Edição atual tal como às 14h23min de 3 de outubro de 2016

1 Análise Nodal

Na aula anterior estudamos circuitos resistivos utilizando análise nodal. Agora vamos transformar as resistências em condutâncias e resolver esses mesmos circuitos da mesma forma, só que retirando a questão das frações das equações.

Nota: Um circuito com três nós terá duas tensões incógnitas e duas equações; um circuito com dez nós terá nove tensões desconhecidas e nove equações; um circuito com N nós terá N-1 tensões incógnitas e N-1 equações.

2 Condutância

Vamos abrir um parênteses para falar sobre condutância. A ideia é que os circuitos fiquem em "termos" de multiplicação e não de divisão. A Figura 1 mostra um exemplo que permite escrever as equações de nós por inspeção direta em função da tensão dos nós.

Figura 1 - Exemplos de circuito resistivo x condutivo.

$V = V_{1} - V_{2}$

$i = \frac{V}{R} = \frac{V_{1} - V_{2}}{R}$ ou $i = \frac{V}{R} = G (V_{1} - V_{2})$

Fórmula matemática da condutância

Para calcular a condutância de um determinado condutor, temos que saber o valor da sua resistência. Assim, e sabendo que a condutância é o inverso da resistência, chegamos à seguinte fórmula:

$G = \frac{1}{R}$

Se tivermos por exemplo, um condutor em que a resistência seja igual a 10Ω, substituímos o R de resistência por 10Ω e obtemos o seguinte cálculo:

Então

$G = \frac{1}{R} = \frac{1}{10} = 0, 1 S (s i e m e n s)$

Logo com este cálculo concluímos que um condutor com uma resistência de 10Ω, tem uma condutância de 0,1 siemens.

2.1 Exemplo 1

Tomemos esse exemplo para o qual faremos a mesma análise do dos exercícios anteriores. O exemplo que se segue é de um circuito com um único par de nós possuindo também fontes dependentes:

Figura 1 - Aplicação da lei dos nós a um circuito com fontes dependentes.

Como se pode verificar, a tensão $V_{1}$ aplicada sobre a condutância de 5 está também aplicada sobre todos os elementos do circuito. Considerando que a corrente sobre as condutâncias estão com a seta dirigida para o nó inferior e aplicamos a lei dos nós.

$5 V_{1} - 0, 003 + 6 V_{1} - 20 V_{1} + 10 V_{1} + 0, 013 = 0$

$1 V_{1} = - 0, 003 - 0, 013 \to V_{1} = - 0, 01 V$

Podemos agora determinar as correntes sobre as condutâncias assim como a potência fornecida ou consumida por cada um dos elementos.

Na condutância 5

$i_{5} = 5 V_{1} = - 0, 05 A$

$P_{5} = 5 V_{1}^{2} = 5 (- 0, 01)^{2} = 5.1 0^{- 4} W$

Na condutância 6

$i_{6} = 6 V_{1} = - 0, 06 A$

$P_{6} = 6 V_{1}^{2} = 5 (- 0, 01)^{2} = 6.1 0^{- 4} W$

Na condutância 10

$i_{10} = 10 V_{1} = - 0, 1 A$

$P_{10} = 10 V_{1}^{2} = 10 (- 0, 01)^{2} = 1.1 0^{- 3} W$

Potência fornecida pela fonte de 3mA

$P_{f 3 m a} = 0, 003 V_{1} = - 0, 3.1 0^{- 4} W; P_{a} = 0, 3.1 0^{- 4} W$

Potência fornecida pela fonte de 13mA

$P_{f 13 m a} = - 0, 013 V_{1} = - 1, 3.1 0^{- 4} W$

Potência fornecida pela fonte dependente

$P_{f 20 V x} = 20 V_{1} . V_{1} = 20 V_{1}^{2} = 20 (- 0, 01)^{2} = 20.1 0^{- 4} W$

Por último, fazemos o balanço das potências

$\sum_{}^{} P_{f} = 1, 3.1 0^{- 4} + 20.1 0^{- 4} = 21, 3.1 0^{- 4} W$

$\sum_{}^{} P_{a} = 5.1 0^{- 4} + 6.1 0^{- 4} + 0, 3.1 0^{- 4} = 21, 3.1 0^{- 4} W$

3 Exemplo 2

Utilizando análise nodal encontre as tensões nos nós do circuito e encontre as correntes em todos os resistores.

Resolvendo o Circuito

Definindo os nós do circuito ( $V_{1} e V_{2}$ ).

Percebe-se que a condutância de 2 está curtocircuitada, portanto, não será considerada no sistema.

Outra definição importante é que devemos atribuir o sinal da corrente que chega e que sai do nó. Podendo ser positivas as correntes que chegam no nó e negativas as correntes que saem do nó. Lembrando, não há nenhum problema em arbitrar essas corrente de forma contrária, tendo como resultados os valores com troca de sinal.

Solução
...

4 Exercícios

[1] Ache as tensões dos nós $V_{1} e V_{2}$

Solução

Nó 1

$(2 + 4) v_{1} - 4 v_{2} = 20 + 18$

$6 v_{1} - 4 v_{2} = 38$

Nó 2

$(4 + 7) v_{2} - 4 v_{1} = - 18 - 24$

$- 4 v_{1} + 11 v_{2} = - 42$

Resultado

$V_{1} = 5 V$

$V_{2} = - 2 V$

[2] Ache as tensões dos nós $V_{1}, V_{2} e V_{3}$

Solução

Resultado

$V_{1} = - 2$

$V_{2} = 4 V$

$V_{2} = 6 V$

5 Referências

[1] http://www.decom.fee.unicamp.br/~baldini/EA513/Cap4.pdf

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@@ Linha 1: / Linha 1: @@
+=Análise Nodal=
+Na aula anterior estudamos circuitos resistivos utilizando análise nodal. Agora vamos transformar as resistências em condutâncias e resolver esses mesmos circuitos da mesma forma, só que retirando a questão das '''frações''' das equações.
+<blockquote style="background: #FFEEFF; border: 1px solid red; margin-left: 0px; margin-right: 0px; padding: 1em;">
+Nota: Um circuito com três nós terá duas tensões incógnitas e duas equações; um circuito
+com dez nós terá nove tensões desconhecidas e nove equações; um circuito com N nós terá N-1
+tensões incógnitas e N-1 equações.
+</blockquote>
+=Condutância=
+Vamos abrir um parênteses para falar sobre condutância. A ideia é que os circuitos fiquem em "termos" de multiplicação e não de divisão. A Figura 1 mostra um exemplo que permite escrever as equações de nós por inspeção direta em função da tensão dos nós.
+[[Imagem:fig57_CEL18702.png|center|300px]]
+<center>
+Figura 1 - Exemplos de circuito resistivo x condutivo.
+</center>
+<math>V=V_1-V_2\,</math>
+<math>i=\frac{V}{R} =\frac{V_1-V_2}{R}\,</math> ou <math>i=\frac{V}{R}=G(V_1-V_2)\,</math>
+;Fórmula matemática da condutância:
+Para calcular a condutância de um determinado condutor, temos que saber o valor da sua resistência. Assim, e sabendo que a condutância é o inverso da resistência, chegamos à seguinte fórmula:
+<math>G=\frac{1}{R}\,</math>
+Se tivermos por exemplo, um condutor em que a resistência seja igual a 10Ω, substituímos o R de resistência por 10Ω e obtemos o seguinte cálculo:
+;Então:
+<math>G=\frac{1}{R}=\frac{1}{10}=0,1 S (siemens) \,</math>
+Logo com este cálculo concluímos que um condutor com uma resistência de 10Ω, tem uma condutância de 0,1 siemens.
+==Exemplo 1==
+Tomemos esse exemplo para o qual faremos a mesma análise do dos exercícios anteriores. O
+exemplo que se segue é de um circuito com um único par de nós possuindo também fontes
+dependentes:
+[[Imagem:fig31_CEL18702.png|center|450px]]
+<center>
+Figura 1 - Aplicação da lei dos nós a um circuito com fontes dependentes.
+</center>
+Como se pode verificar, a tensão <math>V_1</math> aplicada sobre a condutância de 5 está também aplicada
+sobre todos os elementos do circuito. Considerando que a corrente sobre as condutâncias estão com a
+seta dirigida para o nó inferior e aplicamos a lei dos nós.
+<math>5V_1-0,003+6V_1-20V_1+10V_1+0,013=0\,</math>
+<math>1V_1=-0,003-0,013\, \to \, V_1=-0,01V</math>
+Podemos agora determinar as correntes sobre as condutâncias assim como a potência fornecida
+ou consumida por cada um dos elementos.
+;Na condutância 5
+<math>i_5 = 5V_1=-0,05A\,</math>
+<math>P_5 = 5V_1^2=5(-0,01)^2=5.10^{-4}W</math>
+;Na condutância 6
+<math>i_6 = 6V_1=-0,06A\,</math>
+<math>P_6 = 6V_1^2=5(-0,01)^2=6.10^{-4}W</math>
+;Na condutância 10
+<math>i_{10} = 10V_1=-0,1A\,</math>
+<math>P_{10} = 10V_1^2=10(-0,01)^2=1.10^{-3}W</math>
+;Potência fornecida pela fonte de 3mA:
+<math>P_{f3ma} = 0,003V_1 =-0,3.10^{-4}W \, ; \,P_a=0,3.10^{-4}W</math>
+;Potência fornecida pela fonte de 13mA:
+<math>P_{f13ma} = -0,013V_1 =-1,3.10^{-4}W\,</math>
+;Potência fornecida pela fonte dependente:
+<math>P_{f20Vx} = 20V_1.V_1 = 20V_1^2=20(-0,01)^2=20.10^{-4}W\,</math>
+;Por último, fazemos o balanço das potências:
+<math>
+\sum_{\,}^{\,} P_f = 1,3.10^{-4}+20.10^{-4}=21,3.10^{-4}W
+</math>
+<math>
+\sum_{\,}^{\,} P_a = 5.10^{-4}+6.10^{-4}+0,3.10^{-4}=21,3.10^{-4}W
+</math>
+=Exemplo 2=
+Utilizando análise nodal encontre as tensões nos nós do circuito e encontre as correntes em todos os resistores.
+[[Imagem:fig36_CEL18702.png|center|450px]]
+;Resolvendo o Circuito
+;Definindo os nós do circuito (<math>V_1\,e\,V_2</math>).
+[[Imagem:fig36b_CEL18702.png|center|450px]]
+Percebe-se que a condutância de 2 está curtocircuitada, portanto, não será considerada no sistema.
+Outra definição importante é que devemos atribuir o sinal da corrente que chega e que sai do nó. Podendo ser '''positivas''' as correntes que chegam no nó e '''negativas''' as correntes que saem do nó. Lembrando, não há nenhum problema em arbitrar essas corrente de forma contrária, tendo como resultados os valores com troca de sinal.
+{{collapse top|Solução}}
+...
+{{collapse bottom}}
+=Exercícios=
+[1] Ache as tensões dos nós <math>V_1\,e\,V_2</math>
+[[Imagem:fig37_CEL18702.png|center|450px]]
+{{collapse top|Solução}}
+;Nó 1
+<math>(2+4)v_1-4v_2=20+18\,</math>
+<math>6v_1-4v_2=38\,</math>
+;Nó 2
+<math>(4+7)v_2-4v_1=-18-24\,</math>
+<math>-4v_1+11v_2=-42\,</math>
+;Resultado:
+<math>V_1=5V\,</math>
+<math>V_2=-2V\,</math>
+{{collapse bottom}}
+[2] Ache as tensões dos nós <math>V_1\,,\,V_2\,e\,V_3</math>
+[[Imagem:fig38_CEL18702.png|center|450px]]
+{{collapse top|Solução}}
+;Resultado:
+<math>V_1=-2\,</math>
+<math>V_2=4V\,</math>
+<math>V_2=6V\,</math>
+{{collapse bottom}}
+=Referências=
+[1] http://www.decom.fee.unicamp.br/~baldini/EA513/Cap4.pdf

CEL18702 2016 2 AULA07: mudanças entre as edições

Edição atual tal como às 14h23min de 3 de outubro de 2016

Índice

1 Análise Nodal

2 Condutância

2.1 Exemplo 1

3 Exemplo 2

4 Exercícios

5 Referências

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1 Análise Nodal

2 Condutância

2.1 Exemplo 1

3 Exemplo 2

4 Exercícios

5 Referências

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