VSWR, Linha sem perdas

Na linha de transmissão a propagação das ondas incidente e refletida cria um padrão de onda estacionária (figura 1).

figura 1: onda estacionária para uma linha sem perdas e com $\Gamma _{L}=0,5$

fonte: WENTWORTH, Stuart M. Eletromagnetismo Aplicado: Abordagem Antecipada das Linhas de Transmissão. Bookman, 2009.

O parâmetro utilizado para medir ou indicar a "quantidade" de onda estacionário ou de reflexão de onda numa linha de transmissão é a relação de onda estacionária (VSWR ou ROTE). O qual é definido como a razão entre as amplitudes máxima e a mínima da onda estacionária entre um pico e um vale consecutivo:

$VSWR={|V(z)_{max}| \over |V(z)_{min}|}$

$VSWR={|V_{max}^{+}+V_{max}^{-}| \over |V_{max}^{+}-V_{max}^{-}|}$

$VSWR={|V_{o}^{+}+V_{o}^{-}| \over |V_{o}^{+}-V_{o}^{-}|}$ (1)

substituindo $V_{o}^{-}$ por $\Gamma V_{o}^{+}$ temos:

$VSWR={|V_{o}^{+}+\Gamma V_{o}^{+}| \over |V_{o}^{+}-\Gamma V_{o}^{+}|}$

$VSWR={1+|\Gamma | \over 1-|\Gamma |}$

Linha sem perdas

Muitas linhas de transmissão são formadas por bons condutores e isolantes. Essas linhas apresentam valores de R e G muito pequenos e como:

$R<<jwL=>R+jwL=jwL$

$G<<jwC=>G+jwC=jwC$

Ao fazermos essas aproximações estamos considerando que a linha não tem perdas, como podemos observar no coeficiente de propagação (γ)

$\gamma ={\sqrt {(R+jwL)(G+jwC)}}$

$\gamma ={\sqrt {(jw)^{2}LC)}}$

$\gamma =jw{\sqrt {LC)}}$ (2)

como $\gamma =\alpha +j\beta$ e a equação (2) não apresenta parte real $\alpha =0$.

Impedância característica de uma linha sem perdas

$Z_{o}={\sqrt {R+jwL \over G+jwC}}$

$Z_{o}={\sqrt {jwL \over jwC}}$

$Z_{o}={\sqrt {L \over C}}$ a impedância característica da uma linha sem perdas é resistiva !!!

Potência incidente de uma linha sem perdas

Uma vez que $Z_{o}$ é resistiva e $\alpha =0$, a potência incidente de uma linha sem perdas passa a ser:

$P(z)^{+}={V_{o}^{+2} \over Z_{o}}e^{-2\alpha }cos\theta$

$P(z)^{+}={V_{o}^{+2} \over Z_{o}}$

Impedância de entrada, $Z_{i}n$ na linha sem perdas

Em relação a $Z_{i}n$ temos:

$Z_{in(z)}=Z_{o}{Z_{L}(e^{-\gamma z}+e^{\gamma z})+Z_{o}(e^{-\gamma z}-e^{\gamma z}) \over Z_{L}(e^{-\gamma z}-e^{\gamma z})+Z_{o}(e^{-\gamma z}+e^{\gamma z})}$

$Z_{in(z)}=Z_{o}{Z_{L}((e^{-\alpha z}e^{-j\beta z})+(e^{\alpha z}e^{j\beta z}))+Z_{o}((e^{-\alpha z}e^{-j\beta z})-(e^{\alpha z}e^{j\beta z})) \over Z_{L}((e^{-\alpha z}e^{-j\beta z})-(e^{\alpha z}e^{j\beta z}))+Z_{o}((e^{-\alpha z}e^{-j\beta z})+(e^{\alpha z}e^{j\beta z}))}$

como α = 0:

$Z_{in(z)}=Z_{o}{Z_{L}(e^{-j\beta z}+e^{j\beta z})+Z_{o}(e^{-j\beta z}-e^{j\beta z}) \over Z_{L}(e^{-j\beta z}-e^{j\beta z})+Z_{o}(e^{-j\beta z}+e^{j\beta z})}$

e da identidade de Euler:

$e^{-j\beta z}=cos\beta z-jsen\beta z$

$e^{j\beta z}=cos\beta z+jsen\beta z$

$Z_{in(z)}=Z_{o}{Z_{L}(cos\beta z{\color {red}-jsen\beta z}+cos\beta z{\color {red}+jsen\beta z)}+Z_{o}({\color {red}cos\beta z}-jsen\beta z{\color {red}-cos\beta z}-jsen\beta z) \over Z_{L}({\color {red}cos\beta z}-jsen\beta z{\color {red}-cos\beta z}-jsen\beta z)+Z_{o}(cos\beta z{\color {red}-jsen\beta z}+cos\beta z+{\color {red}jsen\beta z)}}$

$Z_{in(z)}=Z_{o}{Z_{L}(cos\beta z)-Z_{o}(jsen\beta z) \over -Z_{L}(jsen\beta z)+Z_{o}(cos\beta z)}$

dividindo numerador e denominador por cos βz:

$Z_{in(z)}=Z_{o}{Z_{L}+jZ_{o}(tan\beta z) \over Z_{o}+jZ_{L}(tan\beta z)}$