Mudanças entre as edições de "Equações Telegráficas - Equações da Onda Viajante"
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− | :::::<math>v(z,t) - v(z+\Delta z,t) = i(z,t) R'\Delta z + L'\Delta z{\partial i(z,t) \over \partial t} </math> (1) | + | :::::<math>\ v(z,t) - v(z+\Delta z,t) = i(z,t) R'\Delta z + L'\Delta z{\partial i(z,t) \over \partial t} </math> (1) |
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− | :::::<math>i(z,t) - i(z+\Delta z,t) = v(z+\Delta z,t) G'\Delta z + C'\Delta z{\partial v(z+\Delta z,t) \over \partial t} </math> (2) | + | :::::<math>\ i(z,t) - i(z+\Delta z,t) = v(z+\Delta z,t) G'\Delta z + C'\Delta z{\partial v(z+\Delta z,t) \over \partial t} </math> (2) |
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− | :::::<math> \lim_{\Delta_z \to 0} {v(z,t) - v(z+\Delta z,t) \over \Delta z} = i(z,t) R' + L'{\partial i(z,t) \over \partial t} </math> (3) | + | :::::<math>\ \lim_{\Delta_z \to 0} {v(z,t) - v(z+\Delta z,t) \over \Delta z} = i(z,t) R' + L'{\partial i(z,t) \over \partial t} </math> (3) |
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{| class="wikitable" style="margin: auto;color:red; background-color:#ffffcc;" cellpadding="10" | {| class="wikitable" style="margin: auto;color:red; background-color:#ffffcc;" cellpadding="10" | ||
− | | <math> -{\partial v(z,t) \over \partial z} = i(z,t) R' + L'{\partial i(z,t) \over \partial t} </math> (5) | + | | <math>\ -{\partial v(z,t) \over \partial z} = i(z,t) R' + L'{\partial i(z,t) \over \partial t} </math> (5) |
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− | |<math>-{\partial i(z,t) \over \partial z} = v(z,t) G' + C'{\partial v(z,t) \over \partial t} </math> (6) | + | |<math>\ -{\partial i(z,t) \over \partial z} = v(z,t) G' + C'{\partial v(z,t) \over \partial t} </math> (6) |
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− | :::::<math>v(z,t) = v(z) \cos(wt+\ | + | :::::<math>\ v(z,t) = v(z) \cos(wt+\psi (z))</math> (7) |
− | v(z) e & | + | v(z) e ψ (z) são funções apenas da posição z. |
Considerando a identidade de Euler [ <math>e^{j\psi} = cos \psi + jsen \psi</math>], podemos reescrever a equação (7) como: | Considerando a identidade de Euler [ <math>e^{j\psi} = cos \psi + jsen \psi</math>], podemos reescrever a equação (7) como: | ||
− | :::::<math>\Re\left \{ e^{j\psi}\right \}= cos \psi</math> (8) | + | :::::<math>\ \Re\left \{ e^{j\psi}\right \}= cos \psi</math> (8) |
− | :::::<math>v(z,t) = v(z) cos(wt+ \ | + | :::::<math>\ v(z,t) = v(z) cos(wt+ \psi (z)) = \Re \left \{v(z) e^{j(wt+\psi(z))}\right \}</math> |
− | :::::<math>=\Re\left \{v(z)e^{+j \ | + | :::::<math>=\Re\left \{v(z)e^{+j \psi(z)} e^{jwt}\right \}</math> (9) |
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− | :::::<math>V(z)= v(z) e^{-j\ | + | :::::<math>\ V(z)= v(z) e^{-j\psi(z)}</math> (10) |
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− | :::::<math>v(z)=|V(z)|</math> (11) | + | :::::<math>\ v(z)=|V(z)|</math> (11) |
− | :::::<math>\ | + | :::::<math>\ \psi(z)= arg \left \{V(z)\right \}</math> (12) |
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− | ::::<math>{\partial \Re \left \{ e^{jwt} \right \} \over \partial t} ={\partial \Re \left \{ cos (wt) + jsen (wt) \right \} \over \partial t}</math> | + | ::::<math>\ {\partial \Re \left \{ e^{jwt} \right \} \over \partial t} ={\partial \Re \left \{ cos (wt) + jsen (wt) \right \} \over \partial t}</math> |
− | ::::<math>= {\partial cos(wt) \over \partial t} = -wsen (wt)</math> | + | ::::<math>\ = {\partial cos(wt) \over \partial t} = -wsen (wt)</math> |
Linha 143: | Linha 143: | ||
{| class="wikitable" style="margin: auto;color:red; background-color:#ffffcc;" cellpadding="10" | {| class="wikitable" style="margin: auto;color:red; background-color:#ffffcc;" cellpadding="10" | ||
− | | <math>{\partial | + | | <math>{\partial I(z) \over \partial z} = -(G + jwC) V(z) </math> (15) |
|} | |} | ||
Linha 162: | Linha 162: | ||
− | ::::<math> {\partial^2 V(z) \over \partial z^2} - | + | ::::<math> {\partial^2 V(z) \over \partial z^2} -\gamma^2 V(z) =0 </math> (17) |
Linha 177: | Linha 177: | ||
− | ::::<math>{\partial^2 V(z) \over \partial | + | ::::<math>{\partial^2 V(z) \over \partial^2 z} =\lambda^2 Ae^{\lambda z}</math> |
Edição atual tal como às 09h17min de 13 de outubro de 2015
A figura 1 mostra uma seção infinitesimal de uma linha de transmissão sendo submetida a uma tensão e percorrida por uma corrente. A partir da análise das tensões e correntes instantâneas dessa seção chegaremos nas equações da onda viajante na linha de transmissão.
Figura 1: Seção infinitesimal de uma linha de transmissão. fonte: WENTWORTH, Stuart M. Eletromagnetismo Aplicado: Abordagem Antecipada das Linhas de Transmissão. Bookman, 2009.
A partir de Kirchhoff para a malha temos:
- (1)
E de Kirchhoff para o nó a :
- (2)
Dividindo as equações (1) E (2) por e fazendo :
- (3)
- (4)
Os limites nas equações (4) e (5) correspondem a definição de derivada, portanto podemos escrever as equações telegráficas:
(5) |
(6) |
Solução das equações telegráficas via uma função harmônica no tempo (sinusoidal)
Vamos obter a solução para as equações telegráficas a partir de uma solução harmônica no tempo, isto é, vamos considerar que a tensão v(z,t) é cossenoidal.
A equação de uma onda de tensão cossenoidal e descrita por:
- (7)
v(z) e ψ (z) são funções apenas da posição z.
Considerando a identidade de Euler [ ], podemos reescrever a equação (7) como:
- (8)
- (9)
Da representação de função complexa:
- (10)
Portanto:
- (11)
- (12)
A análise feita considerando uma onda de tensão tem sua equivalente em termos de uma onda de corrente.
Equação da onda viajante
Lembrando que:
e
temos:
portanto:
Utilizando a notação de função complexa e substituindo v(z,t) e i(z,t) nas equações telegráficas (5) e (6):
(14) |
(15) |
Derivando a primeira equação telegráfica (14) em função de z:
e substituindo pela segunda equação telegráfica (15) temos:
- (16)
fazendo isto é
- (17)
A equação (17) é uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem. Uma solução para esta equação é uma função exponencial, como:
- (18)
onde A e são constantes arbitrárias.
Derivando duas vezes a função (18) em função de z temos:
e a equação (17) pode ser reescrita como:
ou
- ou
Uma solução para essa equação é , portanto:
Retornando para a representação no tempo:
Substituindo A por uma constante mais significativa
- (19)
A equação (19) corresponde a uma onda de tensão se propagando na direção +z com amplitude em z=0 de
Da segunda solução temos:
- (20)
A equação (20) corresponde a uma onda de tensão se propagando na direção -z com amplitude em z=0 de
A resposta completa da equação (18) é a equação da onda viajante no tempo, a qual é obtida pela soma das soluções individuais da equação diferencial:
(21) |
Uma análise equivalente poderia ser realizada para i(z,t) obtendo:
(22) |