Mudanças entre as edições de "Teoria de números/Máximo divisor comum"
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(Criou página com '{{Demonstração |Dado um número inteiro <math>n\,\!</math>, vamos mostrar por indução que <math>n=p_1\cdot p_2 \cdot \ldots \cdot p_r\,\!</math>, ...') |
(Sem diferença)
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Edição das 10h48min de 8 de novembro de 2011
Demonstração |
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Dado um número inteiro , vamos mostrar por indução que , com cada sendo um número primo.
De fato, para , o teorema é válido, pois basta tomar . Se , e for primo, a afirmação é obviamente verdadeira, pois é suficiente escolher . Considere então que é composto, e que a hipótese de indução é que todo número menor que admite decomposição em fatores primos. Logo, existem inteiros e tais que . Além disso, e são menores que . Pela hipótese de indução, tem-se
com cada e cada sendo um número primo, donde segue que: Assim, basta renomear os primos e como , e tem-se o teorema. |