Mudanças entre as edições de "I - Definição"
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<math>\int_0^\pi sin(\alpha)\,d\alpha=[-cos(\alpha)]\Bigg|_0^\pi=2</math> | <math>\int_0^\pi sin(\alpha)\,d\alpha=[-cos(\alpha)]\Bigg|_0^\pi=2</math> | ||
+ | <math>\frac{1}{R} int_0^R \frac{2mL}{\sqrt{L^2+r^2}^3},dr</math> |
Edição das 15h52min de 15 de agosto de 2008
Consideremos uma função y = f(x) definida no plano xy e vamos admitir que uma reta intercepte y = f(x) em um ponto P[c, f(c)] fixo e em um ponto . A reta que intercepta dois pontos de uma curva é denominada reta secante. A inclinação ou coeficiente angular m desta reta secante pode ser dada por
Agora, admitindo o ponto P fixo, iremos rotacionar a reta secante até que ela tangencie a curva em um único ponto, neste caso o ponto P. Ao rotacionar a reta secante, os valores de (x,y) correspondentes ao ponto Q vão se aproximando dos valores de (x,y) correspondentes ao ponto P. Esta condição limite é também aplicável ao valor da inclinação da reta secante, ou seja, à medida que Q se aproxima de P, o valor da inclinação da reta secante vai se aproximando do valor da inclinação da reta tangente.
Analisando a última figura, é possível notar que à medida que a reta secante vai se aproximando da reta tangente, a porção Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Delta x} vai assumindo valores cada vez menores, ou seja, tende a zero.
Então a inclinação da reta tangente pode ser definda pelo valor limite das inclinações das retas tangentes qunado Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Delta x} tende a zero, ou seja,
Exemplo: Encontre o coeficiente angular da reta tangenteao gráfico de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(x) = x^2 + 1} nos pontos (0,1) e (-1,2).
Solução: Aplicando a definição recém obtida e admitindo x = c, temos:
* Para o ponto (0,1):
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle = \lim\limits_{\Delta x\to 0}\frac{(x + \Delta x)^2 + 1 - x^2 - 1}{\Delta x}}
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle = \lim\limits_{\Delta x\to 0}\frac{x^2 + 2x(\Delta x) + (\Delta x)^2 + 1 - x^2 - 1}{\Delta x}}
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle = \lim\limits_{\Delta x\to 0}\frac{2x(\Delta x) + (\Delta x)^2}{\Delta x}}
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle = \lim\limits_{\Delta x\to 0} 2x + \Delta x = 2x = 2(0) = 0.}
* Para o ponto (-1,2):
Obs.: Você deve ter notado que para o ponto (-1,2) não foi preciso desenvolver todo o cálculo do limite, visto que a expressão para o coeficiente angular já tinha sido obtida para calcular o valor no ponto (0,1) - m = 2x.
Este exemplo foi aplicado a uma função não-linear, mas nada impede de esta definição ser aplicada a outros tipos de funções.
Através do cálculo do limite no exemplo dado, foi obtida a função linear f(x) = 2x que tangencia a curva em qualquer ponto no plano x,y. Dizemos que esta reta é uma função derivada da função , portanto, a definição de inclinação da reta tangente à curva em um ponto (x,y) arbitrário pode ser aplicada às funções derivadas.
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{dy}{dx} = \lim\limits_{\Delta x\to 0}\frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}.}
Exemplo: Encontre a derivada de
Solução: