Mudanças entre as edições de "Equações Telegráficas - Equações da Onda Viajante"
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fonte: WENTWORTH, Stuart M. Eletromagnetismo Aplicado: Abordagem Antecipada das Linhas de Transmissão. Bookman, 2009. | fonte: WENTWORTH, Stuart M. Eletromagnetismo Aplicado: Abordagem Antecipada das Linhas de Transmissão. Bookman, 2009. | ||
− | A partir de Kirchhoff para a malha temos: | + | '''A partir de Kirchhoff para a malha temos:''' |
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− | E de Kirchhoff para o nó a: | + | :::::<math>\ v(z,t) - v(z+\Delta z,t) = i(z,t) R'\Delta z + L'\Delta z{\partial i(z,t) \over \partial t} </math> (1) |
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+ | '''E de Kirchhoff para o nó <span style="color: red"> a </span>:''' | ||
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+ | :::::<math>\ i(z,t) - i(z+\Delta z,t) = v(z+\Delta z,t) G'\Delta z + C'\Delta z{\partial v(z+\Delta z,t) \over \partial t} </math> (2) | ||
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Dividindo as equações (1) E (2) por <math>\Delta z</math> e fazendo <math>\Delta z {\longrightarrow 0}</math>: | Dividindo as equações (1) E (2) por <math>\Delta z</math> e fazendo <math>\Delta z {\longrightarrow 0}</math>: | ||
− | <math> \lim_{\Delta_z \to 0} {v(z,t) - v(z+\Delta z,t) \over \Delta z} = i(z,t) R' + L'{\partial i(z,t) \over \partial t} </math> (3) | + | |
+ | :::::<math>\ \lim_{\Delta_z \to 0} {v(z,t) - v(z+\Delta z,t) \over \Delta z} = i(z,t) R' + L'{\partial i(z,t) \over \partial t} </math> (3) | ||
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+ | :::::<math>\lim_{\Delta_z \to 0} {i(z,t) - i(z+\Delta z,t) \over \Delta z} = v(z,t) G' + C'{\partial v(z,t) \over \partial t} </math> (4) | ||
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Os limites nas equações (4) e (5) correspondem a definição de derivada, portanto podemos escrever as equações telegráficas: | Os limites nas equações (4) e (5) correspondem a definição de derivada, portanto podemos escrever as equações telegráficas: | ||
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{| class="wikitable" style="margin: auto;color:red; background-color:#ffffcc;" cellpadding="10" | {| class="wikitable" style="margin: auto;color:red; background-color:#ffffcc;" cellpadding="10" | ||
− | | <math> -{\partial v(z,t) \over \partial z} = i(z,t) R' + L'{\partial i(z,t) \over \partial t} </math> (5) | + | | <math>\ -{\partial v(z,t) \over \partial z} = i(z,t) R' + L'{\partial i(z,t) \over \partial t} </math> (5) |
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− | |<math>-{\partial i(z,t) \over \partial z} = v(z,t) G' + C'{\partial v(z,t) \over \partial t} </math> (6) | + | |<math>\ -{\partial i(z,t) \over \partial z} = v(z,t) G' + C'{\partial v(z,t) \over \partial t} </math> (6) |
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Linha 40: | Linha 52: | ||
A equação de uma onda de tensão cossenoidal e descrita por: | A equação de uma onda de tensão cossenoidal e descrita por: | ||
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− | v(z) | + | :::::<math>\ v(z,t) = v(z) \cos(wt+\psi (z))</math> (7) |
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+ | v(z) e ψ (z) são funções apenas da posição z. | ||
Considerando a identidade de Euler [ <math>e^{j\psi} = cos \psi + jsen \psi</math>], podemos reescrever a equação (7) como: | Considerando a identidade de Euler [ <math>e^{j\psi} = cos \psi + jsen \psi</math>], podemos reescrever a equação (7) como: | ||
− | <math>\Re\left \{ e^{j\psi}\right \}= cos \psi</math> (8) | + | |
+ | :::::<math>\ \Re\left \{ e^{j\psi}\right \}= cos \psi</math> (8) | ||
− | <math>v(z,t) = v(z) cos(wt+ \ | + | |
− | <math>=\Re\left \{v(z)e^{+j \ | + | :::::<math>\ v(z,t) = v(z) cos(wt+ \psi (z)) = \Re \left \{v(z) e^{j(wt+\psi(z))}\right \}</math> |
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+ | :::::<math>=\Re\left \{v(z)e^{+j \psi(z)} e^{jwt}\right \}</math> (9) | ||
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Da representação de função complexa: | Da representação de função complexa: | ||
− | <math>V(z)= v(z) e^{-j\ | + | |
+ | :::::<math>\ V(z)= v(z) e^{-j\psi(z)}</math> (10) | ||
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Portanto: | Portanto: | ||
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+ | :::::<math>\ \psi(z)= arg \left \{V(z)\right \}</math> (12) | ||
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+ | A análise feita considerando uma onda de tensão tem sua equivalente em termos de uma onda de corrente. | ||
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=== Equação da onda viajante === | === Equação da onda viajante === | ||
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Lembrando que: | Lembrando que: | ||
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− | <math>= {\partial cos(wt) \over \partial t} = -wsen (wt)</math> | + | ::::<math>\ {\partial \Re \left \{ e^{jwt} \right \} \over \partial t} ={\partial \Re \left \{ cos (wt) + jsen (wt) \right \} \over \partial t}</math> |
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+ | ::::<math>\ = {\partial cos(wt) \over \partial t} = -wsen (wt)</math> | ||
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e | e | ||
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− | <math> = -wsen (wt)</math> | + | ::::<math>\Re \left \{ jwe^{jwt} \right \}= \Re \left \{jw( cos(wt) + jsen (wt)) \right \}</math> |
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+ | ::::<math> = -wsen (wt)</math> | ||
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+ | temos: | ||
− | <math>{\partial \Re \left \{ e^{jwt} \right \} \over \partial t} =\Re \left \{ jwe^{jwt} \right \}</math> | + | |
+ | ::::<math>{\partial \Re \left \{ e^{jwt} \right \} \over \partial t} =\Re \left \{ jwe^{jwt} \right \}</math> | ||
portanto: | portanto: | ||
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− | + | ::::<math>{\partial v(z,t) \over \partial t}= {\partial \Re \left \{ V(z)e^{jwt} \right \} \over \partial t}</math> | |
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− | <math>{\partial v(z,t) \over \partial t}= jwV(z) </math> | + | ::::<math>{\partial v(z,t) \over \partial t}= V(z) {\partial \Re \left \{ e^{jwt} \right \} \over \partial t} = V(z) \Re \left \{ jwe^{jwt} \right \} </math> |
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+ | ::::<math>{\partial v(z,t) \over \partial t}= jwV(z) </math> | ||
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Utilizando a notação de função complexa e substituindo v(z,t) e i(z,t) nas equações telegráficas (5) e (6): | Utilizando a notação de função complexa e substituindo v(z,t) e i(z,t) nas equações telegráficas (5) e (6): | ||
− | <math> {\partial V(z) \over \partial z} = -(R + | + | {| class="wikitable" style="margin: auto;color:red; background-color:#ffffcc;" cellpadding="10" |
+ | | <math> {\partial V(z) \over \partial z} = -(R + jwL) I(z) </math> (14) | ||
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+ | {| class="wikitable" style="margin: auto;color:red; background-color:#ffffcc;" cellpadding="10" | ||
+ | | <math>{\partial I(z) \over \partial z} = -(G + jwC) V(z) </math> (15) | ||
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+ | Derivando a primeira equação telegráfica (14) em função de z: | ||
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+ | ::::<math> {\partial^2 V(z) \over \partial z^2} = -(R + jwL) {\partial I(z) \over \partial z} </math> | ||
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e substituindo <math>{\partial I(z) \over \partial z}</math> pela segunda equação telegráfica (15) temos: | e substituindo <math>{\partial I(z) \over \partial z}</math> pela segunda equação telegráfica (15) temos: | ||
− | <math> {\partial^2 V(z) \over \partial z^2} = (R + jwL) (G + jwC) V(z) </math> (16) | + | ::::<math> {\partial^2 V(z) \over \partial z^2} = (R + jwL) (G + jwC) V(z) </math> (16) |
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+ | fazendo <math> \gamma^2 = (R + jwL) (G + jwC)</math> isto é <math> \gamma = \sqrt {(R + jwL) (G + jwC)} = \alpha + j\beta </math> | ||
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+ | ::::<math> {\partial^2 V(z) \over \partial z^2} -\gamma^2 V(z) =0 </math> (17) | ||
− | + | A equação (17) é uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem. Uma solução para esta equação é uma função exponencial, como: | |
− | |||
− | <math>V(z) = Ae^{\lambda z}</math> (18) | + | ::::<math>V(z) = Ae^{\lambda z}</math> (18) |
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− | Derivando duas vezes a | + | Derivando duas vezes a função (18) em função de z temos: |
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+ | ::::<math>{\partial^2 V(z) \over \partial^2 z} =\lambda^2 Ae^{\lambda z}</math> | ||
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e a equação (17) pode ser reescrita como: | e a equação (17) pode ser reescrita como: | ||
− | <math>\lambda^2Ae^{\lambda z} - \gamma^2 Ae^{\lambda z} = 0</math> | + | |
+ | ::::<math>\lambda^2Ae^{\lambda z} - \gamma^2 Ae^{\lambda z} = 0</math> | ||
+ | |||
ou | ou | ||
− | <math>\lambda^2 - \gamma^2 = 0 </math> ou <math>(\lambda+\gamma)(\lambda-\gamma) = 0 </math> | + | |
+ | ::::<math>\lambda^2 - \gamma^2 = 0 </math> ou <math>(\lambda+\gamma)(\lambda-\gamma) = 0 </math> | ||
+ | |||
Uma solução para essa equação é <math>\lambda = -\gamma </math>, portanto: | Uma solução para essa equação é <math>\lambda = -\gamma </math>, portanto: | ||
− | <math>V(z) = Ae^{-\gamma z}</math> | + | |
+ | ::::<math>V(z) = Ae^{-\gamma z}</math> | ||
+ | |||
Retornando para a representação no tempo: | Retornando para a representação no tempo: | ||
− | <math>v(z,t) = Ae^{-\alpha z} cos (wt - \beta z)</math> | + | |
+ | ::::<math>v(z,t) = Ae^{-\alpha z} cos (wt - \beta z)</math> | ||
+ | |||
Substituindo A por uma constante mais significativa <math>V_o^+</math> | Substituindo A por uma constante mais significativa <math>V_o^+</math> | ||
− | <math>v(z,t) = V_o^+e^{-\alpha z} cos (wt - \beta z)</math> (19) | + | |
+ | ::::<math>v(z,t) = V_o^+e^{-\alpha z} cos (wt - \beta z)</math> (19) | ||
+ | |||
A equação (19) corresponde a uma onda de tensão se propagando na direção +z com amplitude em z=0 de <math>V_o^+</math> | A equação (19) corresponde a uma onda de tensão se propagando na direção +z com amplitude em z=0 de <math>V_o^+</math> | ||
Linha 159: | Linha 216: | ||
Da segunda solução <math>\lambda = \gamma </math> temos: | Da segunda solução <math>\lambda = \gamma </math> temos: | ||
− | <math>v(z,t) = V_o^-e^{ | + | |
+ | ::::<math>v(z,t) = V_o^-e^{\alpha z} cos (wt + \beta z)</math> (20) | ||
Linha 167: | Linha 225: | ||
A resposta completa da equação (18) é a equação da onda viajante no tempo, a qual é obtida pela soma das soluções individuais da equação diferencial: | A resposta completa da equação (18) é a equação da onda viajante no tempo, a qual é obtida pela soma das soluções individuais da equação diferencial: | ||
− | <math>v(z,t) = V_o^+e^{-\alpha z} cos (wt - \beta z) + V_o^-e^{ | + | |
+ | {| class="wikitable" style="margin: auto;color:red; background-color:#ffffcc;" cellpadding="10" | ||
+ | | <math>v(z,t) = V_o^+e^{-\alpha z} cos (wt - \beta z) + V_o^-e^{\alpha z} cos (wt + \beta z)</math> (21) | ||
+ | |} | ||
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Uma análise equivalente poderia ser realizada para i(z,t) obtendo: | Uma análise equivalente poderia ser realizada para i(z,t) obtendo: | ||
− | + | {| class="wikitable" style="margin: auto;color:red; background-color:#ffffcc;" cellpadding="10" | |
− | <math>i(z,t) = I_o^+e^{-\alpha z} cos (wt - \beta z) + I_o^-e^{ | + | |<math>i(z,t) = I_o^+e^{-\alpha z} cos (wt - \beta z) + I_o^-e^{\alpha z} cos (wt + \beta z)</math> (22) |
+ | |} |
Edição atual tal como às 09h17min de 13 de outubro de 2015
A figura 1 mostra uma seção infinitesimal de uma linha de transmissão sendo submetida a uma tensão e percorrida por uma corrente. A partir da análise das tensões e correntes instantâneas dessa seção chegaremos nas equações da onda viajante na linha de transmissão.
Figura 1: Seção infinitesimal de uma linha de transmissão. fonte: WENTWORTH, Stuart M. Eletromagnetismo Aplicado: Abordagem Antecipada das Linhas de Transmissão. Bookman, 2009.
A partir de Kirchhoff para a malha temos:
- (1)
E de Kirchhoff para o nó a :
- (2)
Dividindo as equações (1) E (2) por e fazendo :
- (3)
- (4)
Os limites nas equações (4) e (5) correspondem a definição de derivada, portanto podemos escrever as equações telegráficas:
(5) |
(6) |
Solução das equações telegráficas via uma função harmônica no tempo (sinusoidal)
Vamos obter a solução para as equações telegráficas a partir de uma solução harmônica no tempo, isto é, vamos considerar que a tensão v(z,t) é cossenoidal.
A equação de uma onda de tensão cossenoidal e descrita por:
- (7)
v(z) e ψ (z) são funções apenas da posição z.
Considerando a identidade de Euler [ ], podemos reescrever a equação (7) como:
- (8)
- (9)
Da representação de função complexa:
- (10)
Portanto:
- (11)
- (12)
A análise feita considerando uma onda de tensão tem sua equivalente em termos de uma onda de corrente.
Equação da onda viajante
Lembrando que:
e
temos:
portanto:
Utilizando a notação de função complexa e substituindo v(z,t) e i(z,t) nas equações telegráficas (5) e (6):
(14) |
(15) |
Derivando a primeira equação telegráfica (14) em função de z:
e substituindo pela segunda equação telegráfica (15) temos:
- (16)
fazendo isto é
- (17)
A equação (17) é uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem. Uma solução para esta equação é uma função exponencial, como:
- (18)
onde A e são constantes arbitrárias.
Derivando duas vezes a função (18) em função de z temos:
e a equação (17) pode ser reescrita como:
ou
- ou
Uma solução para essa equação é , portanto:
Retornando para a representação no tempo:
Substituindo A por uma constante mais significativa
- (19)
A equação (19) corresponde a uma onda de tensão se propagando na direção +z com amplitude em z=0 de
Da segunda solução temos:
- (20)
A equação (20) corresponde a uma onda de tensão se propagando na direção -z com amplitude em z=0 de
A resposta completa da equação (18) é a equação da onda viajante no tempo, a qual é obtida pela soma das soluções individuais da equação diferencial:
(21) |
Uma análise equivalente poderia ser realizada para i(z,t) obtendo:
(22) |