Mudanças entre as edições de "Transformadas de Fourier"
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===DFT e IDFT=== | ===DFT e IDFT=== | ||
− | *O sinal <math> \mathrm{x(n)} </math> é discreto no tempo pode ser representado pelo o sinal <math> \mathrm{X(k)} </math> discreto e periódico em <math> \mathrm{2 \pi} </math>. | + | *O sinal <math> \mathrm{x(n)} \ </math> é discreto no tempo pode ser representado pelo o sinal <math> \mathrm{X(e^{j(2 \pi /N)k})} \ </math> discreto e periódico em <math> \mathrm{2 \pi} \ </math>. |
+ | Para obter a equação de análise (DFT) pode ser feito o cálculo das amostras do espectro de frequências em <math> \mathrm{\omega_k = (2 \pi /N)k} \ </math> em: | ||
+ | :<math display="block">\mathrm{X(e^{j\omega}) = \sum_{n= -\infty}^{\infty} x(n) e^{-j\omega n}}</math> | ||
+ | :<math display="block">\mathrm{X(e^{j(2 \pi /N)k}) = \sum_{n= -\infty}^{\infty} x(n) e^{-j(2 \pi /N)k n}}</math> | ||
+ | Conforme mostrado, o espectro é periódico em N, e portanto é suficiente calcular apenas os valores para <math> \mathrm{0 \le k \le N-1} \ </math>. Assim obtém-se | ||
− | ;A equação de análise (DFT): É uma transformação de um domínio de uma variável real <math> \mathrm{x(n)} </math> de tempo discreto em uma variável complexa <math> \mathrm{X(k)} </math> frequência discreta periódica. | + | ;A equação de análise (DFT): É uma transformação de um domínio de uma variável real <math> \mathrm{x(n)} \ </math> de tempo discreto em uma variável complexa <math> \mathrm{X(e^{j(2 \pi /N)k})} \ </math> frequência discreta periódica. |
:<math>\mathrm{\ DT \rightarrow DF}</math>. | :<math>\mathrm{\ DT \rightarrow DF}</math>. | ||
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e^{-j(2 \pi /N)k n}}</math> , para <math> \mathrm{0 \le k \le N-1} \ </math> | e^{-j(2 \pi /N)k n}}</math> , para <math> \mathrm{0 \le k \le N-1} \ </math> | ||
− | ;A equação de síntese (IDFT): É uma transformação de um domínio de uma variável complexa <math> \mathrm{X(\ | + | ;A equação de síntese (IDFT): É uma transformação de um domínio de uma variável complexa <math> \mathrm{X(e^{j(2 \pi /N)k})} \ </math> de frequência discreta periódica em uma variável real <math> \mathrm{x(n)} \ </math> discreta. |
:<math>\mathrm{\ DF \rightarrow DT}</math>. | :<math>\mathrm{\ DF \rightarrow DT}</math>. | ||
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e^{j(2 \pi /N)k n} }</math> , para <math> \mathrm{0 \le n \le N-1} \ </math> | e^{j(2 \pi /N)k n} }</math> , para <math> \mathrm{0 \le n \le N-1} \ </math> | ||
− | Ao usar a equação de análise, se o comprimento L de <math> \mathrm{x(n)} </math> for menor que o período de repetição N, é necessário que <math> \mathrm{x(n)} </math> seja preenchido com amostras nulas até atingir o comprimento N (''zero-padding''). | + | Ao usar a equação de análise, se o comprimento L de <math> \mathrm{x(n)} \ </math> for menor que o período de repetição N, é necessário que <math> \mathrm{x(n)} \ </math> seja preenchido com amostras nulas até atingir o comprimento N (''zero-padding''). |
;Simplificação da notação: | ;Simplificação da notação: | ||
+ | Para simplificar a notação é frequente utilizar: | ||
+ | :<math> \mathrm{X(k) = X(e^{j(2 \pi /N)k})} \ </math> para a frequência discreta periódica. | ||
+ | E ainda definir: | ||
+ | ::<math> \mathrm{W_N = e^{-j2 \pi /N}} \ </math> | ||
+ | o qual representa um segmento <math> 1/N </math> do circulo unitário no plano complexo. | ||
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+ | Dessa forma as equações da DFT e IDFT passam a ser escritas de forma simplificada como: | ||
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+ | :<math display="block">\mathrm{X(k) = \sum_{n= 0}^{N-1} x(n) W_N^{kn}}</math> , para <math> \mathrm{0 \le k \le N-1} \ </math> | ||
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+ | :<math display="block">\mathrm{x(n) = \frac{1}{N}\sum_{k= 0}^{N-1} X(k) W_N^{-kn}}</math> , para <math> \mathrm{0 \le n \le N-1} \ </math> |
Edição das 19h51min de 1 de agosto de 2019
Transformada de Fourier no tempo contínuo (TFTC)
- A equação de análise
- É uma transformação de um domínio de uma variável real de tempo continuo em uma variável complexa de frequência contínua.
- .
- .
- A equação de síntese
- É uma transformação de um domínio de uma variável complexa de frequência contínua em uma variável real de tempo continuo.
- .
- .
Transformada de Fourier no tempo discreto (TFTD)
- O sinal é discreto no tempo, e o sinal é contínuo e periódico em .
- A equação de análise
- É uma transformação de um domínio de uma variável real de tempo discreto em uma variável complexa frequência contínua periódica.
- .
- .
- A equação de síntese
- É uma transformação de um domínio de uma variável complexa de frequência contínua periódica em uma variável real continua.
- .
- .
Transformada de Discreta de Fourier (TDF)
Obtenção da TDF a partir da amostragem da TFTD
Sinais discretos no tempo podem ser representados pela sua TFTD, que é uma função continua periódica em de :
Para que a mesma possa ser utilizada no processamento de sinais digitais é necessário que a variável frequência seja também discreta. Se amostrarmos uniformemente a frequência em N amostras entre 0 e é possível obter a TDF (ou DFT - Discrete Fourier Transform). Assim se tomarmos N frequências com , and , obtemos o espectro amostrado uniformemente:
- .
O sinal equivalente no tempo pode ser obtido aplicando a transformada inversa e a convolução:
- .
O que mostra que o sinal Esse sinal são repetições periódicas (com período N) do sinal discreto original.
- Note que N o período de repetição do sinal é o mesmo período de repetição das N amostras da TFTD original.
- Se o comprimento L o sinal do for maior que N o período de repetição do sinal , haverá sobreposição das amostras no tempo (time aliasing), e não será possível recuperar o sinal original.
- Por outro lado, se então é a repetição periódica exata de .
- , para .
Portanto, é possível recuperar as amostras do sinal digital no tempo a partir das suas amostras digitais na frequência, desde que o período de repetição das N amostras de frequência seja maior ou igual ao comprimento L do sinal no tempo.
DFT e IDFT
- O sinal é discreto no tempo pode ser representado pelo o sinal discreto e periódico em .
Para obter a equação de análise (DFT) pode ser feito o cálculo das amostras do espectro de frequências em em:
Conforme mostrado, o espectro é periódico em N, e portanto é suficiente calcular apenas os valores para . Assim obtém-se
- A equação de análise (DFT)
- É uma transformação de um domínio de uma variável real de tempo discreto em uma variável complexa frequência discreta periódica.
- .
- .
- , para
- A equação de síntese (IDFT)
- É uma transformação de um domínio de uma variável complexa de frequência discreta periódica em uma variável real discreta.
- .
- .
- , para
Ao usar a equação de análise, se o comprimento L de for menor que o período de repetição N, é necessário que seja preenchido com amostras nulas até atingir o comprimento N (zero-padding).
- Simplificação da notação
Para simplificar a notação é frequente utilizar:
- para a frequência discreta periódica.
E ainda definir:
o qual representa um segmento do circulo unitário no plano complexo.
Dessa forma as equações da DFT e IDFT passam a ser escritas de forma simplificada como:
- , para
- , para