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Linha 155: |
Linha 155: |
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− | <math>P^+(z) = {1 \over 2} \Re \{V(z)^+.I(z)^{+*} \}</math> (3) | + | ::::<math>P^+(z) = {1 \over 2} \Re \{V(z)^+.I(z)^{+*} \}</math> (3) |
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− | <math>V(z)^+</math> e <math>I(z)^+</math> são dados por: | + | ::::<math>V(z)^+</math> e <math>I(z)^+</math> são dados por: |
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− | <math>V(z)^+ = V_o^+ e^{-\alpha z} e^{-j\beta z} </math> (4) | + | ::::<math>V(z)^+ = V_o^+ e^{-\alpha z} e^{-j\beta z} </math> (4) |
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− | <math>I(z)^+ = I_o^+ e^{-\alpha z} e^{j\theta} e^{-j\beta z} </math> (5) | + | ::::<math>I(z)^+ = I_o^+ e^{-\alpha z} e^{j\theta} e^{-j\beta z} </math> (5) |
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Linha 173: |
Linha 173: |
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− | <math>P^+(z) = {1 \over 2} \Re \{ V_o^+ e^{-\alpha z} e^{-j\beta z} . I_o^+ e^{-\alpha z} e^{-j\theta} e^{j\beta z}\}</math> | + | ::::<math>P^+(z) = {1 \over 2} \Re \{ V_o^+ e^{-\alpha z} e^{-j\beta z} . I_o^+ e^{-\alpha z} e^{-j\theta} e^{j\beta z}\}</math> |
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− | <math>P^+(z) = {1 \over 2} \Re \{ V_o^+ e^{-\alpha z} e^{-j\beta z} . {V(z)^+ \over I(z)^+} e^{-\alpha z} e^{-j\theta} e^{j\beta z}\}</math> | + | ::::<math>P^+(z) = {1 \over 2} \Re \{ V_o^+ e^{-\alpha z} e^{-j\beta z} . {V(z)^+ \over I(z)^+} e^{-\alpha z} e^{-j\theta} e^{j\beta z}\}</math> |
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− | <math>P^+(z) = {1 \over 2} \Re \{ {V_o^{+2} \over |Zo|} e^{-2\alpha z} e^{-j\theta}\}</math> | + | ::::<math>P^+(z) = {1 \over 2} \Re \{ {V_o^{+2} \over |Zo|} e^{-2\alpha z} e^{-j\theta}\}</math> |
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Uma linha de transmissão possui uma impedância característica Zo definida pela relação entre a
e
. Considere que uma carga
é acoplada a um dos terminais da linha (figura 1).
figura 1: Linha com carga
Sobre essa carga teremos uma tensão
, fazendo circular uma corrente
. Na linha teremos as tensões
e
e as correntes
e
, conforme indicado no figura 2.
figura 2: Linhas com carga com tensões e correntes.
Podemos escrever
como:
![{\displaystyle Z_{L}={V_{L} \over I_{L}}}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d2f6da54965188fa4d433eea48e9134b1989106e)
Mas no nó terminal a da linha a tensão é a soma fasorial de
e
, portanto:
![{\displaystyle V_{L}=V^{+}e^{-\gamma z}+V^{-}e^{\gamma z}}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8c8da900765e6cf093489ab8f5b92753c74f0dc)
Do terminal a podemos retirar ainda a relação:
![{\displaystyle I_{L}=I^{+}e^{-\gamma z}+I^{-}e^{\gamma z}}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e045ba61a5e651c5eb3d91229fd6e872dd123051)
Considerando o terminal a como o ponto onde z = 0:
![{\displaystyle Z_{L}={V^{+}+V^{-} \over I^{+}+I^{-}}}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f3b70f9fb07316dd48c3b78904a9450de33d5590)
como,
![{\displaystyle Z_{o}={V^{+} \over I^{+}}={-V^{-} \over I^{-}}}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef159d995a24bf236b8bcaa44ad6426b884a8e43)
podemos escrever:
![{\displaystyle Z_{L}={V^{+}+V^{-} \over {{V^{+} \over Z_{o}}-{V^{-} \over Z_{o}}}}}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd32eb3f533658cedc6de661ab591cb34620abfa)
fazendo algumas manipulações algébricas:
![{\displaystyle {V^{-} \over V^{+}}={Z_{L}-Z_{o} \over Z_{L}+Z_{o}}}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7fcb032fbb4115d487f99345fd0733ed9a1af42e)
À relação
chamamos de coeficiente de reflexão e representamos pela letra grega Γ
Para diferenciar o coeficiente de reflexão na carga do obtido em outro ponto da linha iremos identificar esse por
|
coeficiente de reflexão afastado da carga
O valor de Γ em qualquer ponto da linha será dado pela relação entre
, sendo assim para um ponto afastado uma distância l da carga teremos:
![{\displaystyle \Gamma ={V_{o}^{-}e^{\gamma l} \over V_{o}^{+}e^{-\gamma l}}}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/265a850491eebd100c9f9cd4a91bcabb90ac7cfa)
|
Impedância de entrada
A relação entre a tensão e a corrente total em um determinado ponto da linha de transmissão é conhecida como Zin, impedância de entrada.
figura 3: Impedância de entrada - é a impedância vista em um ponto da linha.
Observe que não estamos nos referindo a Zo' (impedância característica) esta corresponde a relação'
, enquanto que Zin é dada por:
![{\displaystyle Z_{in(z)}={V_{o}^{+}e^{-\gamma z}+V_{o}^{-}e^{\gamma z} \over I_{o}^{+}e^{-\gamma z}+I_{o}^{-}e^{\gamma z}}}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f268cbcc9a890536f781afe4594d55d6ee5b7a81)
substituindo
e
por:
![{\displaystyle I_{o}^{+}={V_{o}^{+} \over Z_{o}}}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/05e8cd6d8a0ed13bc9e3df82218404f2476609a8)
![{\displaystyle I_{o}^{-}={-V_{o}^{-} \over Z_{o}}}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/59c1e54f3435ea6661614eb96730044b87811e19)
temos:
![{\displaystyle Z_{in(z)}=Z_{o}{V_{o}^{+}e^{-\gamma z}+V_{o}^{-}e^{\gamma z} \over V_{o}^{+}e^{-\gamma z}-V_{o}^{-}e^{\gamma z}}}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d2e0b496728d1105afa1733681fc576e71f43e2)
agora substituindo
:
![{\displaystyle Z_{in(z)}=Z_{o}{V_{o}^{+}e^{-\gamma z}+\Gamma V_{o}^{+}e^{\gamma z} \over V_{o}^{+}e^{-\gamma z}-\Gamma V_{o}^{+}e^{\gamma z}}}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b98598e4ff293b012c81481e7446271fe8d43801)
![{\displaystyle Z_{in(z)}=Z_{o}{e^{-\gamma z}+\Gamma e^{\gamma z} \over e^{-\gamma z}-\Gamma e^{\gamma z}}}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ccd3434983e5e6e8e51a87dc42445bf80b9a0a9)
![{\displaystyle Z_{in(z)}=Z_{o}{e^{-\gamma z}+{(Z_{L}-Z_{o}) \over (Z_{L}+Z_{o})}e^{\gamma z} \over e^{-\gamma z}-{(Z_{L}-Z_{o}) \over (Z_{L}+Z_{o})}e^{\gamma z}}}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa83d8d80d2134f5fe951c59e0b637cec0e7b7e8)
![{\displaystyle Z_{in(z)}=Z_{o}{Z_{L}(e^{-\gamma z}+e^{\gamma z})+Z_{o}(e^{-\gamma z}-e^{\gamma z}) \over Z_{L}(e^{-\gamma z}-e^{\gamma z})+Z_{o}(e^{-\gamma z}+e^{\gamma z})}}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/036d6e8cd34eaed0740af20337e30a4f7d87bb9c)
dividindo numerador e denominador por
e lembrando que:
temos:
|
Potência incidente, entregue à carga e refletida
Potência incidente
Ao conectar uma fonte em uma linha de transmissão, passa a se propagar pela linha uma onda de tensão e outra de corrente. Essas duas ondas transportam energia elétrica (figura 1).
Figura 4: linha percorrida por onda de tensão e corrente que transmitem potência elétrica.
Se a fonte de tensão for harmônica, cossenoidal por exemplo, podemos calcular a potência média ativa transmitida por:
(3)
e
são dados por:
(4)
(5)
O termo
na equação (5) corresponde ao ângulo de defasagem entre a tensão e a corrente na linha.
Substituindo (4) e (5) em (3) e lembrando que
:
![{\displaystyle P^{+}(z)={1 \over 2}\Re \{V_{o}^{+}e^{-\alpha z}e^{-j\beta z}.I_{o}^{+}e^{-\alpha z}e^{-j\theta }e^{j\beta z}\}}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fbeec1808ab33de1b0bfb0a0d693667fa5299b13)
![{\displaystyle P^{+}(z)={1 \over 2}\Re \{V_{o}^{+}e^{-\alpha z}e^{-j\beta z}.{V(z)^{+} \over I(z)^{+}}e^{-\alpha z}e^{-j\theta }e^{j\beta z}\}}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c593a40ea5a182b35371e49ca3905ee0078a3120)
![{\displaystyle P^{+}(z)={1 \over 2}\Re \{{V_{o}^{+2} \over |Zo|}e^{-2\alpha z}e^{-j\theta }\}}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/490e1d7f15f571ed2a3ee66e1ef88abbb4c1966f)
o que pode ser escrito como:
(7)
|
A equação (7) representa a potência transmitida na linha ou potência incidente. Note que a constante α representa a constante de atenuação da linha.
Potência entregue à carga
A potência ativa entregue à carga pela linha (
) pode ser calculada por:
![{\displaystyle P_{L}=\Re \{V_{L}.I_{L}^{*}\}}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f850cc438ebf32bfbf7a306cf2351b3e627fcdc)
Que pode ser reescrita em função das tensões e correntes no terminal a da linha de transmissão.
![{\displaystyle P_{L}=\Re \{V(z).I(z)^{*}\}}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f09b72befe9a1954e7779f1afb953b15b12b8594)
![{\displaystyle P_{L}=\Re \{(V_{o}^{+}e^{-\alpha z}e^{-j\beta z}+V_{o}^{-}e^{\alpha z}e^{j\beta z}).(I_{o}^{+}e^{-\alpha z}e^{j\theta }e^{j\beta z}+I_{o}^{-}e^{\alpha z}e^{j\theta }e^{-j\beta z})\}}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cac7ab2b1f726d82b70c2c738dd138950824432c)
![{\displaystyle P_{L}=\Re \{(V_{o}^{+}e^{-\alpha z}e^{-j\beta z}+\Gamma V_{o}^{+}e^{\alpha z}e^{j\beta z}).({V_{o}^{+} \over Z_{o}}e^{-\alpha z}e^{j\theta }e^{j\beta z}+-\Gamma {V_{o}^{+} \over Z_{o}}e^{\alpha z}e^{j\theta }e^{-j\beta z})\}}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/35773ba6cd5636c9c9537167f8173ece5fe23b96)
Considerando o terminal a como o ponto onde z=0:
![{\displaystyle P_{L}=\Re \{(V_{o}^{+}+\Gamma V_{o}^{+}).({V_{o}^{+} \over Z_{o}}e^{j\theta }-\Gamma {V_{o}^{+} \over Z_{o}}e^{j\theta })\}}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0870fa102fc3fe1871e33b8988b84bd1d7410775)
![{\displaystyle P_{L}=\Re \{{V_{o}^{+2} \over Z_{o}}e^{j\theta }-\Gamma ^{2}{V_{o}^{+2} \over Z_{o}}e^{j\theta }\}}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ec49d6b53262f30a85979676bba6a1de98e4bd9)
![{\displaystyle P_{L}=\Re \{{V_{o}^{+2} \over Z_{o}}e^{j\theta }(1-\Gamma ^{2})\}}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6686a014b20a6dea3653fc50ca743880b49163be)
o termo
é exatamente a potência incidente no terminal a portanto:
(8)
|
A linha em
na equação (8) representa que o cálculo de
deve ser realizado descontando a atenuação da linha, isto utilizando o valor de
no terminal a.
Potência Refletida
Manipulando um pouco a equação (8) podemos encontrar o relação entre a potência incidente, a potência refletida e a potência entregue à carga:
![{\displaystyle P_{L}=P^{+'}(1-\Gamma ^{2})}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c4cc19c55249036a58ce9ad4bbd61a9d1ee31d2)
![{\displaystyle P_{L}=P^{+'}-\Gamma ^{2}P^{+'}}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/362599d4a89da98a9cff773f66f0001bed5eaba6)
![{\displaystyle P_{L}={V^{+'2} \over Z_{o}}-\Gamma ^{2}{V^{+'2} \over Z_{o}}}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/172c8c34b44ff4adf4085d41e962b04632b8ba75)
![{\displaystyle P_{L}={V^{+'2} \over Z_{o}}-{(\Gamma .V^{+'})^{2} \over Z_{o}}}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3319a8cfac165c42e6b4316910a3cbcbd561a276)
(9)
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O primeiro termo do lado direito da equação (9) corresponde a potência incidente no terminal a e o segundo termo a potência refletida. Esta relação mostra que a parcela de potência que chega ao final da linha e não é absorvida pela carga, retorno para linha. Isto é, V^-(z) e I^-(z) são as ondas refletidas na linha e transportam a potência refletida.
Potências na linha e entregue à carga
Potência incidente |
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Potência refletida no terminal da carga |
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Potência entregue à carga |
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