Edição atual tal como às 15h50min de 25 de abril de 2019

1 Teorema de Millman

O Teorema de Millman apresenta um método usado para reduzir um número qualquer de fontes de tensão em paralelo a apenas uma. Este teorema constitui um caso especial da aplicação do teorema de Thévenin. A Figura 1 apresenta um exemplo de simplificação utilização o teorema de Millman.

Figura 1 - Teorema de Millman para simplificação de fontes de tensão.

O primeiro passo é transformar as fontes de tensão com resistência em série em fontes de corrente com resistências em paralelo. A seguir, deve-se calcular o circuito equivalente com uma única fonte de corrente e uma única resistência. Estes cálculos são feitos da seguinte maneira:

$I = \frac{E_{1}}{R_{1}} + \frac{E_{2}}{R_{2}} + \frac{E_{3}}{R_{3}}$

$\frac{1}{R} = \frac{1}{R_{1}} + \frac{1}{R_{2}} + \frac{1}{R_{3}}$

A transformação do circuito fonte de corrente e resistência em paralelo em fonte de tensão e resistência em série deve ser realizada da seguinte maneira:

$E_{M} = I . R$

$R_{M} = R$

1.1 Exemplo

Determinar a corrente na resistência de 5 ohms utilizando o teorema de Millman. Confirme os resultados utilizando o teorema de Thevenin.

Solução

Teorema de Milman

Corrente (I):

$I = \frac{V_{1}}{10} + \frac{V_{2}}{2}$

$I = \frac{8}{10} + \frac{4}{2} = 2, 8 A$

Resistência equivalente (R):

$\frac{1}{R} = \frac{1}{10} + \frac{1}{2} \to R = 1, 667 Ω$

$V_{M} = I . R = 2, 8.1, 667 = 4, 67 V$

Logo:

$i = \frac{V_{M}}{R + 5 / / 4} + \frac{4, 67}{1, 667 + 2, 22} = 1, 2 A$

$i_{5 Ω} = \frac{i . 4}{5 + 4} + \frac{1, 2.4}{9} = 0, 533 A$

2 Associação de Fontes

2.1 Fontes de Tensão

A associação em série de fontes de tensão permite aumentar a diferença de potencial disponibilizada para efeitos de alimentação de um circuito. Um exemplo da associação em série de fontes é a utilização de múltiplas pilhas para alimentar aparelhos eletrodomésticos como lanternas, rádios portáteis. Com efeito, é comum associarem-se em série quatro pilhas de 1.5 V (corretamente associadas) para definir uma fonte de alimentação de 6 V.

A tensão disponível aos terminais de uma associação em série de fontes de tensão é dada pela soma das tensões parciais. Como se indica nas Figuras 2 (a) e 2 (b), a adição dos valores nominais das tensões deve ter em conta a polaridade da ligação: polaridades concordantes adicionam-se (a), e polaridades discordantes subtraem-se (b). Por outro lado, no caso das fontes de tensão com resistência interna não nula, como na Figura 2 (c), o valor da resistência interna resultante é dado pela soma das resistências internas de cada uma das fontes. A associação em série conduz, por conseguinte, a uma fonte cuja resistência interna é superior àquela característica de cada uma, considerada isoladamente.

Figura 2 - Associação em série de fontes de tensão.

A associação em paralelo de fontes de tensão é uma operação cuja realização prática necessita de alguns cuidados. Esta recomendação é particularmente verdadeira nos casos em que as fontes de tensão apresentam valores nominais bastante diferenciados e resistências internas reduzidas. Como se ilustra na Figura 3 (a), no caso particular em que as fontes de tensão são ideais e apresentam valores nominais distintos, a sua ligação em paralelo define uma malha cuja solução é apenas compatível com a circulação de uma corrente de valor infinito. Na realidade, a corrente entre as fontes é sempre limitada pelas respectivas resistências internas Figura 3 (b), valor que pode ser bastante elevado se estas não dispuserem de mecanismos de proteção.

Figura 3 - Associação em paralelo de fontes de tensão.

A associação em paralelo de fontes de tensão é o objeto do Teorema de Millman. De acordo com as regras estabelecidas para a transformação de fonte, o circuito representado na Figura 3 (b) pode ser sucessivamente transformado nos circuitos equivalentes representados em (c) e (d). Na primeira transformação, Figura 3 (c), substitui-se cada uma das fontes de tensão pela respectiva fonte de corrente equivalente, efetuando-se depois, sucessivamente, as associações em paralelo das fontes de corrente e das resistências internas, e a transformação inversa numa fonte de tensão com resistência interna. É facilmente demonstrável que os parâmetros da fonte de tensão resultante são:

$V_{5} = \frac{G_{1} . V_{1} + G_{2} . V 2}{G_{1} + G_{2}}$

e

$R_{5} = \frac{R_{1} . R_{2}}{R_{1} + R_{2}}$

respectivamente para o valor nominal da tensão e para a resistência interna.

2.2 Fonte de Corrente

A associação em paralelo de fontes de corrente rege-se por um conjunto de regras semelhante àquele estabelecido para a associação em série de fontes de tensão. Neste caso, a corrente colocada aos terminais de uma associação em paralelo é dada pela soma das correntes parciais (Figura 4.a e 4.b), que naturalmente deve ter em conta as polaridades respectivas. No caso das fontes de corrente reais, Figura 4.16.c, o valor da resistência interna é dada pelo paralelo das resistências internas parciais, o que torna a fonte de corrente mais acentuadamente não ideal.

Figura 4 - Associação em paralelo de fontes de corrente.

Nota

A associação em série de fontes de corrente ideais com valores nominais distintos conduz a uma indeterminação no nó de interligação, devido a não verificação da Lei de Kirchhoff das correntes. No nó comum às duas fontes deve verificar-se sempre a igualdade i₁-i₂=0, ou, o que é o mesmo, i₁=i₂.

3 Princípio da Superposição

O teorema da superposição para circuitos elétricos afirma que a corrente elétrica total em qualquer ramo de um circuito bilateral linear é igual a soma algébrica das correntes produzidas por cada fonte atuando separadamente no circuito. Isto vale também para tensões elétricas.

3.1 Video aula

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3.2 Exemplo

Superposição (Sistemas Lineares)

A resposta de um circuito linear a várias excitações simultâneas é igual à soma das respostas individuais a cada uma das excitações.

Procedimento:

1. Calcula-se a solução para o estado inicial, anulando-se as entradas (curto-circuitando as fontes de tensão e abrindo as fontes de corrente).

2. Calcula-se a solução para cada fonte, anulando-se as condições iniciais e as demais fontes do circuito.

3. Somam-se as soluções individuais.

Figura 1 - Circuito original com uma fonte de tensão e outra de corrente.

Determinar a corrente i

$i = i^{'} + i^{″}$

Figura 2 - Circuito a partir da fonte de tensão.

Fonte de tensão

Solução

$i^{'} = \frac{V_{x}}{20}$

$V_{x} = \frac{40.20}{20 + 10} = 26, 7 V$

$i^{'} = \frac{26, 7}{20} = 1, 33 A$

Figura 3 - Circuito a partir da fonte de corrente.

Fonte de corrente

Solução

$i^{″} = \frac{2.10}{10 + 20} = 0, 67 A$

Resultado

Solução

$i = i^{'} + i^{″}$

$i = 1, 33 + 0, 67 = 2 A$

Verificação através da análise de malha

Solução

malha 1

$30 i_{1} - 20 i_{2} = 40$

malha 2

$i_{2} = - 2 A$

Logo

$30 i_{1} - 20 . (- 2) = 40$

$i_{1} = \frac{40 - 40}{30} = 0 A$

Como:

$i = i_{1} - i_{2} = 0 - (- 2) = 2 A$

4 Exercícios

4.1 Superposição

[1] Determinar a Corrente I no circuito abaixo usando o teorema da Superposição.

[2] Qual a corrente sobre o resistor de 12 ohms?