Predefinição:DiegoMedeiros-PSD20706

Informações da disciplina

• Professor: Diego da Silva de Medeiros
• Plano de Ensino 2017-2

Atividades previstas - Clicar no "+" para expandir

Aula Data Horas Conteúdo Recursos 01 27/07 - qui 2 Apresentação da disciplina / Tutorial de Matlab 02 01/08 - ter 2 Introdução à Sinais em Tempo Discreto E Funções Úteis 03 08/08 - ter 2 Sistemas em tempo discreto / Solução de Sistemas / Resposta de Entrada Nula 04 15/08 - ter 2 Resposta ao Impulso e Resposta de Estado Nulo / Resposta Total e Estabilidade 05 22/08 - ter 2 Aula de dúvidas 06 29/08 - ter 2 Definição da Transformada Z Direta e Inversa / Propriedades da Transformada Z 07 05/09 - ter 2 Solução de sistemas usando a Transformada Z 08 12/09 - ter 2 Resposta em Frequência de Sistemas em Tempo Discreto 09 19/09 - ter 2 Laboratório de Transformada Z 10 26/09 - ter 2 Aula de dúvidas 11 03/10 - ter 2 Série de Fourier de Tempo Discreto 12 10/10 - ter 2 Transformada de Fourier de Tempo Discreto - Discussão sobre a Avaliação 3 - Trabalho sobre Transformada de Fourier 13 17/10 - ter 2 Dúvidas sobre o trabalho de Transformada de Fourier 14 24/10 - ter 2 Laboratório de Processamento Digital de Imagens 15 31/10 - ter 2 Introdução aos Filtros Digitais 16 07/11 - ter 2 Filtros FIR e IIR 17 14/11 - ter 2 Filtros FIR janelados 18 21/11 - ter 2 Avaliação final da disciplina 19 28/11 - ter 2 Aula livre para desenvolvimento da avaliação final da disciplina 20 05/12 - ter 2 Aula livre para desenvolvimento da avaliação final da disciplina 21 12/12 - ter Sem aula devido ao limite de 40 horas semanais (estudo dirigido) 22 19/12 - ter Sem aula devido ao limite de 40 horas semanais (estudo dirigido) TOTAL 40

Planos de ensino anteriores - Clicar no "+" para expandir

Atividades previstas 2016-2 - Clicar no "+" para expandir Aula Data Horas Conteúdo Recursos 01 10/08 - qua 2 Apresentação da disciplina e Tutorial de Matlab 02 16/08 - ter 2 Introdução à Sinais em Tempo Discreto e Funções Úteis 03 17/08 - qua 2 Sistemas em tempo discreto 04 23/08 - ter 2 Solução de Sistemas e Resposta de Entrada Nula 05 24/08 - qua 2 Resposta ao Impulso e Resposta de Estado Nulo 06 30/08 - ter 2 Resposta Total e Estabilidade 07 31/08 - qua 2 Aula de dúvidas sobre sinais e sistemas de tempo discreto 08 06/09 - ter 2 Avaliação 1 - Sinais e sistemas de tempo discreto 09 07/09 - qua 0 Feriado - Independência 10 13/09 - ter 2 Definição da Transformada Z Direta e Inversa 11 14/09 - qua 2 Propriedades da Transformada Z 12 20/09 - ter 2 Solução de sistemas usando a Transformada Z 13 21/09 - qua 2 Aula de dúvidas sobre a transformada Z 14 27/09 - ter 2 Resposta em Frequência de Sistemas em Tempo Discreto 15 28/09 - qua 2 Laboratório de Transformada Z 16 04/10 - ter 2 Avaliação 2 - Transformada Z 17 05/10 - qua 2 Série de Fourier de Tempo Discreto 18 11/10 - ter 2 Transformada de Fourier de Tempo Discreto - Discussão sobre a Avaliação 3 - Trabalho sobre Transformada de Fourier 19 12/10 - qua 0 Feriado - Nossa senhora aparecida 20 18/10 - ter 2 Laboratório de Processamento Digital de Imagens 21 19/10 - qua 2 Introdução aos Filtros Digitais 22 25/10 - ter 2 Filtros IIR 23 26/10 - qua 2 Filtros IIR 24 01/11 - ter 2 Filtros IIR 25 02/11 - qua 0 Feriado - Finados 26 08/11 - ter 2 Filtros IIR 27 09/11 - qua 2 Avaliação 4 - Trabalho sobre Filtros IIR 28 15/11 - ter 0 Feriado - Proclamação da república 29 16/11 - qua 2 Aula livre para desenvolvimento da avaliação 4 30 22/11 - ter 2 Aula livre para desenvolvimento da avaliação 4 31 23/11 - qua 2 Filtros FIR e IIR 32 29/11 - ter 2 Filtros FIR janelados 33 30/11 - qua 2 Laboratório sobre filtros FIR 34 06/12 - ter 2 Avaliação final da disciplina 35 07/12 - qua 2 Aula livre para desenvolvimento da avaliação final da disciplina 36 13/12 - ter 2 Aula livre para desenvolvimento da avaliação final da disciplina 37 14/12 - qua 2 Aula livre para desenvolvimento da avaliação final da disciplina 38 20/12 - ter 2 Recuperações finais TOTAL 68 Plano de Ensino 2016-1 Atividades previstas 2016-1 - Clicar no "+" para expandir Aula Data Horas Conteúdo Recursos 01 24/03 - quinta-feira 2 Apresentação da disciplina 02 28/03 - segunda-feira 2 Tutorial de Matlab e Introdução à Sinais em Tempo Discreto 03 31/03 - quinta-feira 2 Funções Úteis 04 02/04 - sábado 2 Sistemas em tempo discreto 05 04/04 - segunda-feira 2 Solução de Sistemas e Resposta de Entrada Nula 06 07/04 - quinta-feira 2 Resposta ao Impulso e Resposta de Estado Nulo 07 11/04 - segunda-feira 2 Resposta Total e Estabilidade 08 14/04 - quinta-feira 2 Aula de dúvidas sobre sinais e sistemas de tempo discreto 09 18/04 - segunda-feira 2 Avaliação 1 - Sinais e sistemas de tempo discreto 10 21/04 - quinta-feira 0 Feriado nacional - Tiradentes 11 25/04 - segunda-feira 2 Definição da Transformada Z Direta e Inversa 12 28/04 - quinta-feira 2 Propriedades da Transformada Z 13 02/05 - segunda-feira 2 Solução de sistemas usando a Transformada Z 14 05/05 - quinta-feira 2 Aula de dúvidas sobre a transformada Z 15 09/05 - segunda-feira 2 Resposta em Frequência de Sistemas em Tempo Discreto 16 12/05 - quinta-feira 2 Laboratório de Transformada Z 17 16/05 - segunda-feira 2 Avaliação 2 - Transformada Z 18 19/05 - quinta-feira 2 Série de Fourier de Tempo Discreto 19 23/05 - segunda-feira 2 Transformada de Fourier de Tempo Discreto - Discussão sobre a Avaliação 3 - Trabalho sobre Transformada de Fourier 20 26/05 - quinta-feira 0 Feriado nacional - Corpus Christi 21 30/05 - segunda-feira 2 Laboratório de Processamento Digital de Imagens 22 02/06 - quinta-feira 2 Introdução aos Filtros Digitais 23 06/06 - segunda-feira 2 Filtros IIR 24 09/06 - quinta-feira 2 Filtros IIR 25 13/06 - segunda-feira 2 Filtros IIR 26 16/06 - quinta-feira 2 Filtros IIR 27 20/06 - segunda-feira 2 Filtros IIR 28 23/06 - quinta-feira 2 Avaliação 4 - Trabalho sobre Filtros IIR 29 27/06 - segunda-feira 2 Aula livre para desenvolvimento da avaliação 4 30 30/06 - quinta-feira 2 Aula livre para desenvolvimento da avaliação 4 31 02/07 - sábado 2 Aula livre para desenvolvimento da avaliação 4 32 04/07 - segunda-feira 2 Filtros FIR e IIR 33 07/07 - quinta-feira 2 Filtros FIR janelados 34 11/07 - segunda-feira 2 Laboratório sobre filtros FIR 35 14/07 - quinta-feira 2 Avaliação final da disciplina 36 18/07 - segunda-feira 2 Aula livre para desenvolvimento da avaliação final da disciplina 37 21/07 - quinta-feira 2 Aula livre para desenvolvimento da avaliação final da disciplina 38 25/07 - segunda-feira 2 Aula livre para desenvolvimento da avaliação final da disciplina 39 28/07 - quinta-feira 2 Aula livre para desenvolvimento da avaliação final da disciplina 40 04/08 - quinta-feira 2 Recuperações finais TOTAL 76 Plano de Ensino 2014-2 Plano de Ensino 2014-1 Plano de Ensino 2013-2

Diário de aula

2017-2 - Clicar no "+" para expandir

Aula Data Horas Conteúdo Recursos 01 27/07 - qui 2 Apresentação da disciplina / Tutorial de Matlab 02 01/08 - ter 2 Introdução à Sinais em Tempo Discreto 03 08/08 - ter 2 Funções Úteis 04 15/08 - ter 2 Sistemas em tempo discreto / Solução de Sistemas (Exercícios: 3.8; 3.9; E3.10; 3.4-2) 05 22/08 - ter 2 Resposta de Entrada Nula / Resposta de estado nulo (Exercícios: 3.10; E3.11; E3.12) 06 29/08 - ter 2 Prática de resposta ao impulso - Openairlib 07 05/09 - ter 2 Definição da Transformada Z Direta e Inversa / Propriedades da Transformada Z / Solução de sistemas usando a Transformada Z (parte 1)(Exercícios: 5.1, pg. 444; 5.2 pg. 446; E5.1, pg. 448; 5.1-2 (escolher alguns), pg. 516; 5.1-4 (escolher alguns), pg. 517) 08 12/09 - ter 2 Solução de sistemas usando a Transformada Z (Exercícios: 5.5, pg. 461; E5.10, pg. 462; E5.11, pg. 463; 5.6, pg. 466; ) 09 19/09 - ter 2 Resposta de entrada nula e resposta de estado nulo usando a transformada Z (Exercícios: E5.12, pg. 464) 10 26/09 - ter 2 Função de transferência / Resposta em frequência (Exercícios: 5.10, pg. 476) 11 06/10 - sex 2 Confusão nos horários, Alfredo faltou. Aula será reposta em outro horário 12 10/10 - ter 2 Laboratório de Transformada Z - Resposta em frequência pela posição dos polos e zeros (Tarefa: Ler os capítulos 5.5 e 5.6 do Lathi) 13 17/10 - ter 2 Laboratório de Transformada Z – MATLAB 14 27/10 - sex 2 Séries de Fourier 15 31/10 - ter 2 Transformada de Fourier (Exercícios: Tentar entender a figura-resumo de sinais no tempo e na frequência) 16 07/11 - ter 2 Laboratório de Séries de Fourier - MATLAB 17 14/11 - ter 2 Trabalho sobre Fourier - Geração dos sinais DTMF no MATLAB 18 21/11 - ter 2 Trabalho sobre Fourier - Geração dos sinais DTMF no MATLAB 19 28/11 - ter 2 Trabalho sobre Fourier - Geração dos sinais DTMF no MATLAB 20 05/12 - ter 2 Trabalho sobre Fourier - Geração dos sinais DTMF no MATLAB 21 12/12 - ter 2 22 19/12 - ter 2 TOTAL 40

2016-2 - Clicar no "+" para expandir

Aula Data Horas Conteúdo Recursos 01 10/08 - qua 2 Apresentação da disciplina e Tutorial de Matlab 02 16/08 - ter 2 Introdução à Sinais em Tempo Discreto 03 17/08 - qua 2 Funções Úteis e parte 1 do Laboratório - Sinais digitais 04 23/08 - ter 2 Parte 2 e 3 do Laboratório - Sinais digitais. Avaliação 1 - Script para realizar a interpolação - Entregar até 06/09/2016 05 24/08 - qua 2 Sistemas em tempo discreto - Faltou a Notação Operacional 06 30/08 - ter 2 Aula livre para execução dos laboratórios de sinais diginais – Eu estava viajando para o SbrT 07 31/08 - qua 2 Aula livre para execução dos laboratórios de sinais diginais – Eu estava viajando para o SbrT 08 06/09 - ter 2 Solução de Sistemas e Resposta de Entrada Nula - Solução do exemplo 3.10, da página 252 do Lathi 09 07/09 - qua 0 Feriado – Independência 10 13/09 - ter 2 Resposta ao Impulso - Solução dos exemplos 3.12 e 3.13 do Lathi 11 14/09 - qua 2 Resposta de Estado Nulo. Procedimento gráfico de convolução. Realização da parte 1 do Laboratório de Reposta ao impulso 12 20/09 - ter 2 Comentários sobre a solução da parte 2 do laboratório 13 21/09 - qua 2 Resposta Total e Estabilidade. Apresentação da Avaliação 2 - Entrega até 30/09/2016 14 27/09 - ter 2 Definição da Transformada Z Direta e Inversa 15 28/09 - qua 2 Propriedades da Transformada Z 16 04/10 - ter 2 Solução de sistemas usando a Transformada Z 17 05/10 - qua 2 Solução de sistemas - Resposta de entrada nula e estado nulo 18 11/10 - ter 2 Resposta em Frequência de Sistemas em Tempo Discreto 19 12/10 - qua 0 Feriado – Nossa senhora aparecida 20 18/10 - ter 2 Laboratório de Transformada Z 21 19/10 - qua 2 Alunos levados para assistirem à palestra da MCC, com o professor de Física Marcelo Shappo 22 25/10 - ter 2 Série de Fourier de Tempo Discreto - Periodicidade de uma senoide discreta 23 26/10 - qua 2 Série de Fourier de Tempo Discreto 24 01/11 - ter 2 Transformada de Fourier de Tempo Discreto 25 02/11 - qua 0 Feriado – Finados 26 08/11 - ter 2 Laboratório de Transformada de Fourier 27 09/11 - qua 2 Laboratório de Transformada de Fourier - Espectrograma 28 15/11 - ter 0 Feriado – Proclamação da república 29 16/11 - qua 2 Apresentação da Avaliação 3 30 22/11 - ter 2 Aula livre para execução da Avaliação 3 31 23/11 - qua 2 Aula livre para execução da Avaliação 3 32 29/11 - ter 2 Aula livre para execução da Avaliação 3 33 30/11 - qua 2 Introdução aos Filtros Digitais e Filtros FIR e IIR 34 06/12 - ter 2 Filtros FIR janelados 35 07/12 - qua 2 Apresentação da Avaliação 4 - Filtros Digitais 36 13/12 - ter 2 Aula livre para execução da Avaliação 4 - Filtros Digitais 37 14/12 - qua 2 Aula livre para execução da Avaliação 4 - Filtros Digitais 38 20/12 - ter 2 TOTAL 68

2016-1 - Clicar no "+" para expandir

Aula Data Horas Conteúdo Recursos 01 24/03 - qui 2 Apresentação da disciplina 02 28/03 - seg 2 Tutorial de Matlab e parte de Introdução à Sinais em Tempo Discreto 03 31/03 - qui 2 Continuação de Introdução à Sinais em Tempo Discreto 04 02/04 - sáb 2 Alunos não compareceram à aula 05 04/04 - seg 2 Funções Úteis 06 07/04 - qui 2 Sistemas em tempo discreto 07 11/04 - seg 2 Solução de Sistemas e Resposta de Entrada Nula 08 14/04 - qui 2 Resposta ao Impulso e Resposta de Estado Nulo 09 18/04 - seg 2 Resposta Total e Estabilidade e aula livre para realização de exercícios 10 21/04 - qui 0 Feriado nacional - Tiradentes 11 25/04 - seg 2 Aula para dúvidas antes da avaliação 12 28/04 - qui 2 Avaliação 1 - Sinais e sistemas de tempo discreto 13 02/05 - seg 2 Ninguém foi aprovado na Avaliação 1, aula livre para dúvidas para nova avaliação na quinta-feira 14 05/05 - qui 2 Recuperação da avaliação 1 15 09/05 - seg 2 Definição da Transformada Z Direta e Inversa 16 12/05 - qui 2 Propriedades da Transformada Z 17 16/05 - seg 2 Solução de sistemas usando a Transformada Z 18 19/05 - qui 2 Resposta de entrada nula e de estado nulo com a Transformada Z 19 23/05 - seg 2 Resposta em Frequência de Sistemas em Tempo Discreto 20 26/05 - qui 0 Feriado nacional - Corpus Christi 21 30/05 - seg 2 Laboratório de Transformada Z 22 02/06 - qui 2 Aula livre para dúvidas 23 06/06 - seg 2 Avaliação 2 - Transformada Z 24 09/06 - qui 2 Série de Fourier de Tempo Discreto 25 13/06 - seg 2 Alunos não compareceram à aula 26 16/06 - qui 2 Transformada de Fourier de Tempo Discreto e Laboratório de Processamento Digital de Imagens 27 20/06 - seg 2 Laboratório de Processamento Digital de Imagens e Laboratório de Transformada de Fourier 28 23/06 - qui 2 Apresentação da Avaliação 3 - Trabalho sobre Transformada de Fourier 29 27/06 - seg 2 Aula livre para execução da avaliação 3 30 30/06 - qui 2 Aula livre para execução da avaliação 3 31 02/07 - sáb 2 Sem aula - alunos não compareceram 32 04/07 - seg 2 Introdução aos Filtros Digitais 33 07/07 - qui 2 Filtros FIR janelados 34 11/07 - seg 2 A janela Kaiser e início do Laboratório de Filtros Digitais 35 14/07 - qui 2 Execução do Laboratório de Filtros Digitais 36 18/07 - seg 2 Apresentação da Avaliação 4 - Filtros Digitais 37 21/07 - qui 2 Execução da Avaliação 4 - Filtros Digitais 38 25/07 - seg 2 Avaliação 4 - Filtros Digitais 39 28/07 - qui 2 Avaliação 4 - Filtros Digitais 40 04/08 - qui 2 Avaliação 4 - Filtros Digitais TOTAL 76

2014-2 - Clicar no "+" para expandir

Aula Data Horas Conteúdo Recursos 1 04/08 2 Apresentação da disciplina 2 05/08 2 Tutorial de matlab 3 11/08 2 Sinais discretos 4 12/08 2 Funções úteis 5 18/08 2 Sistemas em tempo discreto e Resposta de entrada nula 6 19/08 2 Resposta ao impulso e resposta de estado nulo 7 25/08 2 Resposta total e estabilidade 8 26/08 2 Aula livre para dúvidas 9 01/09 2 Avaliação 1 - Sinais e sistemas discretos 10 02/09 2 Transformada Z 11 08/09 2 Propriedades da Transformada Z 12 09/09 2 Solução de sistemas usando a transformada Z 13 15/09 2 Aula liberada devido à reunião do DEPE 14 16/09 2 Resposta em Frequência de Sistemas em tempo discreto 15 22/09 2 Laboratório de Transformada Z 16 23/09 2 Aula livre oara dúvidas 17 29/09 2 18 30/09 2 19 06/10 2 20 07/10 2 21 13/10 2 22 14/10 2 23 20/10 2 24 21/10 2 25 27/10 2 26 28/10 2 27 03/11 2 28 04/11 2 29 10/11 2 30 11/11 2 31 17/11 2 32 18/11 2 33 24/11 2 34 25/11 2 35 01/12 2 36 02/12 2 37 08/12 2 38 09/12 2 39 15/12 2 Último dia de aula TOTAL '

2014-1 - Clicar no "+" para expandir

Aula Data Horas Conteúdo Recursos 1 10/02 2 Apresentação da disciplina 2 14/02 2 Introdução à Sinais em Tempo Discreto 3 17/02 2 Tutorial de Matlab 4 21/02 2 Funções Úteis 5 24/02 2 Sistemas em tempo discreto 6 28/02 2 Aula liberada para defesas de TCC 7 07/03 2 Solução de Sistemas e Resposta de Entrada Nula 8 10/03 2 Aula liberada para resolução de exercícios 9 14/03 2 Resposta ao Impulso e Resposta de Estado Nulo 10 17/03 2 Visão intuitiva da operação de convolução 11 21/03 2 Aula liberada para resolução de exercícios 12 24/03 2 Avaliação 1 13 28/03 2 Transformada Z 14 31/03 2 Resolução de exercícios de Transformada Z Direta e Reversa 15 04/04 2 Propriedades da Transformada Z 16 07/04 2 Correção da Avaliação 1 17 11/04 2 Solução de sistemas usando a Transformada Z 18 14/04 2 Recuperação da avaliação 1 19 25/04 2 Aula liberada para exercícios devido à minha participação em encontros pedagógicos do Curso Técnico Integrado 20 28/04 2 Resposta em Frequência de Sistemas em Tempo Discreto TOTAL '

2013-2 - Clicar no "+" para expandir

Aula Data Horas Conteúdo Recursos 1 16/08 2 Apresentação da disciplina 2 20/08 2 Introdução à Sinais em Tempo Discreto 3 23/08 2 Funções Úteis 4 27/08 2 Sistemas em tempo discreto 5 30/08 2 Solução de Sistemas e Resposta de Entrada Nula 6 03/09 2 Resposta ao Impulso e Resposta de Estado Nulo 7 06/09 2 Aula livre para exercícios 8 10/09 2 Resposta Total e Estabilidade 9 13/09 2 Definição da Transformada Z Direta e Inversa 10 17/09 2 Avaliação 1 11 20/09 2 Resolução de exercícios com a Transformada Z 12 24/09 2 Aulas suspensas pela Direção do DEPE 13 27/09 2 Propriedades da Transformada Z 14 01/10 2 Aula livre para a execução de exercícios 15 04/10 2 Solução de sistemas usando a Transformada Z 16 08/10 2 Solução de sistemas usando a Transformada Z (cont.) 17 11/10 2 Resposta em Frequência de Sistemas em Tempo Discreto 18 15/10 2 Laboratório de Transformada Z 19 18/10 2 Aula livre para a execução de exercícios 20 22/10 2 Semana Nacional de Ciência e Tecnologia 21 25/10 2 Avaliação 2 22 29/10 2 Série de Fourier de Tempo Discreto 23 01/11 2 Transformada de Fourier de Tempo Discreto 24 05/11 2 Laboratório de Transformada de Fourier 25 08/11 2 Avaliação 3 - Trabalho sobre Transformada de Fourier 26 12/11 2 Filtros Digitais 27 15/11 2 Feriado Nacional - Proclamação da República 28 19/11 2 Aula livre para realização dos trabalhos - Viagem com os alunos para Campinas-SP 29 22/11 2 Aula livre para realização dos trabalhos - Viagem com os alunos para Campinas-SP 30 26/11 2 Aula livre para realização dos trabalhos 31 29/11 2 Aula livre para realização dos trabalhos 32 03/12 2 Aula livre para realização dos trabalhos 33 06/12 2 A janela Kaiser TOTAL '

Aulas

Apresentação da disciplina

Roteiro:

• Apresentação do professor;
• Apresentação da Área de Processamento de Sinais (Slides)
• Apresentação da disciplina (Planos de ensino);
• Grupo da disciplina: IFSCTelePSD

Atividade (Trabalho 1)

Pesquisar um artigo da área de Processamento de Sinais no site IEEEXplore e fazer um pequeno resumo sobre o artigo. Como dica, dar preferências a artigos entre 1960 e 1970, pois estes deverão ser de mais fácil compreensão que artigos mais recentes ou muito antigos.

Tutorial de Matlab

 Tutorial Linux.m
 Tutorial Windows.m
 Versão em PDF do tutorial

Sinais em tempo discreto

Referência: Capítulo 3 do Livro do Lathi, pg. 224.

Introdução à Sinais em Tempo Discreto

Esta aula é a introdução da disciplina.

• Um sinal discreto é uma abstração de um sinal amostrado, que por sua vez é obtido a partir da multiplicação de um sinal contínuo por um trem de impulsos. A amostragem de sinais é assunto de outra disciplina (Sinais e Sistemas e Comunicação Digital).

• Uma das medidas do tamanho de um sinal é a energia e a potência.

• Energia do sinal:

$E_{x}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\left|x[n]\right|}^{2}$

• Potência do sinal:

$P_{x}=\lim _{N\to \infty }{1 \over {2N+1}}\sum _{n=-N}^{N}{\left|x[n]\right|}^{2}$

• Desta forma, sinais podem ser divididos em sinais de energia ou de potência

• Sinais de energia são sinais que tem energia finita, que desta forma tem potência zero.
• Sinais de potência são sinais que tem potência finita, que desta forma tem energia infinita.
• Alguns sinais não são nem de energia nem de potência

• É comum na área de processamento de sinais a realização de operações com sinais. Algumas dessas operações utilizadas em sinais discretos são:

• Deslocamento - Atraso ou avanço de um sinal no tempo.
• Reversão no tempo - Espelhamento no sinal a partir do eixo da ordenada (y)
• Alteração na taxa de amostragem

• Decimação - Redução da frequência de amostragem do sinal
• Interpolação - Aumento da frequência de amostragem do sinal

Slides da aula

Códigos Matlab desenvolvidos

*  Simulação.m
*  u.m
*  s.m

Exercícios (Lathi)

* Exemplo 3.1, pg. 226
* Exemplo 3.2, pg. 227
* Exercício E3.1, ppg. 226
* Exercícios E3.2, E3.3, E3.4 e E3.5, pg. 230

Funções Úteis

Alguns sinais úteis na área de processamento de sinais digitais (Seção 3.3, pg. 230, do Lathi).

Função Impulso Unitário.

• Impulso unitário, também conhecido como Delta de Kronecker, é a versão discreta da Função Impulso, também conhecida como Delta de Dirac:

$\delta [n]=\left\{{\begin{matrix}1,&{\mbox{se }}n=0\\0,&{\mbox{se }}n\neq 0\end{matrix}}\right.$

Função Degrau Unitário.

• Degrau unitário, versão discreta da Função Degrau. Muito utilizada para a limitação de sinais em um intervalo de tempo.

$u[n]=\left\{{\begin{matrix}1,&{\mbox{se }}n\geq 0\\0,&{\mbox{se }}n<0\end{matrix}}\right.$

• Uma Função Exponencial discreta é descrita na forma $e^{\lambda n}$, onde $\lambda$ é o argumento da função e $n$ é inteiro. É possível escrever a função exponencial de uma outra forma, tendo em vista que a base $e$ e o argumento $\lambda$ são constantes:

$e^{\lambda n}={\left(e^{\lambda }\right)}^{n}=\gamma ^{n}$

A análise de funções exponenciais discretas é realizada baseada no valor de $\lambda$ ou de $\gamma$. Iniciemos nossa análise considerando que $\lambda$, e por consequência $\gamma$, é real.

• Se $\lambda >0$, $e^{\lambda }=\gamma >1$, de forma que $e^{\lambda n}=\gamma ^{n}$ é uma função crescente;
• Se $\lambda <0$, $e^{\lambda }=\gamma$ encontra-se entre 0 e 1, de forma que $e^{\lambda n}=\gamma ^{n}$ é uma função decrescente;
• Se $\lambda =0$, $e^{\lambda }=\gamma =1$, de forma que $e^{\lambda n}=\gamma ^{n}$ é uma função constante igual a 1.

Se $\lambda$ é complexo, ele pode ser escrito na forma $a+jb$, e $e^{\lambda n}=e^{(a+jb)n}=e^{an}e^{jbn}$. Desta forma, $\gamma$ também será complexo, ou $\gamma =e^{a}e^{jb}$. A análise é feita então em função de $a$ e $b$.

• Se $b=0$, a exponencial é puramente real, possuindo os três casos acima descritos;
• Se $a=0$, $\lambda =jb$ e $\gamma =e^{jb}=cos(b)+jsen(b)$, sendo então uma função oscilatória complexa de módulo igual a 1 e frequência de oscilação igual a $b$;
• Se $a>0$, $\lambda =a+jb$ e $\gamma =e^{a}e^{jb}=e^{a}[cos(b)+jsen(b)]$, sendo $\gamma ^{n}$ então uma função oscilatória complexa com módulo crescente e frequência de oscilação igual a $b$
• Se $a<0$, $\lambda =a+jb$ e $\gamma =e^{a}e^{jb}=e^{a}[cos(b)+jsen(b)]$, sendo $\gamma ^{n}$ então uma função oscilatória complexa com módulo decrescente e frequência de oscilação igual a $b$

Mapeamento das funções exponenciais (retirado do livro do Lathi).

A análise acima pode ser exportada para um gráfico, como pode ser visto na figura ao lado. Neste caso, o mapeamento de $\lambda$ em $\gamma$ transforma o Semi Plano Esquerdo (SPE), região onde a exponencial é decrescente, num círculo de raio unitário. O eixo das ordenadas, onde a exponencial possui módulo constante se transforma na borda do círculo. Por fim, o Semi Plano Direito (SPD), onde a exponencial é crescente, se transforma na região fora do círculo unitário.

Slides da aula

Códigos Matlab desenvolvidos

*  Simulação.m
*  u.m
*  d.m
*  Comandos usados na aula

Exercícios (Lathi)

* Exemplo 3.3, pg. 232
* Exercícios E3.6 e E3.7, pg. 234
* Exemplos de computador:
  * C3.1 para o sinal $x_{d}[n]=(0,7)^{-n}$, mostrando o sinal no intervalo de 0 a 10
  * C3.2 para o sinal $x[n]=3cos(2\pi 0,0909n)$, mostrando o sinal no intervalo de 0 a 33

Laboratório - Sinais digitais

Laboratório 1 - Som

• Ler o arquivo de áudio abaixo
• Realizar operações de deslocamento, reversão no tempo, reversão de amplitude, mexer na frequência de amostragem, etc

* Codigo.m
* Audio.mp3

Laboratório 2 - Imagem

• Fazer partes 1 a 3 do laboratório acessível em Link

Laboratório 3 - Interpolação de uma imagem

• Ler o arquivo de imagem abaixo
• Aumentar a resolução da imagem, através da interpolação

* Imagem.jpg
* Codigo.m - Aula do dia 23/08/2016

Avaliação - Interpolação

Terminar o processo de interpolação iniciado em aula. Já foi feito o processo para linhas, fazer para colunas e diagonais.

* Codigo.m - Completo

Sistemas em tempo discreto

Ao pensar em Sistemas de Tempo Discreto, normalmente vem à mente aplicações como áudio digital, imagem digital, etc. O termo discreto porém, é maior do que isso, e inclui todo sistema que é não contínuo. O exemplo abaixo, exemplo 3.4 do Lathi, aborda esta questão.

Exemplo de sistema discreto.

Uma pessoa faz regularmente um depósito em um banco a um intervalo $T$. O banco paga um certo juro na conta bancária durante o período $T$ e envia periodicamente uma correspondência com o saldo ao depositante. As variáveis envolvidas no problema são:

• $x[n]$ = depósito feito no instante $n$
• $y[n]$ = saldo na conta no instante $n$, calculado imediatamente após o recebimento do depósito
• $r$ = taxa de juros

O saldo $y[n]$ é a soma de:

• Saldo anterior $y[n-1]$
• Juros obtidos em $y[n-1]$ durante o período
• Depósito $x[n]$

A equação que relaciona a saída $y[n]$ (saldo) com a entrada $x[n]$ (depósito) é:

$y[n]=y[n-1]+ry[n-1]+x[n]$

$y[n]=(1+r)y[n-1]+x[n]$

$y[n]-ay[n-1]=x[n]$, onde $a=1+r$

Ou, substituindo $n$ por $n+1$

$y[n+1]-ay[n]=x[n+1]$, onde $a=1+r$

As equações anteriores, chamadas de equações diferença, relacionam a entrada e a saída de um sistema, ou de uma forma mais completa, relacionam as amostras atual e anteriores da entrada com as amostras atual e anteriores da saída. Uma versão genérica da equação diferença é:

$\left.\sum _{k=0}^{N}a_{k}y[n+N-k]=\sum _{l=0}^{M}b_{l}x[n+M-l]\right.$, com $a_{0}=1$

ou

$\left.y[n+N]+a_{1}y[n+N-1]+...+a_{N}y[n]=b_{0}x[n+M]+b_{1}x[n+M-1]+...+b_{M}x[n]\right.$

As equações anteriores estão na forma do operador de avanço. Substituindo $n$ por $n-N$, a equação fica na forma do operador de atraso:

$\left.\sum _{k=0}^{N}a_{k}y[n-k]=\sum _{l=0}^{M}b_{l}x[n-l]\right.$, com $a_{0}=1$

Para que um sistema descrito pelas equações diferença acima descritas seja causal, é necessário que sua saída não dependa de valores futuros de sua entrada. Na forma do operador de avanço, a saída mais avançada no tempo é $y[n+N]$, e a entrada mais avançada no tempo é $x[n+M]$. Assim, para que um sistema seja causal, é necessário que $\left.N\geq M\right.$

Uma forma simples e rápida de resolver o sistema a partir da sua equação diferença é a solução recursiva (ou interativa). O método é calculado passo a passo, utilizando as condições iniciais e os valores do sinal de entrada.

Ver exemplo 3.8 do Lathi, pg. 247

Uma forma diferente de representar o sistema é através da Notação Operacional. Nela, a equação diferença do sistema fica similar à uma equação diferencial, e um tratamento semelhante pode ser utilizado para sua resolução. Para a notação operacional, utiliza-se o operador $E^{r}$ para representar um avanço de $r$ amostras.

${\begin{matrix}Ex[n]&{}:={}&x[n+1]\\E^{2}x[n]&{}:={}&x[n+2]\\{}&\vdots &{}\\E^{N}x[n]&{}:={}&x[n+N]\end{matrix}}$

Exemplo:

• Equação diferença de primeira ordem:

${\begin{matrix}y[n+1]-ay[n]&{}={}&x[n+1]\\Ey[n]-ay[n]&{}={}&Ex[n]\\(E-a)y[n]&{}={}&Ex[n]\end{matrix}}$

• Equação diferença de segunda ordem:

${\begin{matrix}y[n+2]+{\frac {1}{4}}y[n+1]+{\frac {1}{16}}y[n]&{}={}&x[n+2]\\(E^{2}+{\frac {1}{4}}E+{\frac {1}{16}})y[n]&{}={}&E^{2}x[n]\end{matrix}}$

Desta forma, uma equação diferença genérica em notação operacional é

$\left(E^{N}+a_{1}E^{N-1}+...+a_{N-1}E+a_{N}\right)y[n]=\left(b_{0}E^{N}+b_{1}E^{N-1}+...+b_{N-1}E+b_{N}\right)x[n]$

ou simplesmente

$Q\left[E\right]y[n]=P\left[E\right]x[n]$

onde

$Q\left[E\right]=E^{N}+a_{1}E^{N-1}+...+a_{N-1}E+a_{N}$

$P\left[E\right]=b_{0}E^{N}+b_{1}E^{N-1}+...+b_{N-1}E+b_{N}$

Slides da aula

Códigos Matlab desenvolvidos

*  Simulação.m - Solução do exemplo 3.8

Exercícios (Lathi)

* Exercício 3.4-1 e 3.4-2 pg. 295
* Exemplo 3.8, pg. 247
* Exercício E3.10, pg. 249
* Exemplo de computador C3.3 para o sinal do exercício E3.10
* Descrever todas as equações diferença dos exercícios anteriores com Notação Operacional

Solução de Sistemas e Resposta de Entrada Nula

Saída de um sistema possui componentes referentes à entrada do sistema e componentes referentes às condições iniciais

• Referentes às condições iniciais: Resposta de entrada nula
• Referentes à entrada: Resposta de estado nulo

A resposta de entrada nula de um sistema é a solução da sua equação diferença, assumindo que não há sinais de entrada (solução homogênea).

$\left.Q[E]y_{0}[n]=0\right.$

ou

$\left(E^{N}+a_{1}E^{N-1}+...+a_{N-1}E+a_{N}\right)y_{0}[n]=0$

ou ainda

$\left.y_{0}[n+N]+a_{1}y_{0}[n+N-1]+...+a_{N}y_{0}[n]=0\right.$

A solução do problema é então (assumindo raízes distintas):

$y_{0}\left[n\right]=c_{1}\gamma _{1}^{n}+c_{2}\gamma _{2}^{n}+...+c_{N}\gamma _{N}^{n}$

onde os $c_{i}^{}$'s são as constantes do problema, obtidas através das condições iniciais

Para $r$ raízes repetidas:

$\left.Q[\gamma ]=(\gamma -\gamma _{1})^{r}\right.$

e a resposta de entrada nula será:

$y_{0}\left[n\right]=(c_{0}+c_{1}n+c_{2}n^{2}...+c_{r-1}n^{r-1})\gamma _{1}^{n}$

Para raízes complexas, expressamos as raízes na forma polar:

$\gamma _{}^{}=\alpha e^{j\beta }$ e $\gamma _{}^{}=\alpha e^{-j\beta }$

E a resposta de entrada nula será

$y_{0}^{}[n]=c_{1}\gamma ^{n}+c_{2}(\gamma ^{*})^{n}$

Para um sistema real

$c_{1}={\frac {c}{2}}e^{j\theta }$ e $c_{2}={\frac {c}{2}}e^{-j\theta }$

E então:

$y_{0}[n]={\frac {c}{2}}\alpha ^{n}cos(\beta n+\theta )$

Nomenclatura:

• $Q[\gamma ]$ = polinônio característico do sistema
• $Q[\gamma ]=0$ = equação característica do sistema
• $\gamma _{1},\gamma _{2},...,\gamma _{N}$ = raízes características, valores característicos ou autovalores do sistema
• $\gamma _{1}^{n},\gamma _{2}^{n},...,\gamma _{N}^{n}$ = modos característicos ou modos naturais do sistema
• $y_{0}[n]$ = resposta de entrada nula do sistema, que é a combinação linear dos modos característicos

Slides da aula

Notas de aula

Exercícios (Lathi)

* Exemplo 3.10, pg. 252
* Exercícios E3.11, E3.12 e E3.13, pg. 255
* Exercício de computador C3.4 para os sistemas dos outros exercícios

Resposta ao Impulso e Resposta de Estado Nulo

Uma solução importante na análise de sistemas é a resposta do sistema à um impulso unitário. A resposta ao impulso de um sistema $h[n]$ é a solução da sua equação diferença, considerando que há, na entrada do sistema, uma função impulso $\delta [n]$.

Ou:

$Q\left[E\right]h[n]=P\left[E\right]\delta [n]$

Neste caso, considera-se todas as condições iniciais nulas:

$h[-1]=h[-2]=...=h[-N]=0_{}^{}$

O método iterativo (ou recursivo) pode ser utilizado para a resolução do sistema, mas este é pouco prático para respostas longas. Por isso, há a solução fechada, dada pela equação:

$h[n]={\frac {b_{N}}{a_{N}}}\delta [n]+y_{c}[n]u[n]$

onde $y_{c}[n]$ é a combinação linear dos modos característicos e $a_{N}$ e $b_{N}$ são obtidos da equação diferença do sistema.

Ver exemplo 3.12, pg. 258

A resposta de estado nulo é a resposta do sistema à sua entrada, considerando suas condições iniciais zero. A solução da resposta de estado nulo é dada pelo somatório de convolução:

$y[n]=x[n]*h[n]=\sum _{m=-\infty }^{\infty }x[m]h[n-m]$

onde $x[n]$ é a entrada do sistema e $h[n]$ é sua resposta ao impulso. Embora pareça um pouco diferente, o somatório de convolução é a mesma operação realizada em tempo contínuo, a integral de convolução.

As propriedades do somatório de convolução são:

• Comutativa

$x_{1}[n]*x_{2}[n]=x_{2}[n]*x_{1}[n]$

• Distributiva

$x_{1}[n]*(x_{2}[n]+x_{3}[n])=x_{1}[n]*x_{2}[n]+x_{1}[n]*x_{3}[n]$

• Associativa

$x_{1}[n]*(x_{2}[n]*x_{3}[n])=(x_{1}[n]*x_{2}[n])*x_{3}[n]$

• Propriedade do deslocamento

Se $x_{1}[n]*x_{2}[n]=c[n]$, $x_{1}[n-m]*x_{2}[n-p]=c[n-m-p]$

• Convolução com um impulso

$x[n]*\delta [n]=x[n]$

• Propriedade da largura

Se $d[n]$ tem $R$ elementos (amostras) e $e[n]$ tem $S$ elementos, $f[n]=d[n]*e[n]$ tem $R+S-1$ elementos.

• Causalidade

$x[m]=0$ para $m<0$

$h[m]=0$ para $m<0$, tal que $h[n-m]=0$ para $m>n$

E a convolução causal é:

$y[n]=x[n]*h[n]=\sum _{m=0}^{n}x[m]h[n-m]$

Ver exemplo 3.13, pg. 262

Em geral, o cálculo da convolução propriamente dito não é muito realizado. Isso se deve à existência de tabelas com a convolução dos sinais mais comuns. Um exemplo pode ser visto na Tabela 3.1 do livro do Lathi, pg. 263.

Mais importante que a resolução dos cálculos, seja pela equação ou pela tabela, é o entendimento do que é realizado com os sinais durante a operação. A convolução de dois sinais $x[m]$ e $h[m]$ inicia com a reversão no tempo de um dos sinais (por exemplo, $x[m]$). Para encontrar o valor de saída para um dado instante $n$, $x[-m]$ é deslocado de $n$ amostras, e uma multiplicação ponto a ponto é executada entre os sinais $h[m]$ e $x[-m+n]$. O processo de convolução consiste então no deslocamento de $x[-m]$ por toda a extensão de $h[m]$. Este fato pode ser visto em [1] e [2].

Slides da aula

Resolução de alguns exercícios

Exercícios (Lathi)

* Exemplo 3.11, pg. 256
* Exemplo 3.12, pg. 258
* Exercício E3.14, pg. 259
* Exercício 3.7-4, pg. 298
* Exemplo 3.13, pg. 262
* Exercício E3.15, pg. 263
* Exemplo 3.14, pg. 264
* Exemplo de computador C3.6
* Criar uma função no Matlab para realizar a convolução entre dois sinais causais

Laboratório - Reposta ao impulso

Parte 1 - Em sala

• Criar respostas ao impulso com poucos multipercursos:

d = zeros(30000,1);
d(1) = 1;
d(15000) = 1;

• Ler um arquivo de áudio e realizar a convolução entre ele e a resposta ao impulso criada
• Observar o comportamento

Parte 2 - Entregar

Construir uma simulação no Matlab que lê um dos arquivos de áudio e cria um efeito de que a voz foi falada à 45° do ouvinte (estéreo).

Comentários - Clicar no "+" para expandir
Observa-se que o efeito de 45° de ângulo de incidência é difícil de ser implementado com os conceitos abordados em aula. A alteração para 90° permite um certo nível de sucesso. Para a implementação do ângulo de 45° seria necessário usar o método das imagens de Allen e Berkley (ver artigo).

Resposta Total e Estabilidade

A Resposta total de um sistema é definida como:

Resposta Total = Resposta de entrada nula + Resposta de estado nulo

Resposta Total = $\sum _{j=1}^{N}c_{j}\gamma _{j}^{n}+x[n]*h[n]$

A estabilidade de um sistema é dividida entre estabilidade externa (BIBO - Bounded-input/boundded-output) e interna (assintótica).

Um sistema é BIBO estável se a sua resposta ao impulso $h[n]$ for absolutamente somável:

$\sum _{n=-\infty }^{\infty }|h[n]|<K<\infty$

A estabilidade interna de um sistema é caracterizada da seguinte forma:

• Raízes simples ou repetidas dentro do círculo unitário: assintoticamente estável
• Raízes simples sobre o círculo unitário: marginalmente estável
• Raízes repetidas sobre o círculo unitário: assintoticamente instável
• Raízes simples ou repetidas fora do círculo unitário: assintoticamente instável

As estabilidades interna e externa são relacionadas da seguinte forma:

• Raízes dentro do círculo são absolutamente somáveis, por isso sistemas assintoticamente estáveis são BIBO estáveis.
• Raízes sobre ou fora do círculo não são absolutamente somáveis, por isso sistemas marginalmente estáveis ou assintoticamente instáveis são BIBO instáveis.

Slides da aula

Visão intuitiva da operação de convolução

Exercícios (Lathi)

* Exemplo 3.22, pg. 285
* Exercício 3.10-2, pg. 303

Avaliação 1 - Sinais e sistemas de tempo discreto

Os conteúdos referentes à primeira parte da disciplina (capítulo 3 do Lathi) serão avaliados através de uma prova.

Para 2016-2, a prova será aplicada no formato de um trabalho, com prazo para entrega em 30/09/2016.

• Avaliação

Resultados - Clicar no "+" para expandir

Transformada Z

Referência: Capítulo 5 do Livro do Lathi, pg. 442.

• Por que "Z"?

Definição da Transformada Z Direta e Inversa

A Transformada Z Direta é calculada como a seguir:

$X[z]=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]z^{-n}$

A forma mais direta de resolução se dá considerando que os termos a serem somados são elementos de uma PG (progressão geométrica). Uma PG é definida como uma sucessão de termos:

$a_{1}^{},a_{2},a_{3},...,a_{n-1},a_{n},a_{n+1},...$

onde, $a_{n}=a_{n-1}q$ ou $a_{n}=a_{1}q^{n-1}$, sendo $q$ denominado razão da sucessão de termos.

A planilha a seguir foi feita para ajudar o entendimento das PGs, confirmando a equivalências das duas equações acima Link.

Para a soma de $n$ termos de uma PG ($n$ finito):

$S_{n}={\frac {a_{1}(1-q^{n})}{1-q}}$

Para a soma de infinitos termos de uma PG:

$S_{\infty }={\frac {a_{1}}{1-q}}~~~~~~|q|<1$

Para mais informações sobre PGs, ver Link.

A Transformada Z inversa é definida como:

$x[n]={\frac {1}{2\pi j}}\oint X[z]z^{n-1}dz$

Em geral este cálculo não é realizado, dada a existência de tabelas (ver tabela 5.1 do Lathi ou esta seção da Wikipédia). O que é necessário para a resolução dos problemas é adequar o sinal no domínio Z à algum par específico da tabela.

Slides da aula

Exercícios (Lathi)

* Exemplo 5.1, pg. 444
* Exemplo 5.2, pg. 446
* Exercício E5.1, pg. 448
* Selecionar alguns itens do exercício 5.1-2, pg. 516
* Exercício 5.1-4, pg. 517

* Exemplo 5.3, pg. 448
* Exercício E5.2, pg. 451
* Exercício 5.1-5, pg. 517

Solução dos exemplos

Resoluções realizadas no semestre 2013-1

Solução exemplo 5.3.b

Solução exemplo 5.3.c

Propriedades da Transformada Z

Algumas propriedades podem ser utilizadas para facilitar o cálculo da transformada Z. Exemplos de tabelas são a Tabela 5.2, pg. 459 do Lathi e esta seção da Wikipédia.

Nesta aula, as propriedades serão derivadas.

Exercícios (Lathi)

* Exemplo 5.4, pg. 456
* Exercício 5.2-3, 5.2-7 e 5.2-9, pg. 518

Solução de sistemas usando a Transformada Z

A Transformada $Z$ é utilizada principalmente na solução de sistemas Lineares Discretos Invariantes no Tempo (LDIT). O método é sintetizado a seguir:

• A equação diferenças é convertida para o domínio $Z$ utilizando a propriedade do deslocamento à direita da Transformada Z:

$x[n-m]u[n]\Leftrightarrow {\frac {1}{z^{m}}}X[z]+{\frac {1}{z^{m}}}\sum _{k=1}^{m}x[-k]z^{k}$

• A equação algébrica no domínio $Z$ é trabalhada de forma a isolar $Y[z]$.

• Com o $Y[z]$ isolado, a equação algébrica é convertida de volta para o domínio $n$ através da Transformada Z Inversa, encontrando então a resposta total do sistema, $y[n]$.

Com esta abordagem, é possível também encontrar a resposta total com as componentes de entrada nula e de estado nulo em separado. Para isso, as componentes referentes ao sinal de entrada e às condições iniciais devem ser mantidas separadas durante o trabalho algébrico.

Uma outra utilização da Transformada Z diz respeito à Função de transferência de um sistema. A Função de Transferência é utilizada para encontrar a a resposta de estado nulo do sistema, ou mesmo a resposta total, quando o sistema não possui condições iniciais (resposta de entrada nula igual à zero):

$Y[z]=X[z]H[z]$

então:

$H[z]={\frac {Y[z]}{X[z]}}={\frac {\mbox{Resposta total}}{\mbox{Entrada}}}$

Dada a equação diferenças genérica:

$\left.y[n+N]+a_{1}y[n+N-1]+...+a_{N}y[n]=b_{0}x[n+M]+b_{1}x[n+M-1]+...+b_{M}x[n]\right.$

ou, em notação operacional:

$\left(E^{N}+a_{1}E^{N-1}+...+a_{N-1}E+a_{N}\right)y[n]=\left(b_{0}E^{N}+b_{1}E^{N-1}+...+b_{N-1}E+b_{N}\right)x[n]$

ou simplesmente:

$Q\left[E\right]y[n]=P\left[E\right]x[n]$

onde:

$Q\left[E\right]=E^{N}+a_{1}E^{N-1}+...+a_{N-1}E+a_{N}$

$P\left[E\right]=b_{0}E^{N}+b_{1}E^{N-1}+...+b_{N-1}E+b_{N}$

A Função de Transferência do sistema é:

$H[z]={\frac {P[z]}{Q[z]}}={\frac {b_{0}z^{N}+b_{1}z^{N-1}+...+b_{N-1}z+b_{N}}{z^{N}+a_{1}z^{N-1}+...+a_{N-1}z+a_{N}}}$

A estabilidade do sistema pode ser obtida a partir da sua Função de Transferência. Como a Função de Transferência é uma descrição externa do sistema, pois relaciona saída e entrada, a estabilidade BIBO (externa) é encontrada. Assim, se todos os polos de $H[z]$ estiverem dentro do círculo unitário, o sistema será BIBO estável.

Se $P[z]$ e $Q[z]$ não possuírem fatores comuns, o denominador de $H[z]$ será idêntico à $Q[z]$, e:

• sistema assintoticamente estável: Polos de $H[z]$, repetidos ou simples, dentro do círculo unitário
• sistema assintoticamente instável:

• (i) Ao menos um polo de $H[z]$ fora do círculo unitário;
• (ii) Polos de $H[z]$ repetidos sobre o círculo unitário

• sistema marginalmente estável: Nenhum polo de $H[z]$ fora do círculo unitário e pelo menos um polo simples sobre o círculo unitário.

Exercícios (Lathi)

* Exemplo 5.5, pg. 461
* Exercício E5.10, pg. 462
* Exercício E5.11, pg. 463
* Exercício E5.12, pg. 464
* Exercícios 5.3-2, 5.3-3, 5.3-5, 5.3-6, 5.3-7, 5.3-8, 5.3-10, pg. 519

* Exemplo 5.6, pg. 466
* Exercício 5.3-18, pg. 519
* Exercícios 5.3-19, 5.3-20, 5.3-21, 5.3-23, pg. 520

Resoluções realizadas no semestre 2014-1

Solução exercício E5.10

Resposta em Frequência de Sistemas em Tempo Discreto

A Resposta em Frequência de um sistema de Tempo Discreto é encontrada a partir da sua Função de Transferência, substituindo $z$ por $e^{j\Omega }$. Assim, a frequência é indicada por $\Omega$. Usando a seta direcional para representar a relação entrada $\Rightarrow$ saída:

$z^{n}\Rightarrow H[z]z^{n}$

E, fazendo $z=e^{j\Omega }$:

$e^{j\Omega n}\Rightarrow H[e^{j\Omega }]e^{j\Omega n}$

onde $H[e^{j\Omega }]$ é a Resposta em Frequência do sistema, que expressa na forma polar:

$H[e^{j\Omega }]=|H[e^{j\Omega }]|e^{j\angle {H[e^{j\Omega }]}}$

Para uma entrada senoidal, considerando que $\cos(\Omega n)$ é a parte real de $e^{j\Omega n}$:

$\cos(\Omega n)\Rightarrow \Re (H[e^{j\Omega }]e^{j\Omega n})$

$\cos(\Omega n)\Rightarrow |H[e^{j\Omega }]|\cos(\Omega n+\angle {H[e^{j\Omega }]})$

e para uma senoide defasada de $\theta$:

$\cos(\Omega n+\theta )\Rightarrow |H[e^{j\Omega }]|\cos(\Omega n+\theta +\angle {H[e^{j\Omega }]})$

Ver Exemplo 5.10 do Lathi, pg. 476

Como pode ser visto no exemplo anterior, a Resposta em Frequência de Sistemas de Tempo Discreto é Periódica com período $2\pi$. Isto se deve à não unicidade de ondas senoidais no domínio de tempo contínuo:

$\cos[(\Omega +-2\pi m)n]=\cos(\Omega n)$, para $m$ inteiro

Isto pode ser confirmado pelo seguinte Código MATLAB.

A Resposta em Frequência do sistema também pode ser determinada pela posição dos seus polos e zeros. Para uma Função de Transferência genérica:

$H[z]={\frac {b_{0}z^{N}+b_{1}z^{N-1}+...+b_{N-1}z+b_{N}}{z^{N}+a_{1}z^{N-1}+...+a_{N-1}z+a_{N}}}$

encontrando as $N$ raízes de ambos os polinômios, a Forma Fatorada da Função de Transferência é encontrada:

$H[z]=b_{0}{\frac {(z-z_{1})(z-z_{2})...(z-z_{N})}{(z-\gamma _{1})(z-\gamma _{2})...(z-\gamma _{N})}}$

Para encontrar a Resposta em Frequência do sistema, fazemos $z=e^{j\Omega }$. Como $|e^{j\Omega }|=1$, variar $\Omega$ significa percorrer o círculo unitário. Desta forma, a resposta do sistema para uma determinada frequência $\Omega$ é encontrada a partir da linha que une os polos e zeros ao ponto de ângulo $\Omega$ sobre o círculo unitário. Ou:

$H[e^{j\Omega }]=b_{0}{\frac {(r_{1}e^{j\phi _{1}})(r_{2}e^{j\phi _{2}})...(r_{N}e^{j\phi _{N}})}{(d_{1}e^{j\theta _{1}})(d_{2}e^{j\theta _{2}})...(d_{N}e^{j\theta _{N}})}}$

ou

$H[e^{j\Omega }]=b_{0}{\frac {r_{1}r_{2}...r_{N}}{d_{1}d_{2}...d_{N}}}e^{j[(\phi _{1}+\phi _{2}+...+\phi _{N})-(\theta _{1}+\theta _{2}+...+\theta _{N})]}$

onde $r_{i}$ e $d_{j}$ são os módulos e $\phi _{i}$ e $\theta _{j}$ são os ângulos da linha que une o zero $i$ e o polo $j$ ao ponto de ângulo $\Omega$ sobre o círculo unitário.

Desta forma, as seguintes conclusões podem ser tomadas

• Como a magnitude de $H[e^{j\Omega }]$ é diretamente proporcional ao produto das distâncias dos zeros à $e^{j\Omega }$, incluir um zero próximo de um determinado ângulo do círculo unitário reduz a resposta de magnitude para esta frequência angular. Para suprimir totalmente uma determinada frequência, um zero neste ângulo do círculo unitário pode ser inserido.
• Como a magnitude de $H[e^{j\Omega }]$ é inversamente proporcional ao produto das distâncias dos zeros à $e^{j\Omega }$, incluir um polo próximo de um determinado ângulo do círculo unitário aumenta a resposta de magnitude para esta frequência angular. Não se deve esquecer que um polo sobre o círculo unitário resulta num sistema BIBO instável.
• Para um filtro ideal, o número de polos e zeros necessários é muito grande (infinito).

Este comportamento pode ser visto na ferramenta do MATLAB Fdatool.

Exercícios (Lathi)

* Exemplo 5.10, pg. 476
* Exercício E5.18, pg. 479
* Exercícios 5.5-1, 5.5-2, 5.5-4, pg. 521
* Exercícios 5.5-5, pg. 522

* Exercício 5.6-1, pg. 522

Laboratório de Transformada Z

Este laboratório tem o objetivo de auxiliar o entendimento dos conceitos que envolvem a utilização da Transformada Z na análise e solução de sistemas LDIT. Mais precisamente, a Função de Transferência será explorada, de forma a visualizar a resposta em frequência a partir da posição dos polos e zeros do sistema.

Pré laboratório

• Estudar o help do matlab das funções:

• polar() - Plot em coordenadas polares
• poly() - Encontra os coeficientes de um polinômio com base em suas raízes
• roots() - Encontra as raízes de um polinômio com base em seus coeficientes
• freqz() - Retorna a resposta em frequência de um sistema com base na sua equação diferença

Laboratório

• Definir os seguintes sistemas com o mínimo de polos e zeros:

• Filtro passa-baixas
• Filtro passa-altas
• Filtro passa-faixa
• Filtro rejeita-faixa

• Plotar os polos (x) e os zeros (o) no círculo unitário usando a função polar()

• Calcular a resposta em frequência do filtro criado utilizando a função freqz()

• Observar a definição da frequência de amostragem nos parâmetros.

• Plotar a resposta de magnitude e de fase dos filtros

• Aumentar o número de polos e zeros dos filtros e observar o comportamento

Avaliação 2 - Transformada Z

Os conteúdos referentes à segunda parte da disciplina (capítulo 5 do Lathi) serão avaliados através de uma prova.

• Arquivo:PSD20706-Prova2.pdf

Resultados - Clicar no "+" para expandir

Análise de Fourier de Sinais em Tempo Discreto

Referência: Capítulo 9 do Livro do Lathi, pg. 738.

Série de Fourier de Tempo Discreto

Periodicidade de uma senoide discreta

Uma senoide discreta $\cos(\Omega _{0}n)$ é periódica com período inteiro $N_{0}$ se $\cos[\Omega _{0}(n+N_{0})]=\cos(\Omega _{0}n)$. Esta equação é verdadeira quando $\Omega _{0}N_{0}=2\pi m$, com $m$ inteiro. Assim, a senoide $\cos(\Omega _{0}n)$ será periódica se:

Conjunto dos números reais [fonte: Wikipedia]

${\frac {\Omega _{0}}{2\pi }}={\frac {m}{N_{0}}}={}$ um número racional (representado pela divisão de dois números inteiros)

O Período Fundamental da senoide será então:

$N_{0}=m\left({\frac {2\pi }{\Omega _{0}}}\right)$

sendo $\Omega _{0}$ a Frequência Fundamental da senoide e $m$ o menor inteiro que faz $N_{0}$ um número inteiro.

Definição da Série de Fourier de Tempo Discreto

A Série de Fourier de Tempo Discreto é constituída pela soma de exponenciais complexas e discretas, com frequências múltiplas da frequência fundamental:

$e^{j0n},e^{\pm j\Omega _{0}n},e^{\pm j2\Omega _{0}n},e^{\pm j3\Omega _{0}n},\ldots$

Mas como:

$g_{r+N_{0}}=e^{j(r+N_{0})\Omega _{0}n}=e^{j(r\Omega _{0}n+N_{0}\Omega _{0}n)}=e^{j(r\Omega _{0}n+2\pi n)}=e^{jr\Omega _{0}n}=g_{r}$

A Série de Fourier de Tempo Discreto é finita, com $N_{0}$ termos.

A Série de Fourier de Tempo Discreto é definida por:

$x[n]=\sum _{r=0}^{N_{0}-1}D_{r}e^{jr\Omega _{0}n}$

onde $D_{r}$ é o coeficiente associado à frequência angular $r\Omega _{0}$, definido por:

$D_{r}={\frac {1}{N_{0}}}\sum _{k=0}^{N_{0}-1}x[k]e^{-jr\Omega _{0}k}$

Espectro de Fourier de um Sinal Discreto

Espectro de Fourier de um Sinal Discreto

A Série de Fourier tem $N_{0}$ componentes:

$D_{0},D_{1}e^{j\Omega _{0}n},D_{2}e^{j2\Omega _{0}n},\ldots ,D_{N_{0}-1}e^{j(N_{0}-1)\Omega _{0}n}$

onde $0,\Omega _{0},2\Omega _{0},\ldots ,(N_{0}-1)\Omega _{0}$ as frequências de cada componente. Considerando que $D_{r}$ é em geral complexo, na forma

$D_{r}=|D_{r}|e^{j\angle {D_{r}}}$

Pode-se então fazer um gráfico relacionando o módulo e a fase de $D_{r}$ com a frequência do termo. Este é o Espectro de Fourier do sinal.

Códigos Matlab desenvolvidos

*  Periodicidade_senoide.m
*  Espectro_Fourier.m -- Simples
*  ExemploC9_2.m
*  Espectro_Fourier_3D.m
*  Espectro_Fourier_3D_onda_quadrada.m

Exercícios (Lathi)

* Exemplo 9.2, pg. 745
* Exercício E9.2, pg. 744
* Exercício 9.1-1, 9.1-4, 9.1-5 e 9.1-6, pg. 783

Transformada de Fourier de Tempo Discreto

As Séries de Fourier de Tempo Discreto permitem descrever sinais discretos periódicos através da soma de exponenciais complexas. Quando o sinal é aperiódico a utilização da série é inviabilizada. A extensão da análise de Fourier para sinais discretos aperiódicos é feita da mesma forma que no mundo contínuo, formando um sinal aperiódico a partir de um sinal periódico com período infinito.

Sendo assim, o par de Transformadas de Fourier é definido como:

$x(\Omega )=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]e^{-j\Omega n}\Rightarrow {}$ Transformada Direta

$x[n]={\frac {1}{2\pi }}\int _{2\pi }X(\Omega )e^{j\Omega n}d\Omega \Rightarrow {}$ Transformada Inversa

Informações relevantes

• Espectro é uma função contínua de $\Omega$
• Espectro é uma função periódica de $\Omega$:

$X(\Omega +2\pi )=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]e^{-j(\Omega +2\pi )n}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]e^{-j\Omega n}e^{-j2\pi n}=X(\Omega )$

Direita

Espectro Periódico X Amostrado

• Sinal periódico:

• Séries de Fourier
• Espectro discreto (harmônicas)

• Sinal aperiódico:

• Espectro contínuo

• Sinal discreto (amostrado)

• Espectro periódico (repetido a cada $f_{s}$ Hz ou $2\pi$)

• Sinal contínuo

• Espectro aperiódico

Exercícios (Lathi)

* Exemplo 9.3, pg. 752
* Exemplo 9.4, pg. 753
* Exemplo 9.5, pg. 754
* Exemplo 9.6, pg. 756
* Exercício E9.4 e E9.5, pg. 756

Laboratório de Transformada de Fourier

• Criação de sinais digitais no Matlab.
• Funções do Matlab apresentadas:

linspace() - função utilizada para criar vetores em intervalos lineares
fft()      - função que calcula a transformada de Fourier
fftshift() - função auxiliar no trabalho com a transformada de Fourier

Código executado em sala

Código gerador de um sinal senoidal clear all; close all % Amostragem fs = 5000; ts = 1/fs; % Numero de amostras do seno N = 10000; % Criando o vetor de tempo n = 0:N-1; t = linspace(0,(N-1)*ts,100000); % Criando o vetor de frequencia f = linspace(-fs/2,fs/2,N); % Parametros dos senos - cada elemento do vetor % irá criar um seno diferente, e todos serao somados A = [1 0.5 0.25 0.5]; fo = [50 200 450 900]; % Hz % Iniciando o sinal sinal = zeros(size(n)); sinal_plot = zeros(size(t)); for ii = 1:length(A) % Gerando o sinal senoidal sinal = sinal + A(ii) * sin(2*pi*fo(ii)*n*ts); sinal_plot = sinal_plot + A(ii) * sin(2*pi*fo(ii)*t); end % Exibindo o sinal no tempo figure stem(n*ts,sinal,'Marker','none') hold on plot(t,sinal_plot,'k') xlabel('Tempo [s]') ylabel('Sinal') % Tirando a transformada de fourier espectro = (2/N)*fft(sinal); % Exibindo o sinal na frequencia figure plot(f,fftshift(abs(espectro))) % Tocando o sinal na caixa de som sound(sinal,fs) Códigos auxiliares para a avaliação %% Receber tecla do usuário % % Tecla digitada está armazenada na variável "x", como um texto x = input('Digite uma tecla > ','s'); display(['A tecla digitada foi: ' x]) %% Juntando os dois códigos % % Usar CTRL+c para interomper while true x = input('Digite uma tecla > ','s'); display(['A tecla digitada foi: ' x]) end %% Controlando a execução do laço % % Usar a tecla "q" para sair do laço % Iniciando o "x" x = ' '; while x ~= 's' x = input('Digite uma tecla > ','s'); display(['A tecla digitada foi: ' x]) end %% Estrutura de teste % mynumber = input('Enter a number: '); switch mynumber case 1 disp(' Digitou 1'); case 2 disp(' Digitou 2'); case 3 disp(' Digitou 3'); case 4 disp(' Digitou 4'); case 5 disp(' Digitou 5'); case 6 disp(' Digitou 6'); case 7 disp(' Digitou 7'); case 8 disp(' Digitou 8'); case 9 disp(' Digitou 9'); otherwise disp(' Other value'); end

Avaliação 3 - Trabalho sobre Transformada de Fourier

• 2016-2 - Descrição do trabalho

• Áudio da palestra

Laboratório de Processamento Digital de Imagens

Este laboratório é uma apresentação da Área de Processamento Digital de Imagens. É baseado em alguns materiais de alunos do professor Manuel Menezes de Oliveira Neto (página), da UFRGS. (Colorização)

• Descrição das atividades

• Imagens para as simulações
• Variáveis criadas no dia 3/11

Filtros Digitais

Referência: Capítulo 4, 5 e 6 do Livro do Shenoi.

Introdução aos Filtros Digitais

As respostas clássicas de filtros analógicos também se aplicam aos filtros digitais:

Respostas em Magnitude ideais de filtros

Os filtros digitais são sistemas descritos por equações diferenças, que na sua forma genérica é:

$y[n]+a_{1}y[n-1]+a_{2}y[n-2]+...+a_{N}y[n-N]=b_{0}x[n]+b_{1}x[n-1]+b_{2}x[n-2]+...+b_{N}x[n-N]$

A Função de Transferência dos filtros digitais é encontrada via Transformada Z:

$H[z]={\frac {\sum _{k=0}^{N}b_{k}z^{-k}}{\sum _{l=0}^{N}a_{l}z^{-l}}}$

Fazendo $z=e^{j\Omega }$, obtemos a Resposta em Frequência do filtro:

$H[e^{j\Omega }]={\frac {\sum _{k=0}^{N}b_{k}e^{-j\Omega k}}{\sum _{l=0}^{N}a_{l}z^{-j\Omega l}}}$

Nota-se que $H[e^{j\Omega }]$ é um número complexo, que pode então ser descrito na forma polar:

$H[e^{j\Omega }]=M_{H}e^{F_{H}}$

onde $M_{H}=|H[e_{}^{j\Omega }]|$ é o módulo da resposta em frequência (Resposta de Magnitude) e $F_{H}=\angle {H[e^{j\Omega }]}$ é a fase da resposta em frequência (Resposta de Fase).

O processo de filtragem de um sinal por um filtro digital é descrito através da operação de convolução. "Filtrar" um sinal significa realizar a convolução da resposta ao impulso do filtro com o sinal em questão:

$y[n]=h[n]*x[n]$

Que no domínio da frequência é:

$Y[e^{j\Omega }]=H[e^{j\Omega }]X[e^{j\Omega }]$

ou:

$Y[e^{j\Omega }]=|H[e^{j\Omega }]|\times |X[e^{j\Omega }]|e^{\angle {H[e^{j\Omega }]}+\angle {X[e^{j\Omega }]}}$

Ou seja, o espectro de magnitude do sinal filtrado é o produto do espectro de magnitude do sinal original pela resposta de magnitude do filtro, enquanto que o espectro de fase do sinal filtrado é a soma do espectro de fase do sinal original pela resposta de fase do filtro.

Filtros FIR e IIR

Os filtros FIR e IIR serão apresentados através dos dois seguintes exemplos:

Exemplos

• $y[n+2]-5y[n+1]+6y[n]=3x[n+1]+5x[n]$, tendo como condições iniciais $y[-1]={\frac {11}{6}}$ e $y[-2]={\frac {37}{36}}$, e sinal de entrada $x[n]=\delta [n]$

O resultado deste exemplo é $y[n]={\frac {5}{6}}\delta [n]+{\frac {23}{2}}2^{n}u[n]+{\frac {46}{3}}3^{n}u[n]$

• $y[n]=3x[n-1]+5x[n-2]$, com sinal de entrada $x[n]=\delta [n]$

O resultado deste exemplo é $y[n]=3\delta [n-1]+5\delta [n-2]$

É visível que há diferenças nos resultados dos exemplos. No primeiro exemplo, o sinal de saída inicia em $0$ e se estende até o infinito, dado que não há nenhuma limitação no tempo na equação. Já no segundo exemplo, o sinal de saída é limitado a existir apenas nos instantes $1$ e $2$. Sendo assim, temos no primeiro exemplo um sinal de duração infinita e no segundo um sinal de duração finita. Como o sinal de entrada dos sistemas é um impulso ($\delta [n]$), os sinais em questão são as respostas ao impulso dos respectivos sistemas.

Sendo assim, os filtros são classificados numa das duas formas:

• Filtros com Resposta ao Impulso Finita (FIR - Finite Impulse Response)
• Filtros com Resposta ao Impulso Infinita (IIR - Infinite Impulse Response)

Filtros FIR janelados

A resposta de magnitude ideal de um filtro passa baixas pode ser descrita através da seguinte equação:

$|H_{\text{LP}}[e^{j\Omega }]|=\left\{{\begin{matrix}1,&{\mbox{se }}|\Omega |\leq \Omega _{c}\\0,&{\mbox{se }}|\Omega |>\Omega _{c}\end{matrix}}\right.$

Ao calcular a transformada inversa de Fourier da resposta em questão, o seguinte sinal é obtido:

$h_{\text{LP}}[n]={\frac {\Omega _{c}}{\pi }}\mathrm {sinc} (\Omega _{c}n)$

ou de outra forma:

$h_{\text{LP}}[n]=\left\{{\begin{matrix}{\frac {\Omega _{c}}{\pi }},&n=0\\{\frac {\sin(\Omega _{c}n)}{\pi n}},&n\neq 0\end{matrix}}\right.$

Para outros filtros:

• Filtro passa altas:

$h_{\text{HP}}=\left\{{\begin{matrix}1-{\frac {\Omega _{c}}{\pi }},&n=0\\-{\frac {\sin(\Omega _{c}n)}{\pi n}},&n\neq 0\end{matrix}}\right.$

• Filtro passa faixa:

$h_{\text{BP}}[n]={\begin{cases}{\dfrac {\Omega _{c_{2}}-\Omega _{c_{1}}}{\pi }},&n=0\\{\dfrac {1}{\pi n}}{\big [}\sin(\Omega _{c_{2}}n)-\sin(\Omega _{c_{1}}n){\big ]},&n\neq 0.\end{cases}}$

• Filtro rejeita faixa:

$h_{\text{BS}}[n]={\begin{cases}1-{\dfrac {\Omega _{c_{2}}-\Omega _{c_{1}}}{\pi }},&n=0\\{\dfrac {1}{\pi n}}{\big [}\sin(\Omega _{c_{1}}n)-\sin(\Omega _{c_{2}}n)],&n\neq 0.\end{cases}}$

Observação: Todas essas equações consideram o uso de uma frequência de amostragem $f_{s}=1$. Caso uma outra frequência de amostragem seja utilizada, cuidar com as seguintes situações:

• A distância entre as amostras não serão de uma unidade. Assim, sempre que o termo $n$ aparecer, este deve ser substituído por $n\times t_{s}$. Com isso, a distância entre as amostras irá depender da frequência de amostragem utilizada.
• No filtro rejeita faixa, o termo em $1$ da subtração $1-{\frac {\Omega _{c_{2}}-\Omega _{c_{1}}}{\pi }}$ deve ser substituído pela frequência de amostragem, ficando a equação $f_{s}-{\frac {\Omega _{c_{2}}-\Omega _{c_{1}}}{\pi }}$

Estas são as respostas ao impulso dos filtros ideais. Uma questão importante destas respostas é que elas são ilimitadas no tempo, ou seja, possuem duração infinita. Para que estas repostas sejam realizáveis através de filtros FIR, é necessário limitar o número de amostras da resposta ao impulso $h_{\text{LP}}$:

$h_{{\text{LP}}_{M}}[n]=\left\{{\begin{matrix}h_{\text{LP}}[n],&|n|\leq M\\0,&{\text{fora}}\end{matrix}}\right.$

ou seja, amostras fora do intervalo $-M\leq n\leq M$ são descartadas.

Impacto do truncamento da resposta ao impulso.

Um filtro passa baixas truncado não possui mais a resposta em frequência ideal, já que para obter aquela resposta seriam necessárias infinitas amostras. Considerando que o truncamento pode ser representado pela multiplicação da resposta ao impulso original por uma janela retangular:

$w_{R}[n]=\left\{{\begin{matrix}1,&|n|\leq M\\0,&{\text{fora}}\end{matrix}}\right.$

a resposta em frequência do filtro truncado será a convolução da resposta em frequência ideal do fitro pela transformada de fourier da janela retangular utilizada no truncamento da resposta. Ou:

$H_{{\text{LP}}_{M}}[e^{j\Omega }]=H_{\text{LP}}[e^{j\Omega }]*W_{R}[e^{j\Omega }]$

onde $W_{R}[e^{j\Omega }]$ é a transformada de Fourier da janela retangular:

$W_{R}[e^{j\Omega }]=2M\mathrm {sinc} (\Omega M)$

A janela retangular não é a única opção de truncamento disponível. A seguir, as principais janelas serão apresentadas:

Janela de Bartlett.

• Bartlett (triangular):

$w_{\text{bar}}[n]=\left\{{\begin{matrix}1-{\frac {|n|}{M+1}},&|n|\leq M\\0,&{\text{fora}}\end{matrix}}\right.$

Janela de Hanning.

• Hann:

$w_{\text{han}}[n]=\left\{{\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\times [1+\cos({\frac {2\pi n}{2M+1}})],&|n|\leq M\\0,&{\text{fora}}\end{matrix}}\right.$

Janela de Hamming.

• Hamming:

$w_{\text{ham}}[n]=\left\{{\begin{matrix}0.54+0.46\times \cos({\frac {2\pi n}{2M+1}}),&|n|\leq M\\0,&{\text{fora}}\end{matrix}}\right.$

Janela de Blackman.

• Blackman:

$w_{\text{bla}}[n]=\left\{{\begin{matrix}0.42+0.5\times \cos({\frac {2\pi n}{2M+1}})+0.08\times \cos({\frac {4\pi n}{2M+1}}),&|n|\leq M\\0,&{\text{fora}}\end{matrix}}\right.$

Os impactos do uso destas e muitas outras janelas podem ser vistos no Matlab, na ferramenta fdatool. Para mais informações, ver Link.

Códigos Matlab desenvolvidos

*  Simulação.m
*  u.m
*  d.m

A janela Kaiser

Máxima variação nas bandas de rejeição e passagem.

Máxima variação na transição entre as bandas.

Nas janelas anteriores não há um controle sobre a resposta em frequência dos filtros. Visando obter tal controle, a janela de Kaiser foi desenvolvida.

Na janela de Kaiser, o parâmetro $\delta$ é utilizado para indicar a máxima flutuação da resposta nas bandas de rejeição e passagem, assim como o parâmetro $\Delta \omega$ indica a taxa de transição entre as duas bandas. Desta forma têm-se um controle total sobre a resposta em frequência do filtro.

Para encontrar a resposta ao impulso da Janela de Kaiser, deve-se seguir os passos:

• $\alpha _{s}=-20\log _{10}^{}(\delta )$
• $\beta =\left\{{\begin{array}{lc}0,1102(\alpha _{s}-8,7),&\alpha _{s}>50\\0,5842(\alpha _{s}-21)^{0,4}+0,07886(\alpha _{s}-21),&21\leq \alpha _{s}\leq 50\\0,&\alpha <21\end{array}}\right.$
• Número de amostras da resposta ao impulso ${}=N=2M={\frac {\alpha _{s}-8}{2,285\Delta \omega }}$
• Janela de Kaiser:

$w[n]={\frac {{\text{I}}_{0}\left\{\beta {\sqrt {1-({\frac {n}{M}})^{2}}}\right\}}{{\text{I}}_{0}\left\{\beta \right\}}}$

onde:

${\text{I}}_{0}\{x\}=1+\sum _{k=1}^{\infty }\left[{\frac {({\frac {x}{2}})^{k}}{k!}}\right]^{2}={}$ Função de Bessel de ordem zero modificada (para fazer no Matlab, ver função besseli)

Laboratório de Filtros Digitais

• Descrição das atividades - Parte 1
• Descrição das atividades - Parte 2

• Arquivo de áudio

Avaliação 4 - Filtros Digitais

• 2016-2 - Descrição das atividades

Semestres anteriores - Clicar no "+" para expandir

2014-2 a 2016-1 - Descrição das atividades Sinais de áudio 2014-1 A avaliação 4 será feita através de um trabalho em grupo. A descrição do trabalho encontra-se no Link. Para a parte 3, utilizar o arquivo de áudio disponível aqui. Como combinado faremos 4 equipes (digitem o nome dos alunos das equipes): Equipe 1: Luana, Thiago e Wagner Equipe 2: Thiego e Muriel Equipe 3: Renan Equipe 4: Leonardo, Renan Gonçalves, Ricardo

Avaliações de Recuperação

Avaliações semestres anteriores - Clicar no "+" para expandir

Como acordado no dia 29/11, as avaliações de recuperação serão realizadas após a aula, às 17:30, pela seguinte programação: Dia 12/12 - Quinta-feira - 18:30-20:20 - Recuperação da avaliação 2 - Transformada Z Dia 17/12 - Terça-feira - 15:30-17:30 - Recuperação da avaliação 1 - Sinais e sistemas em tempo discreto Os trabalhos terão como data limite o seguinte: Trabalho 1 - DTMF: Agendar horário de apresentação até sexta-feira, 13/12 Trabalho 2 - Filtros: Entregar código e relatório até segunda-feira, 16/12