Parâmetros secundários da linha de transmissão

A partir da equação da onda viajante obtemos os parâmetros secundários da linha de transmissão. Esses parâmetros são assim chamados pois dependem dos parâmetros primários (R, L. C, G). Os estudos de linha de transmissão e as informações sobre as características de uma determinada linha são, geralmente, são baseados nos parâmetros secundários

As equações para as ondas viajantes de tensão e corrente de uma linha de transmissão são:

$v(z,t)=V_{o}^{+}e^{-\alpha z}cos(wt-\beta z)+V_{o}^{-}e^{\alpha z}cos(wt+\beta z)$ (1)

$i(z,t)=I_{o}^{+}e^{-\alpha z}cos(wt-\beta z)+I_{o}^{-}e^{\alpha z}cos(wt+\beta z)$ (2)

Constante de propagação, atenuação e fase γ, α e &beta

Observando a constante α nas duas equações percebemos que a mesma determina o decréscimo dos módulos da tensão e da corrente em função da progressão da onda ao longo da linha. α é definida como constante de atenuação da linha de transmissão . Sua unidade é o dB/unidade de comprimento (dB/Km, dB/m) ou o Np/unidade de comprimento (Np/Km, Np/m)

Por sua vez β determina a mudança da fase em função da progressão da onda ao longo da linha. β é definida como constante de fase da linha de transmissão . Sua unidade é rad/unidade de comprimento (rad/Km, rad/m) ou graus/unidade de comprimento ($^{o}/Km,^{o}/m$)

Como nos passos de dedução das equações das ondas viajantes, α e β foram definidas em função de γ:

$\gamma ={\sqrt {(R+jwL)(G+jwC)}}=\alpha +j\beta$

É evidente a sua relação com os parâmetros R, L, G e C. A constante γ é denominada de constante de propagação, uma vez que é obtida das duas constantes de atenuação e fase .

Velocidade de propagação Vp

A velocidade de propagação da onda no linha de transmissão pode ser obtida analisando a velocidade com que um valor fixo de fase se desloca no tempo. Da equação da onda viajante de tensão, separando apenas a parte da onda incidente:

$v(z,t)^{+}=V_{o}^{+}e^{-\alpha z}cos(wt-\beta z)$

observamos que a fase num determinado ponta da linha é dada por:

$wt-\beta z$ (3)

Analisando a função (3) para uma fase constante, temos:

$wt-\beta z=K$

derivando em relação ao tempo os dois lados da expressão acima:

${\partial (wt-\beta z) \over \partial t}={\partial K \over \partial t}$

a derivada de uma constate é 0 e ficamos com:

$w-\beta {\partial z) \over \partial t}=0$

$Vp={w \over \beta }$ (4)

A equação 4 mostra a relação da velocidade de propagação da onda com a constante &beta e a frequência angular do sinal.

Sabendo que:

$w=2\pi f$ e $\beta ={2\pi \over \lambda }$ esta segunda expressão obtida a partir de uma regra de três

temos:

$Vp={2\pi f \over {2\pi \over \lambda }}$

$Vp=f.\lambda$ (5) a equação da velocidade da onda num meio.

Observe que a mesma equação para a velocidade de propagação seria obtida considerando $v(z,t)^{-}$, apenas com o sinal negativo. Este sinal indica o sentido inverso da direção de propagação da onda $v(z,t)^{-}$

Impedância Característica Zo

A impedância característica de uma linha de transmissão, Zo , é definida como a relação entre a onda de tensão positiva $V^{+}$ e a onda de corrente positiva $I^{+}$.

$Z_{o}={V^{+} \over I^{+}}$

Podemos dizer também que Zo é a impedância vista por uma fonte quando conectada em uma linha infinita. Como a linha é infinita não haverá uma onda de tensão negativa $V^{-}$, o que recai no valor de Zo sendo definido como a relação entre a onda de tensão positiva $V^{+}$ e a onda de corrente positiva $I^{+}$.

Se substituirmos numa das equações telegráficas os valores de v e i pelas equações das ondas viajantes de tensão e corrente na forma fasorial, podemos obter a relação entre Zo e os parâmetros primários da linha de transmissão.

As equações das ondas viajantes na forma fasorial pode ser escrita como:

$V(z)=V_{o}^{+}e^{-\gamma z}+V_{o}^{-}e^{\gamma z}$

$I(z)=I_{o}^{+}e^{-\gamma z}+I_{o}^{-}e^{\gamma z}$

Substituindo na primeira equação telegráfica:

${\partial V(z) \over \partial z}=-(R+jwL)I(z)$

temos

${\partial (V_{o}^{+}e^{-\gamma z}+V_{o}^{-}e^{\gamma z}) \over \partial z}=-(R+jwL)(I_{o}^{+}e^{-\gamma z}+I_{o}^{-}e^{\gamma z})$ (6)

obtendo a derivada do lado esquerdo da equação (6):

$-\gamma V_{o}^{+}e^{-\gamma z}+\gamma V_{o}^{-}e^{\gamma z}=-(R+jwL)(I_{o}^{+}e^{-\gamma z}+I_{o}^{-}e^{\gamma z})$ (7)

para a igualdade ser verdadeira em (7) os termos com $e^{-\gamma z}$ nos dois lados devem ser iguais, assim como os termos com $e^{\gamma z}$.

igualando os termos com $e^{-\gamma z}$ temos:

$-\gamma V_{o}^{+}e^{-\gamma z}=-(R+jwL)I_{o}^{+}e^{-\gamma z}$

${V_{o}^{+}e^{-\gamma } \over I_{o}^{+}e^{-\gamma z}}={-(R+jwL) \over -\gamma }$

$Z_{o}={V_{o}^{+} \over I_{o}^{+}}={(R+jwL) \over {\sqrt {(R+jwL)(G+jwC)}}}$

$Z_{o}={\sqrt {(R+jwL) \over (G+jwC)}}$ (8)

Resumo dos parâmetros secundários

constante de propagação

$\gamma ={\sqrt {(R+jwL)(G+jwC)}}$

$\alpha +j\beta$

constante de atenuação

α - atenuação da linha por unidade de comprimento

Np/Km, Np/m, dB/Km, dB/m

1Np = 8,686 dB

constante de fase

β - defasagem da linha por unidade de comprimento

$\beta ={2\pi \over \lambda }$

rad/Km, rad/m, $^{o}/Km,^{o}/m$

velocidade de propagação

$Vp={w \over \beta }$

$Vp=f.\lambda$

impedância característica

$Z_{o}={V^{+} \over I^{+}}$

$Z_{o}={\sqrt {(R+jwL) \over (G+jwC)}}$