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| :<math display="block">\mathrm{X(k) \equiv \mathcal{F}\{x(n)\}\ | | :<math display="block">\mathrm{X(k) \equiv \mathcal{F}\{x(n)\}\ |
| \overset{\underset{\mathrm{def}}{}}{=} \sum_{k= 0}^{N-1} x(n)\ | | \overset{\underset{\mathrm{def}}{}}{=} \sum_{k= 0}^{N-1} x(n)\ |
− | e^{-j(2 \pi /N)k n}}</math> | + | e^{-j(2 \pi /N)k n}}</math> , para <math> \mathrm{0 \le k \le N-1} \ </math> |
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| ;A equação de síntese: É uma transformação de um domínio de uma variável complexa <math> \mathrm{X(\omega)} </math> de frequência discreta periódica em uma variável real <math> \mathrm{x(n)} </math> discreta. | | ;A equação de síntese: É uma transformação de um domínio de uma variável complexa <math> \mathrm{X(\omega)} </math> de frequência discreta periódica em uma variável real <math> \mathrm{x(n)} </math> discreta. |
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| :<math display="block">\mathrm{x(n) \equiv \mathcal{F}^{-1}\{X(k)\}\ | | :<math display="block">\mathrm{x(n) \equiv \mathcal{F}^{-1}\{X(k)\}\ |
| \overset{\underset{\mathrm{def}}{}}{=} \frac{1}{N}\sum_{n= 0}^{N-1}X(k)\ | | \overset{\underset{\mathrm{def}}{}}{=} \frac{1}{N}\sum_{n= 0}^{N-1}X(k)\ |
− | e^{j(2 \pi /N)k n} }</math> | + | e^{j(2 \pi /N)k n} }</math> , para <math> \mathrm{0 \le n \le N-1} \ </math> |
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| ===Obtenção da TDF a partir da amostragem da TFTD=== | | ===Obtenção da TDF a partir da amostragem da TFTD=== |
Edição das 17h29min de 1 de agosto de 2019
Transformada de Fourier no tempo contínuo (TFTC)
- A equação de análise
- É uma transformação de um domínio de uma variável real
de tempo continuo em uma variável complexa
de frequência contínua.
.
.
![{\displaystyle \mathrm {X(\Omega )\equiv {\mathcal {F}}\{x(t)\}\ {\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}\int _{-\infty }^{\infty }x(t)\ e^{-j\Omega t}\operatorname {d} \!t} }](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/939cd24caa77cf68d0c4d64c3887ced63ecfe63f)
- A equação de síntese
- É uma transformação de um domínio de uma variável complexa
de frequência contínua em uma variável real
de tempo continuo.
.
.
![{\displaystyle \mathrm {x(t)\equiv {\mathcal {F}}^{-1}\{X(\Omega )\}\ {\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}{\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }X(j\Omega )\ e^{j\Omega t}\operatorname {d} \!\Omega } }](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/05eb3c4236020c24c03920199b132dfba5cc636d)
Transformada de Fourier no tempo discreto (TFTD)
- O sinal
é discreto no tempo, e o sinal
é contínuo e periódico em
.
- A equação de análise
- É uma transformação de um domínio de uma variável real
de tempo discreto em uma variável complexa
frequência contínua periódica.
.
.
![{\displaystyle \mathrm {X(e^{j\omega })\equiv {\mathcal {F}}\{x(n)\}\ {\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}\sum _{n=-\infty }^{\infty }x(n)\ e^{-j\omega n}} }](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ead240740c78145db36922dc995013e104d99033)
- A equação de síntese
- É uma transformação de um domínio de uma variável complexa
de frequência contínua periódica em uma variável real
continua.
.
.
![{\displaystyle \mathrm {x(n)\equiv {\mathcal {F}}^{-1}\{X(e^{j\omega })\}\ {\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}{\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }X(e^{j\omega })\ e^{j\omega n}\operatorname {d} \omega } }](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d785cc49f67a3c4b49f32bf8a2b15585b819309f)
Transformada de Discreta de Fourier (TDF)
- O sinal
é discreto no tempo, e o sinal
é discreto e periódico em
.
- A equação de análise
- É uma transformação de um domínio de uma variável real
de tempo discreto em uma variável complexa
frequência discreta periódica.
.
.
![{\displaystyle \mathrm {X(k)\equiv {\mathcal {F}}\{x(n)\}\ {\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}\sum _{k=0}^{N-1}x(n)\ e^{-j(2\pi /N)kn}} }](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6dc79711beef4ae12229d6faae92a736a00a97ae)
, para ![{\displaystyle \mathrm {0\leq k\leq N-1} \ }](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/62546c1f2d40d8f67fd5811c6dc4c1026e4b932f)
- A equação de síntese
- É uma transformação de um domínio de uma variável complexa
de frequência discreta periódica em uma variável real
discreta.
.
.
![{\displaystyle \mathrm {x(n)\equiv {\mathcal {F}}^{-1}\{X(k)\}\ {\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}{\frac {1}{N}}\sum _{n=0}^{N-1}X(k)\ e^{j(2\pi /N)kn}} }](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d1845f7226b995d35f80700db19785c36f88419)
, para ![{\displaystyle \mathrm {0\leq n\leq N-1} \ }](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca3b6990577482ad48c8d10dc2961a3c7107f902)
Obtenção da TDF a partir da amostragem da TFTD
Sinais discretos no tempo podem ser representados pela sua TFTD, que é uma função continua periódica em
de
:
![{\displaystyle \mathrm {X(e^{j\omega })=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x(n)e^{-j\omega n}} }](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5b4de9a45e47a991d44a93387985800a43014ab1)
Para que a mesma possa ser utilizada no processamento de sinais digitais é necessário que a variável frequência seja também discreta. Se amostrarmos uniformemente a frequência
em N amostras entre 0 e
é possível obter a TDF (ou DFT - Discrete Fourier Transform). Assim se tomarmos N frequências
com
, and
, obtemos o espectro amostrado uniformemente:
![{\displaystyle \mathrm {X'(e^{j\omega })=X(e^{j\omega })\sum _{k=-\infty }^{\infty }\delta \left(\omega -{\frac {2\pi }{N}}k\right)} }](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a34649cb0701d9270577923828c4f0498d2f27cc)
.
O sinal equivalente no tempo pode ser obtido aplicando a transformada inversa e a convolução:
![{\displaystyle \mathrm {x'(n)={\mathcal {F}}^{-1}\{X'(e^{j\omega })\}=x(n)*\left({\frac {N}{2\pi }}\sum _{p=-\infty }^{\infty }\delta (n-Np)\right)={\frac {N}{2\pi }}\sum _{p=-\infty }^{\infty }x(n-Np)} }](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/32984501634fb57348df80435ecb090f3e741709)
.
O que mostra que o sinal Esse sinal
são repetições periódicas (com período N) do sinal discreto
original.
- Note que N o período de repetição do sinal
é o mesmo período de repetição das N amostras da TFTD
original.
- Se o comprimento L o sinal do
for maior que N o período de repetição do sinal
, haverá sobreposição das amostras no tempo (time aliasing), e não será possível recuperar o sinal original.
- Por outro lado, se
então
é a repetição periódica exata de
.
![{\displaystyle \mathrm {x(n)={\frac {2\pi }{N}}x'(n)} }](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72bfe93c6cbb544f2ea384d233b13b86dde2fbab)
, para
.
Portanto, é possível recuperar as amostras do sinal digital no tempo
a partir das suas amostras digitais na frequência, desde que o período de repetição das N amostras de frequencia seja maior ou igual ao comprimento L do sinal no tempo.