VSWR, Linha sem perdas

Na linha de transmissão a propagação das ondas incidente e refletida cria um padrão de onda estacionária (figura 1).

figura 1: onda estacionária para uma linha sem perdas e com $\Gamma _{L}=0,5$

fonte: WENTWORTH, Stuart M. Eletromagnetismo Aplicado: Abordagem Antecipada das Linhas de Transmissão. Bookman, 2009.

O parâmetro utilizado para medir ou indicar a "quantidade" de onda estacionário ou de reflexão de onda numa linha de transmissão é a relação de onda estacionária (VSWR ou ROTE). O qual é definido como a razão entre as amplitudes máxima e a mínima da onda estacionária entre um pico e um vale consecutivo:

$VSWR={|V(z)_{max}| \over |V(z)_{min}|}$

$VSWR={|V_{max}^{+}+V_{max}^{-}| \over |V_{max}^{+}-V_{max}^{-}|}$

$VSWR={|V_{o}^{+}+V_{o}^{-}| \over |V_{o}^{+}-V_{o}^{-}|}$ (1)

substituindo $V_{o}^{-}$ por $\Gamma V_{o}^{+}$ temos:

$VSWR={|V_{o}^{+}+\Gamma V_{o}^{+}| \over |V_{o}^{+}-\Gamma V_{o}^{+}|}$

$VSWR={1+|\Gamma | \over 1-|\Gamma |}$

Linha sem perdas

Muitas linhas de transmissão são formadas por bons condutores e isolantes. Essas linhas apresentam valores de R e G muito pequenos e como:

$R<<jwL=>R+jwL=jwL$

$G<<jwC=>G+jwC=jwC$

Ao fazermos essas aproximações estamos considerando que a linha não tem perdas, como podemos observar no coeficiente de propagação (γ)

$\gamma ={\sqrt {(R+jwL)(G+jwC)}}$

$\gamma ={\sqrt {(jw)^{2}LC)}}$

$\gamma =jw{\sqrt {LC)}}$ (2)

como $\gamma =\alpha +j\beta$ e a equação (2) não apresenta parte real $\alpha =0$.

Impedância característica de uma linha sem perdas

$Z_{o}={\sqrt {R+jwL \over G+jwC}}$

$Z_{o}={\sqrt {jwL \over jwC}}$

$Z_{o}={\sqrt {L \over C}}$ a impedância característica da uma linha sem perdas é resistiva !!!

Potência incidente de uma linha sem perdas

Uma vez que $Z_{o}$ é resistiva e $\alpha =0$, a potência incidente de uma linha sem perdas passa a ser:

$P(z)^{+}={V_{o}^{+2} \over Z_{o}}e^{-2\alpha }cos\theta$

$P(z)^{+}={V_{o}^{+2} \over Z_{o}}$

Impedância de entrada, $Z_{i}n$ na linha sem perdas

Em relação a $Z_{in}$ temos:

$Z_{in(-l)}=Z_{o}{Z_{L}(e^{\gamma l}+e^{-\gamma l})+Z_{o}(e^{\gamma l}-e^{-\gamma l}) \over Z_{L}(e^{\gamma l}-e^{-\gamma l})+Z_{o}(e^{\gamma l}+e^{-\gamma l})}$

$Z_{in}=Z_{o}{Z_{L}((e^{\alpha l}e^{j\beta l})+(e^{-\alpha l}e^{-j\beta l}))+Z_{o}((e^{\alpha l}e^{j\beta l})-(e^{-\alpha l}e^{-j\beta l})) \over Z_{L}((e^{\alpha l}e^{j\beta l})-(e^{-\alpha l}e^{-j\beta l}))+Z_{o}((e^{\alpha l}e^{j\beta l})+(e^{-\alpha l}e^{-j\beta l}))}$

como α = 0:

$Z_{in}=Z_{o}{Z_{L}(e^{j\beta l}+e^{-j\beta l})+Z_{o}(e^{j\beta l}-e^{-j\beta l}) \over Z_{L}(e^{j\beta l}-e^{-j\beta l})+Z_{o}(e^{j\beta l}+e^{-j\beta l})}$

e da identidade de Euler:

$e^{-j\beta l}=cos\beta l-jsen\beta l$

$e^{j\beta z}=cos\beta l+jsen\beta l$

$Z_{in(z)}=Z_{o}{Z_{L}(cos\beta l{\color {red}+jsen\beta l}+cos\beta l{\color {red}-jsen\beta l)}+Z_{o}({\color {red}cos\beta l}+jsen\beta l{\color {red}-cos\beta l}+jsen\beta l) \over Z_{L}({\color {red}cos\beta l}+jsen\beta l{\color {red}-cos\beta l}+jsen\beta l)+Z_{o}(cos\beta l{\color {red}+jsen\beta l}+cos\beta l-{\color {red}jsen\beta l)}}$

$Z_{in}=Z_{o}{Z_{L}(cos\beta l)+Z_{o}(jsen\beta l) \over Z_{L}(jsen\beta l)+Z_{o}(cos\beta l)}$

dividindo numerador e denominador por $cos\beta l$:

$Z_{in}=Z_{o}{Z_{L}+jZ_{o}(tan\beta l) \over Z_{o}+jZ_{L}(tan\beta l)}$