Mudanças entre as edições de "Transformação Bilinear"
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== Empenamento de frequência (''frequency warping'') == | == Empenamento de frequência (''frequency warping'') == | ||
− | Determinar a resposta de | + | Determinar a resposta de frequência em filtro analógico (de tempo contínuo), a função de transferência <math> H_a(s) </math> é avaliada em <math>s = j \omega_a / </math>, que corresponde aos valores dessa função no eixo imaginário <math> j \omega </math>. Da mesma forma para filtros digitais (de tempo discreto), a função de transferência <math> H_d(z) </math> é avaliada em <math>z = e^{ j \omega_d T} </math>, correspondendo aos valores sobre o circulo unitário pois <math>z = e^{ j \omega_d T} </math> possui magnitude constante <math> |z| = 1 </math>. |
A transformação bilinear mapeia o eixo imaginário do plano ''s'' no circulo unitário no plano ''z'', no entanto o mapeamento das frequências não é linear, sofrendo um empenamento (distorção). Para utilizar essa transformação na obtenção de filtros digitais a partir de filtros analógicos, é necessário determinar como cada frequencia do filtro final desejado <math> \omega_d </math> deve ser projetada no filtro analógico <math> \omega_a </math>. Essa distorção pode ser obtida fazendo a substituição de <math>z = e^{ j \omega_d T} \ </math> na equação da transformação bilinear, e aplicando a [https://en.wikipedia.org/wiki/Euler's_formula#Relationship_to_trigonometry fórmula de Euler para o seno]. | A transformação bilinear mapeia o eixo imaginário do plano ''s'' no circulo unitário no plano ''z'', no entanto o mapeamento das frequências não é linear, sofrendo um empenamento (distorção). Para utilizar essa transformação na obtenção de filtros digitais a partir de filtros analógicos, é necessário determinar como cada frequencia do filtro final desejado <math> \omega_d </math> deve ser projetada no filtro analógico <math> \omega_a </math>. Essa distorção pode ser obtida fazendo a substituição de <math>z = e^{ j \omega_d T} \ </math> na equação da transformação bilinear, e aplicando a [https://en.wikipedia.org/wiki/Euler's_formula#Relationship_to_trigonometry fórmula de Euler para o seno]. | ||
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Considere que: | Considere que: | ||
:<math>\begin{align} | :<math>\begin{align} | ||
− | \cos \omega = | + | 2 \cos \omega = e^{j\omega} + e^{-j\omega}, \\ |
− | \sin \omega = | + | 2j \sin \omega = e^{j\omega} - e^{-j\omega}. |
\end{align}</math> | \end{align}</math> | ||
e que | e que | ||
− | <math>\tan \omega =\frac{\sin \omega}{\cos \omega} </math>, e | + | :<math>\tan \omega =\frac{\sin \omega}{\cos \omega} </math>, e |
− | <math> 1 = | + | |
+ | :<math> 1 = e^{\omega}e^{-\omega} \ </math> | ||
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|<math>H_d(e^{ j \omega_d T}) </math> | |<math>H_d(e^{ j \omega_d T}) </math> | ||
|<math>= H_a \left( \frac{2}{T} \frac{e^{ j \omega_d T} - 1}{e^{ j \omega_d T} + 1}\right) </math> | |<math>= H_a \left( \frac{2}{T} \frac{e^{ j \omega_d T} - 1}{e^{ j \omega_d T} + 1}\right) </math> | ||
+ | |- | ||
+ | |<math>H_d(e^{ j \omega_d T}) </math> | ||
+ | |<math>= H_a \left( \frac{2}{T} \frac{e^{j \omega_d T/2}e^{j \omega_d T/2} - e^{j \omega_d T/2}e^{-j \omega_d T/2}}{e^{j \omega_d T/2}e^{j \omega_d T/2} + e^{j \omega_d T/2}e^{-j \omega_d T/2}}\right) </math> | ||
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− | |<math>= H_a \left( | + | |<math>= H_a \left(\frac{2}{T} \cdot \frac{2j \sin(\omega_d T/2) }{2 \cos(\omega_d T/2) }\right) </math> |
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− | Isso mostra que cada ponto no circulo unitário do plano ''z'' é mapeado em um ponto no eixo imaginário do plano ''s''. E que as frequências do filtro digital são mapeadas nas frequencias analógicas: | + | Isso mostra que cada ponto no circulo unitário do plano ''z'' é mapeado em um ponto no eixo imaginário do plano ''s''. E que as frequências do filtro digital são mapeadas nas frequencias analógicas pela equação: |
:<math> \omega_a = \frac{2}{T} \tan \left( \omega_d \frac{T}{2} \right) </math> | :<math> \omega_a = \frac{2}{T} \tan \left( \omega_d \frac{T}{2} \right) </math> | ||
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: <math> -\infty < \omega_a < +\infty \ </math> | : <math> -\infty < \omega_a < +\infty \ </math> | ||
− | + | é mapeada no filtro digital no intervalo limitado | |
: <math> -\frac{\pi}{T} < \omega_d < +\frac{\pi}{T}. </math> | : <math> -\frac{\pi}{T} < \omega_d < +\frac{\pi}{T}. </math> |
Edição das 16h39min de 12 de setembro de 2019
Discretização de filtros analógicos
A transformação bilinear do domínio da Transformada de Laplace para o domínio da Transformada z é feito por
O mapeamento inverso em é feita por
é uma aproximação de primeira ordem do logaritmo pela série de potência
Essa transformação é o resulta em um mapeamento exato do plano z no plano s através de
Demonstração |
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Ela pode ser utilizada para ser transformar um sistema linear invariante no tempo continuo (filtro analógico) em um sistema linear invariante no tempo discreto (filtro digital) , e vice-versa. O mapeamento da função em é feita por:
O mapeamento inverso em é feita pela aproximação de primeira ordem da substituição
Empenamento de frequência (frequency warping)
Determinar a resposta de frequência em filtro analógico (de tempo contínuo), a função de transferência é avaliada em , que corresponde aos valores dessa função no eixo imaginário . Da mesma forma para filtros digitais (de tempo discreto), a função de transferência é avaliada em , correspondendo aos valores sobre o circulo unitário pois possui magnitude constante .
A transformação bilinear mapeia o eixo imaginário do plano s no circulo unitário no plano z, no entanto o mapeamento das frequências não é linear, sofrendo um empenamento (distorção). Para utilizar essa transformação na obtenção de filtros digitais a partir de filtros analógicos, é necessário determinar como cada frequencia do filtro final desejado deve ser projetada no filtro analógico . Essa distorção pode ser obtida fazendo a substituição de na equação da transformação bilinear, e aplicando a fórmula de Euler para o seno.
Demonstração | ||||||||||||
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Considere que: e que
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Isso mostra que cada ponto no circulo unitário do plano z é mapeado em um ponto no eixo imaginário do plano s. E que as frequências do filtro digital são mapeadas nas frequencias analógicas pela equação:
Além disso a faixa infinita de frequências do filtro analógico
é mapeada no filtro digital no intervalo limitado