l} + j sen \beta l) \over Z_L ( {\color{red}cos \beta l} + j sen \beta l {\color{red} - cos \beta l} + j sen \beta l) + Z_o ( cos \beta l {\color{red} + j sen \beta l} + cos \beta l - {\color{red}j sen \beta l)}}</math> |
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− | ::::<math>Z_{in(z)}= Z_o { Z_L ( cos \beta z) - Z_o (jsen \beta z) \over -Z_L (jsen \beta z)+ Z_o (cos \beta z)}</math> | + | ::::<math>Z_{in}= Z_o { Z_L ( cos \beta l) + Z_o (jsen \beta l) \over Z_L (jsen \beta l)+ Z_o (cos \beta l)}</math> |
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− | dividindo numerador e denominador por cos βz: | + | dividindo numerador e denominador por <math>cos \beta l</math>: |
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| {| class="wikitable" style="margin: auto;color:black; background-color:#ffffcc;" cellpadding="10" | | {| class="wikitable" style="margin: auto;color:black; background-color:#ffffcc;" cellpadding="10" |
− | |<math>Z_{in(z)}= Z_o { Z_L + jZ_o (tan \beta z) \over Z_o + jZ_L (tan \beta z)}</math> | + | |<math>Z_{in}= Z_o { Z_L + jZ_o (tan \beta l) \over Z_o + jZ_L (tan \beta l)}</math> |
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Edição das 12h27min de 12 de setembro de 2015
Na linha de transmissão a propagação das ondas incidente e refletida cria um padrão de onda estacionária (figura 1).
figura 1: onda estacionária para uma linha sem perdas e com
fonte: WENTWORTH, Stuart M. Eletromagnetismo Aplicado: Abordagem Antecipada das Linhas de Transmissão. Bookman, 2009.
O parâmetro utilizado para medir ou indicar a "quantidade" de onda estacionário ou de reflexão de onda numa linha de transmissão é a relação de onda estacionária (VSWR ou ROTE). O qual é definido como a razão entre as amplitudes máxima e a mínima da onda estacionária entre um pico e um vale consecutivo:
![{\displaystyle VSWR={|V(z)_{max}| \over |V(z)_{min}|}}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/260613596f25bd24253f3816cf467183f271134e)
![{\displaystyle VSWR={|V_{max}^{+}+V_{max}^{-}| \over |V_{max}^{+}-V_{max}^{-}|}}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/71934f3526ff9ed6b5be082971fd84a9677682b0)
(1)
substituindo
por
temos:
![{\displaystyle VSWR={|V_{o}^{+}+\Gamma V_{o}^{+}| \over |V_{o}^{+}-\Gamma V_{o}^{+}|}}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3fbe72c4cf8eec8c80bac8f55838f1ad0f23955a)
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Linha sem perdas
Muitas linhas de transmissão são formadas por bons condutores e isolantes. Essas linhas apresentam valores de R e G muito pequenos e como:
![{\displaystyle R<<jwL=>R+jwL=jwL}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7eadece56f312b1b8b33881b2ff248df3cf266ef)
![{\displaystyle G<<jwC=>G+jwC=jwC}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5fd8608e4f29254df8733a60832a8a68bd646887)
Ao fazermos essas aproximações estamos considerando que a linha não tem perdas, como podemos observar no coeficiente de propagação (γ)
![{\displaystyle \gamma ={\sqrt {(R+jwL)(G+jwC)}}}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af7ccfcc631b7dfc0fcb8afef47767d026d42d23)
![{\displaystyle \gamma ={\sqrt {(jw)^{2}LC)}}}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/efa6c64ddc0aaf13eba5ac4dabe17f3ff081b56b)
(2)
como
e a equação (2) não apresenta parte real
.
Impedância característica de uma linha sem perdas
![{\displaystyle Z_{o}={\sqrt {R+jwL \over G+jwC}}}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8df6a0dcf8936f0859a5b391c34ab2addd5e329b)
![{\displaystyle Z_{o}={\sqrt {jwL \over jwC}}}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa2917d6f51067bcd768bc3d2aae9e91bbac243e)
a impedância característica da uma linha sem perdas é resistiva !!!
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Potência incidente de uma linha sem perdas
Uma vez que
é resistiva e
, a potência incidente de uma linha sem perdas passa a ser:
![{\displaystyle P(z)^{+}={V_{o}^{+2} \over Z_{o}}e^{-2\alpha }cos\theta }](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/556b6e72f15c33dfd8c7631341ec0f8f1f703b08)
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Impedância de entrada,
na linha sem perdas
Em relação a
temos:
![{\displaystyle Z_{in(-l)}=Z_{o}{Z_{L}(e^{\gamma l}+e^{-\gamma l})+Z_{o}(e^{\gamma l}-e^{-\gamma l}) \over Z_{L}(e^{\gamma l}-e^{-\gamma l})+Z_{o}(e^{\gamma l}+e^{-\gamma l})}}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e000be251975317084f4e39c4d568ca76848a52)
![{\displaystyle Z_{in}=Z_{o}{Z_{L}((e^{\alpha l}e^{j\beta l})+(e^{-\alpha l}e^{-j\beta l}))+Z_{o}((e^{\alpha l}e^{j\beta l})-(e^{-\alpha l}e^{-j\beta l})) \over Z_{L}((e^{\alpha l}e^{j\beta l})-(e^{-\alpha l}e^{-j\beta l}))+Z_{o}((e^{\alpha l}e^{j\beta l})+(e^{-\alpha l}e^{-j\beta l}))}}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eafffddb694819116b386d1458c3735fcbe0f273)
como α = 0:
![{\displaystyle Z_{in}=Z_{o}{Z_{L}(e^{j\beta l}+e^{-j\beta l})+Z_{o}(e^{j\beta l}-e^{-j\beta l}) \over Z_{L}(e^{j\beta l}-e^{-j\beta l})+Z_{o}(e^{j\beta l}+e^{-j\beta l})}}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1cf9d77e8ab3cfa0bc5b2e18dd4910ab715d69f0)
e da identidade de Euler:
![{\displaystyle e^{-j\beta l}=cos\beta l-jsen\beta l}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d6f0ffcdc79d2ce2b93d391ed2c519a68007379c)
![{\displaystyle e^{j\beta z}=cos\beta l+jsen\beta l}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/de71f72ee111f33d56e8aadba52b4c7f3e98ce0c)
![{\displaystyle Z_{in(z)}=Z_{o}{Z_{L}(cos\beta l{\color {red}+jsen\beta l}+cos\beta l{\color {red}-jsen\beta l)}+Z_{o}({\color {red}cos\beta l}+jsen\beta l{\color {red}-cos\beta l}+jsen\beta l) \over Z_{L}({\color {red}cos\beta l}+jsen\beta l{\color {red}-cos\beta l}+jsen\beta l)+Z_{o}(cos\beta l{\color {red}+jsen\beta l}+cos\beta l-{\color {red}jsen\beta l)}}}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc7695d63d7137599e0acd0d11eca5429d20b0df)
![{\displaystyle Z_{in}=Z_{o}{Z_{L}(cos\beta l)+Z_{o}(jsen\beta l) \over Z_{L}(jsen\beta l)+Z_{o}(cos\beta l)}}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5eedcba7a3207069071c2617683c7b98f3695a58)
dividindo numerador e denominador por
:
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