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− | ::::<math>v(z,t) = V_o^-e^{-\alpha z} cos (wt + \beta z)</math> (20) | + | ::::<math>v(z,t) = V_o^-e^{\alpha z} cos (wt + \beta z)</math> (20) |
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| {| class="wikitable" style="margin: auto;color:red; background-color:#ffffcc;" cellpadding="10" | | {| class="wikitable" style="margin: auto;color:red; background-color:#ffffcc;" cellpadding="10" |
− | | <math>v(z,t) = V_o^+e^{-\alpha z} cos (wt - \beta z) + V_o^-e^{-\alpha z} cos (wt + \beta z)</math> (21) | + | | <math>v(z,t) = V_o^+e^{-\alpha z} cos (wt - \beta z) + V_o^-e^{\alpha z} cos (wt + \beta z)</math> (21) |
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| {| class="wikitable" style="margin: auto;color:red; background-color:#ffffcc;" cellpadding="10" | | {| class="wikitable" style="margin: auto;color:red; background-color:#ffffcc;" cellpadding="10" |
− | |<math>i(z,t) = I_o^+e^{-\alpha z} cos (wt - \beta z) + I_o^-e^{-\alpha z} cos (wt + \beta z)</math> (22) | + | |<math>i(z,t) = I_o^+e^{-\alpha z} cos (wt - \beta z) + I_o^-e^{\alpha z} cos (wt + \beta z)</math> (22) |
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A figura 1 mostra uma seção infinitesimal de uma linha de transmissão sendo submetida a uma tensão e percorrida por uma corrente. A partir da análise das tensões e correntes instantâneas dessa seção chegaremos nas equações da onda viajante na linha de transmissão.
Figura 1: Seção infinitesimal de uma linha de transmissão.
fonte: WENTWORTH, Stuart M. Eletromagnetismo Aplicado: Abordagem Antecipada das Linhas de Transmissão. Bookman, 2009.
A partir de Kirchhoff para a malha temos:
- (1)
E de Kirchhoff para o nó a :
- (2)
Dividindo as equações (1) E (2) por e fazendo :
- (3)
- (4)
Os limites nas equações (4) e (5) correspondem a definição de derivada, portanto podemos escrever as equações telegráficas:
(5)
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(6)
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Solução das equações telegráficas via uma função harmônica no tempo (sinusoidal)
Vamos obter a solução para as equações telegráficas a partir de uma solução harmônica no tempo, isto é, vamos considerar que a tensão v(z,t) é cossenoidal.
A equação de uma onda de tensão cossenoidal e descrita por:
- (7)
v(z) e Φ (z) são funções apenas da posição z.
Considerando a identidade de Euler [ ], podemos reescrever a equação (7) como:
- (8)
- (9)
Da representação de função complexa:
- (10)
Portanto:
- (11)
- (12)
A análise feita considerando uma onda de tensão tem sua equivalente em termos de uma onda de corrente.
Equação da onda viajante
Lembrando que:
e
temos:
portanto:
Utilizando a notação de função complexa e substituindo v(z,t) e i(z,t) nas equações telegráficas (5) e (6):
(14)
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(15)
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Derivando a primeira equação telegráfica (14) em função de z:
e substituindo pela segunda equação telegráfica (15) temos:
- (16)
fazendo isto é
- (17)
A equação (17) é uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem. Uma solução para esta equação é uma função exponencial, como:
- (18)
onde A e são constantes arbitrárias.
Derivando duas vezes a função (18) em função de z temos:
e a equação (17) pode ser reescrita como:
ou
- ou
Uma solução para essa equação é , portanto:
Retornando para a representação no tempo:
Substituindo A por uma constante mais significativa
- (19)
A equação (19) corresponde a uma onda de tensão se propagando na direção +z com amplitude em z=0 de
Da segunda solução temos:
- (20)
A equação (20) corresponde a uma onda de tensão se propagando na direção -z com amplitude em z=0 de
A resposta completa da equação (18) é a equação da onda viajante no tempo, a qual é obtida pela soma das soluções individuais da equação diferencial:
(21)
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Uma análise equivalente poderia ser realizada para i(z,t) obtendo:
(22)
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