PSD29007-Engtelecom(2020-2) - Prof. Marcos Moecke

Unidade 1

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Aula 1 (10 nov) APRESENTAÇÃO DA DISCIPLINA Nesta página será atualizado a cada aula o REGISTRO DIÁRIO E AVALIAÇÕES. A PÁGINA DA DISCIPLINA contem os materiais gerais de referência e consulta. Para a realização e entrega das atividades será utilizada a PLATAFORMA MOODLE. Chave para auto inscrição (engtelecom2020-2) Durante a pandemia do COVID19 os encontros síncronos serão realizados através da plataforma Google Meet. Os encontros (havendo a concordância de todos) serão gravados, e ocorrerão nos horários normais das aulas. As aulas terão duração de 1h20 minutos com possibilidade de ainda acrescer 20 minutos previstos para esclarecimento de dúvidas. As gravações ficarão disponíveis por 30 dias no Drive do aluno, mas não poderão ser baixadas por limitação do sistema. Além dos horários de aula síncrona, serão agendados horários de ATENDIMENTO EXTRACLASSE para que os alunos possam tirar dúvidas da disciplina ou das ferramentas de ensino. Para a comunicação entre professor-aluno, além dos avisos do SIGAA, utilizaremos a plataforma SLACK. Sugere-se que os alunos também a utilizem para comunicação entre eles, principalmente nos trabalhos em equipe. Nas aulas de PSD utilizaremos desde o inicio o Matlab e no final o Simulink e HDL Coder. Para facilitar o acesso foi disponibilizada uma VM com essa plataforma para vocês. No inicio vocês podem usar normalmente a nuvem do IFSC, mas quando forem usar o Simulink, a VM tem melhor desempenho, então recomendo que baixem a VM e instalem em seu computador. A página da wiki com as orientações para instalação e uso é Teste de VM para uso pelos alunos no ensino remoto#VM Matlab Aula 2 a 4 (12, 17, 19 nov) Transformadas de Fourier Aula 5 e 6 (24, 26 nov) Revisão de Sinais e Sistemas no tempo discreto em Matlab: Explorar a interface do Matlab. Funções de visualização das variáveis no workspace. Execução de instruções passo a passo. Escrita de script .m Uso da execução das seções de um script. Incremento de valor e execução. EXEMPLOS: Leia com atenção e execute o exemplo (Moving-Avarage Filter) na página de help da função filter. Revisão de Sinais e Sistemas no tempo discreto em Matlab: Leia com atenção o help Using FFT, abra o script clicando no botão [Open this Example]. Execute o script seção após seção. Note o uso da fft para determinar a frequência das manchas solares. Para melhorar o desempenho no Matlab recomendo que leiam a pagina do Help, . Também gostaria de lembra-los que a tecla F9 executa o código destacado no Help. Programação com scripts .m. Leia sobre manchas solares para entender o que são os dados do segundo exemplo. Sinais no dominio do tempo e dominio da frequencia. Uso da função fft Exemplo de uso da FFT %% Signal in Time Domain % Use Fourier transforms to find the frequency components of a signal buried in noise. % Specify the parameters of a signal with a sampling frequency of 1 kHz and a signal duration of 1.5 seconds Fs = 1000; % Sampling frequency T = 1/Fs; % Sampling period L = 1500; % Length of signal t = (0:L-1)*T; % Time vector % Form a signal containing a 50 Hz sinusoid of amplitude 0.7 and a 120 Hz sinusoid of amplitude 1. S = 0.7*sin(2*pi*50*t) + sin(2*pi*120*t); % Corrupt the signal with zero-mean white noise with a variance of 4. X = S + 2*randn(size(t)); % Plot the noisy signal in the time domain. It is difficult to identify the frequency components by looking at the signal X(t). subplot(311); plot(1000*t(1:200),X(1:200), 'b') title('Signal Corrupted with Zero-Mean Random Noise') xlabel('t (milliseconds)') ylabel('X(t)') hold on plot(1000*t(1:200),S(1:200),'r') hold off % Signal in Frequency Domain % Compute the Fourier transform of the signal. Y = fft(X); % Compute the two-sided spectrum P2. Then compute the single-sided spectrum P1 based on P2 and the even-valued signal length L. P2 = abs(Y/L); P1 = P2(1:L/2+1); P1(2:end-1) = 2*P1(2:end-1); A2 = angle(Y); A1 = A2(1:L/2+1); % Define the frequency domain f and plot the single-sided amplitude spectrum P1. % The amplitudes are not exactly at 0.7 and 1, as expected, because of the added noise. % On average, longer signals produce better frequency approximations. f = Fs*(0:(L/2))/L; subplot(3,1,2); plot(f,P1, 'b') title('Single-Sided Amplitude Spectrum of X(t)') xlabel('f (Hz)') ylabel('|P1(f)|') hold on % Now, take the Fourier transform of the original, uncorrupted signal and retrieve the exact amplitudes, 0.7 and 1.0. Y = fft(S); P2 = abs(Y/L); P1 = P2(1:L/2+1); P1(2:end-1) = 2*P1(2:end-1); plot(f,P1, 'r') title('Single-Sided Amplitude Spectrum of S(t)') xlabel('f (Hz)') ylabel('|P1(f)|') hold off % Angulo / fase subplot(3,1,3); plot(f,A1) %ylim([0 1.05]) title('Single-Sided Phase Spectrum of X(t)') xlabel('f (Hz)') ylabel('phase(f)') Amostragem de Sinais (Experimento 1.2) Relembrar teorema da amostragem. Efeito da amostragem abaixo da frequência de Nyquist. Aliasing. Notar que as amostras de um sinal $s_{1}(t)=cos(2\pi \times 3t)$ (3 Hz) e um sinal $s_{2}(t)=cos(2\pi \times 7t)$ (7 Hz) são idênticas quando amostrado com um sinal de 10 Hz. Experimento 1.2 % Exemplos e Experimentos baseados no livro: % DINIZ, P. S. R., DA SILVA, E. A. B., e LIMA NETTO, S. Processamento Digital de Sinais: Projeto e Análise de Sistemas. 2. ed. Porto Alegre: Bookman, 2014. 976 p. ISBN 978-8582601235. %% Experimento 1.2 fs = 10; % frequencia (Hz) de amostragem dos sinais Ts = 1/fs; fase = 0; time = 0:Ts:(1-Ts); f1 = 3; % frequencia (Hz) do sinal s_1 f2 = 7; % frequencia (Hz) do sinal s_2 s_1 = cos(2*pi*f1*time+fase); s_2 = cos(2*pi*f2*time+fase); fsa = 1000; % frequência auxiliar de amostragem usada apenas para representação dos sinais originais Tsa = 1/fsa; time_aux = 0:Tsa:(1-Tsa); figure(1); stem(time,s_1,'ob'); hold on; plot(time_aux, cos(2*pi*f1*time_aux+fase),'--k'); stem(time,s_2,'+r'); plot(time_aux, cos(2*pi*f2*time_aux+fase),'--m'); hold off; legend('s_1 discreto','s_1 contínuo','s_2 discreto','s_2 contínuo') DICAS: No help on-line da Mathworks, usando o botão [Try This Example > Try in your browser], permite executar o código no próprio browser sem ter nenhuma instalação do Matlab. Para verificar que o código realmente é executado mude a amplitude do ruído randômico para 0.1 ou 0.5, insira o comando close all antes da primeira linha, e execute todo o código [Run All] No help do Matlab, usando o botão [Open this Example], é possível executar o código seção a seção. Revisão de Sinais e Sistemas no tempo discreto em Matlab: Filtragem de Sinais (Experimentos 1.3, 2.1 e 2.2) Consulte a documentação do Matlab sobre roots, poly, linspace, logspace, residue, residuez, pretty, latex, freqs, freqz, syms, symfun, zplane. Ver também o Publish para a geração automática de relatórios em html, doc, pdf, latex ou ppt. Ver também Publishing MATLAB Code. Ver pag. 138 a 141 de Variação do Experimento 2.2 % Exemplos e Experimentos baseados no livro: % DINIZ, P. S. R., DA SILVA, E. A. B., e LIMA NETTO, S. Processamento Digital de Sinais: Projeto e Análise de Sistemas. 2. ed. Porto Alegre: Bookman, 2014. 976 p. ISBN 978-8582601235. %% Experimento 2.2 % Resposta em frequencia usando a função freqz N = 1; num = [1 0 0 0]; den = poly([0.8 0.2]) %den = [1 0.6 -0.16]; % modo 1 %[H,w]=freqz(num,den,[0:pi/100:N*pi-pi/100]); %plot(w/pi, abs(H)); % modo 2 %[H,w]=freqz(num,den); %plot(w/pi, abs(H)); % modo 3 %[H,w]=freqz(num, den, 'whole'); %plot(w/pi, abs(H)); % modo 4 freqz(num, den, 'whole'); figure(2); zplane(num,den); %% Resposta em frequencia substituindo z -> e^(jw) syms z Hf(z) = symfun(z^2/(z-0.2)/(z+0.8),z); pretty(Hf) latex(Hf) N = 1; w = [0:pi/100:N*pi-pi/100]; plot(w/pi,abs(Hf(exp(1i*w)))) %title(['$' latex(Hf) '$'],'interpreter','latex') text(0.2,2,['H(z) = ' '$$' latex(Hf) '$$'],'interpreter','latex') xlabel(['w/' '$$' '\pi' '$$'],'interpreter','latex') Verifique a diferença entre os tipos de plots comentados no código. substitua o denominador de H(z) por dois polos em [-0.8 -0.8]. verifique o que ocorre se forem utilizados polos complexos conjugados [0.3-0.4i 0.3+0.4i 0.1] verifique o que ocorre se forem utilizados polos complexos não conjugados [0.3-0.4i 0.3+0.8i] verifique o que ocorre se os polos estiverem fora do circulo unitário [1.2 -0.2]. Interprete este resultado Consulte a documentação do Matlab sobre zeros, ones, plot, stem, subplot, filter. Para usar melhor a interface do Matlab leia também Execução de seções e variação de valores nos scripts, e ainda Uso de gráficos no Matlab. Ver pag. 65 a 71 de Ver também PDF Documentation for MATLAB. Principalmente MATLAB Primer. Aula 7 (1 dez) A filtragem de sinais digitais pode ser realizada de diferentes formas: convolução (y = conv(x,h)), onde x(n) é o sinal de entrada e h(n) é a resposta ao impulso do filtro (sistema linear invariante no tempo), filtragem no domínio do tempo (y = a1.x(n)+ a2.x(n-1)+ .. ak.x(n-k)); no domínio da frequência (y = ifft(fft(x)fft(h)) Variação do Experimento 3.1 %% Variação do Experimento 3.1 do livro: % DINIZ, P. S. R., DA SILVA, E. A. B., e LIMA NETTO, S. Processamento Digital de Sinais: Projeto e Análise de Sistemas. 2. ed. Porto Alegre: Bookman, 2014. 976 p. ISBN 978-8582601235. % FILE: Ex3_1.m % Exemplificando as possiveis formas de realizar a filtragem de um sinal x(n) clc; clear all; close all; %% Definindo valores iniciais Nh = 10; Nx = 20; %Nh = 400; Nx = 10000; x = ones(1,Nx); % A resposta ao impulso de um sistema h(n) % no filtro FIR aos coeficientes b(n) = h(n) h = [1:Nh]; b = h; %% Filtrando o sinal e medindo tempos % OPÇÃO 1 - Filtragem utilizando a convolução % NOTE: length(y) = length(x) + length(h) -1 tic; % iniciar a contagem do tempo y1 = conv(x,h); t(1) = toc; % terminar a contagem e mostrar tempo no console % OPÇÃO 2 - filtragem utilizando a equação recursiva % NOTE: length(y) = length(x) tic; y2 = filter(b,1,x); t(2) = toc; % OPÇÃO 3 - filtragem utilizando a equação recursiva % aumentando o tamanho de x para que length(y3) = length(y1) x3 = [x zeros(1,length(h)-1)]; tic; y3 = filter(h,1,x3); t(3) = toc; length_y = length(x) + length(h) - 1; % OPÇÃO 4 - filtragem utilizando a FFT % a y = IFFT(FFT(x)*FFT(h)) tic; X = fft(x,length_y); H = fft(h,length_y); Y4 = X.*H; y4 = ifft(Y4); t(4) = toc; % OPÇÃO 5 - filtragem utilizando a função fftfilt % a y = IFFT(FFT(x)*FFT(h)) tic y5 = fftfilt(h,x3); t(5) = toc; disp('Comprimento do vetor de saída length(y)') disp([' ' num2str([length(y1) length(y2) length(y3) length(y4) length(y5)])]) disp('Tempo usado na filtragem em micro segundos') disp([' ' num2str(t*1e6) ' us']) %% Plotando o gráfico subplot(411);stem(y1); hold on; stem(y2,'xr'); stem(y3,'+m'); legend('y1', 'y2', 'y3') hold off subplot(412);stem(y1, 'ob');legend('y1') subplot(413);stem(y2, 'xr'); hold on; stem(zeros(size(y1)),'.w');hold off; legend('y2') subplot(414);stem(y3, '+m');legend('y3') Verificar as funções tic e toc Notar a diferença de tempo de processamento entre os processos de filtragem. A situação pode ser muito diferente conforme muda o tamanho do sinal e ordem do filtro (h(n)). Modifique a resposta ao impulso e o sinal de entrada modificando os valores das variáveis de tamanho: Nh = 10, 100, 1000; Nx = 20, 1000, 10000; Em função do sistema operacional e reserva de memória para as variáveis é importante desprezar a primeira medida de tempo. Realize 3 medidas de tempo para cada uma das 5 opções de filtragem, com pelo menos duas combinações de comprimento Nh e Nx. Verifique o tempo de processamento usando a instrução profile profile on Após ativar o profiler, execute o programa e veja o tempo total do script e de cada função chamada. profile viewer Execute no Matlab o código abaixo, e analise os 3 filtros implementados através dos seus zeros e polos. Busque tirar conclusões sobre a influência da posição dos polos e zeros (ver o gráfico do plano z) e correlacione com a resposta de frequência em magnitude (gráfico do freqz). Variação do Experimento 2.3 %% Experimento 2.3 - Filtros Digitais % Exemplos e Experimentos baseados no livro: % DINIZ, P. S. R., DA SILVA, E. A. B., e LIMA NETTO, S. Processamento Digital de Sinais: Projeto e Análise de Sistemas. 2. ed. Porto Alegre: Bookman, 2014. 976 p. ISBN 978-8582601235. % FILE: Exp2_3.m %% 1º filtro p1 = 0.9*exp(1j*pi/4); Z = [1 -1 ]'; P = [p1 p1']'; [num,den] = zp2tf(Z,P,1); [h,w] = freqz(num,den); figure(1); plot(w,abs(h)/max(abs(h))); figure(2); zplane(num,den); %% 2º filtro z1 = exp(1j*pi/8); z2 = exp(1j*3*pi/8); p1 = 0.9*exp(1j*pi/4); Z = [1 -1 z1 z1' z2 z2']'; P = [p1 p1' p1 p1' p1 p1']'; [num,den] = zp2tf(Z,P,1); [h,w] = freqz(num,den); figure(1); plot(w,abs(h)/max(abs(h))); figure(2); zplane(num,den); %% 3º filtro z1 = exp(1j*pi/8); z2 = exp(1j*3*pi/8); p1 = 0.99*exp(1j*pi/4); p2 = 0.9*exp(1j*pi/4 - 1j*pi/30); p3 = 0.9*exp(1j*pi/4 + 1j*pi/30); Z = [1 -1 z1 z1' z2 z2']'; P = [p1 p1' p2 p2' p3 p3']'; [num,den] = zp2tf(Z,P,1); [h,w] = freqz(num,den); figure(1); plot(w,abs(h)/max(abs(h))); figure(2); zplane(num,den);

Unidade 2 - Filtros IIR

Unidade 2 - Filtros IIR

Aula 8 (3 dez) Conceitos Gerais sobre Filtros Analógicos Função de transferência $H(s)={\frac {c_{0}+c_{1}s+c_{2}s^{2}+...+c_{m}s^{m}}{d_{0}+d_{1}s+d_{2}s^{2}+...+d_{n}s^{n}}},m\leq n$ Resposta em frequência: para obter a resposta em frequência é necessário avaliar $H(j\omega )=H(s)\left|{\begin{matrix}\\s=j\omega \end{matrix}}\right.$ $H(j\omega )=\left|H(j\omega )\right|e^{j\phi (\omega )}$ $\left|H(j\omega )\right|^{2}=H(j\omega )H(-j\omega )$ $e^{j2\phi (\omega )}={\frac {H(j\omega )}{H(-j\omega )}}$ O projeto de filtros analógicos é realizado em 2 etapas: projeto de um filtro passa baixas (LP) protótipo normalizado $H(p)$ com frequência de passagem $\Omega _{s}=1$ transformação em frequência para o tipo de filtro (LP, HP, BP ou BS) $H(s)=H(p)\left|{\begin{matrix}\\p=g(s)\end{matrix}}\right.$ Na sequência será mostrado como inicialmente projetar o filtro LP protótipo, e depois as transformações em frequência. No entanto, antes de projetar filtros, vejamos a análise básica de filtros analógicos utilizando o Matlab. Dado um sistema linear invariante no tempo, representado pela função de transferência $H(s)$, obter a resposta de frequência do sistema (Magnitude e Fase). $H(s)={\frac {s+1}{s^{2}+s+5}}$ $H(j\omega )={\frac {s+1}{s^{2}+s+5}}\left|{\begin{matrix}\\s=j\omega \end{matrix}}\right.$ $H(j\omega )={\frac {1+w\,\mathrm {i} }{-w^{2}+w\,\mathrm {i} +5}}$ %%Definição do filtro % Definindo os coeficientes do filtro b = [1 1]; % Numerador a = [1 1 5]; % Denominador % Calculando os zeros (raízes do numerador) e pólos (raízes do denominador) % Método 1 - usando a função tf2zp [z1,p1,k]=tf2zp(b,a) % Método 2 - obtendo as raízes z2 = roots(b); p2 = roots(a); zplane(b,a); %% Obtendo a resposta em frequência % substitituindo a variável complexa s por jw usando a função freqz freqs(b,a); % Usando cálculo simbólico e plotando o gráfico com semilogx syms s w H(s) = (s+1)/(s^2 + s + 5); pretty(H(1j*w)) latex(H(1j*w)) %% ws = logspace(-2, 1, 1000); h = H(1j*ws); subplot(211) plot(ws,abs(h)); grid on; %semilogx(ws,abs(h)); grid on; subplot(212) plot(ws,angle(h)/pi*180); grid on; %semilogx(ws,angle(h)/pi*180); grid on; Para aproximação de magnitude de filtros analógicos o projeto pode usar as aproximações de Butterworth, Chebyshev (tipo 1 ou 2) ou Cauer, mostradas na figura abaixo. Aula 9 e 10 (8 e 10 dez) Projeto de filtros analógicos do tipo Butterworth Os projetos de filtro Butterworth com função de transferência $H_{n}(s)=1/B_{n}(s)$ utilizam os polinômios de Butterworth $B_{n}(s)$ mostrados na tabela a seguir: n Fatores Polinomiais de $B_{n}(s)$ 1 $(s+1)$ 2 $(s^{2}+1.4142s+1)$ 3 $(s+1)(s^{2}+s+1)$ 4 $(s^{2}+0.7654s+1)(s^{2}+1.8478s+1)$ 5 $(s+1)(s^{2}+0.6180s+1)(s^{2}+1.6180s+1)$ 6 $(s^{2}+0.5176s+1)(s^{2}+1.4142s+1)(s^{2}+1.9319s+1)$ 7 $(s+1)(s^{2}+0.4450s+1)(s^{2}+1.2470s+1)(s^{2}+1.8019s+1)$ 8 $(s^{2}+0.3902s+1)(s^{2}+1.1111s+1)(s^{2}+1.6629s+1)(s^{2}+1.9616s+1)$ 9 $(s+1)(s^{2}+0.3473s+1)(s^{2}+s+1)(s^{2}+1.5321s+1)(s^{2}+1.879s+1)$ 10 $(s^{2}+0.3129s+1)(s^{2}+0.9080s+1)(s^{2}+1.4142s+1)(s^{2}+1.7820s+1)(s^{2}+1.9754s+1)$ Proposta de exercício Use os polinômios de Butterworth com ordens de 1 a 10 mostrados na tabela abaixo para obter os filtros . Escolha uma ordem n (entre 5 e 10) Plote a resposta em frequência em escala log da amplitude (em dB) e da fase (em rad/pi). Qual é o ganho do filtro na banda passante? Qual é a frequência de corte (-3dB) do filtro. Qual é o salto de de fase que ocorre em algumas frequências? Qual é o fator de atenuação em dB/decada após a frequência de corte? Faça o diagrama de polos e zeros desse filtro. Procure observar o que ocorre com a posição dos polos do filtro. Calcule o valor do módulo dos pólos. Projeto de filtros analógicos LP protótipo Projeto de filtros analógicos passa baixas (low pass - LP) do tipo Butterworth, considerando: $\omega _{p}$ é a frequência de passagem, $A_{p}=3dB$ é a atenuação em dB na frequência de passagem, $\omega _{s}$ é a frequência de stopband, $A_{s}$ é a atenuação em dB na frequência de stopband. Escalando as frequências em relação a ${\omega _{p}}$, teremos que $\Omega _{s}={\frac {\omega _{s}}{\omega _{p}}}$, e $\Omega _{p}={\frac {\omega _{p}}{\omega _{p}}}=1$ são as frequências de passagem e stopband do filtro protótipo $H(p)$, que tem ganho unitário e frequência de passagem 1. Casos em que o ganho na banda de passagem é $A_{p}=3dB$ Considerando o caso de filtro Butterworth com frequência de passagem ${\Omega _{p}}$ e frequência de stopband (rejeição) de $\Omega _{s}$, com ganho unitário em ${\Omega =0}$ Se considerarmos o caso particular em que na frequência de passagem o ganho (em escala linear) deve ser $G_{p}=1/{\sqrt {2}}=0,707$, que corresponde a um ganho (em escala log) $G_{p}=-3dB$, ou atenuação $A_{p}=3dB$. Obtemos o fator $\epsilon ^{2}={10^{0.1A_{p}}-1}$, ou $\epsilon ={\sqrt {10^{0.1A_{p}}-1}}$, para $A_{p}=3dB$ temos que $\epsilon =1$. Esse fator no caso dos filtros com essa atenuação $A_{p}=3dB$ acaba desaparecendo das equação de projeto. Para atenuações diferentes de 3 dB, ele ajusta a magnitude dos pólos, e afeta a ordem do filtro. Os passos para projetar um filtro analógico Hs(s) são: 0) fazer a normalização da frequência e do ganho. ${\Omega _{p}}=1$, e $\Omega _{s}={\frac {\omega _{s}}{\omega _{p}}}$ para o caso de filtros LP. $A_{p}=-(G_{p}-G_{0})$, $A_{s}=-(G_{s}-G_{0})$. 1) determinar a ordem $n$ do filtro utilizando a equação: $n\geq {\frac {\log(10^{0.1A_{s}}-1)}{2\log \Omega _{s}}}$ 2) e em seguida obter os polos do filtro: $p_{k}=e^{\left[j{\frac {(2k+n-1)}{2n}}\pi \right]},k=1,2,3,...n$ 3) Com os pólos $p_{k}$ botem-se o denominador $D(p)=\prod _{k=1}^{n}\left(p-p_{k}\right)$ da função de transferência do filtro. 4) E assim obtém-se a função de transferência do filtro protótipo $H(p)={\frac {1}{D(p)}}$ 5) Para obter a função de transferência do filtro analógico LP é necessário fazer uma transformação de frequência $H(p)->H(s)$ $H(s)=H(p)\left|{\begin{matrix}\\p={\frac {s}{\omega _{p}}}\end{matrix}}\right.$ 6) Se o ganho na frequência ${\omega =0}$ não for unitário G0, é ainda necessário ajustar o ganho do filtro do fator de ganho. Considerando que o valor do Ganho G0 seja dado em dB, teremos que $20*log10(G_{0(linear)})=G_{0(dB)}$, ou seja $G_{0(linear)}=10^{G_{0(dB)}/20}$ Exemplo Filtro LP Butterworth Projete um filtro Butterworth LP com ganho em $\omega =0$ $G_{topo}=5dB$, frequência de passagem ${\omega _{p}}=1000rad/s$ com ganho no mínimo de $G_{p}=2dB$, frequência de rejeição de $\omega _{s}=5000rad/s$, na qual o ganho deve ser inferior a $G_{s}=-25dB$ dB. Dados de $Hs(s)$, passa-baixas (lowpass-LP) $\omega _{p}=$ $\omega _{s}=$ $G_{topo(dB)}=$ $G_{p(dB)}=$ $G_{s(dB)}=$ Especificações de $Hp(p)$, passa-baixas (lowpass-LP) protótipo $\Omega _{p}=$ $\Omega _{s}=$ $A_{0(dB)}=$ $A_{p(dB)}=$ $A_{s(dB)}=$ Determinação de $Hp(p)$ $\epsilon =$ $n=$ $p_{k}=$ $D(p)=$ $Hp(p)=$ Determinação de $Hs1(s)$ substituindo $p={\frac {s}{\omega _{p}}}$ e corrigindo o ganho em $G_{topo}$ $Hs2(s)=Hs1(s)\cdot 10^{G_{topo}/20}$ Obtida a função de transferência $Hs(s)=N(s)/D(s)$ obtenha a resposta em frequência, substituindo $s=j*\omega$ Obtenha a resposta em frequência, para $\omega =0,\omega _{p},\omega _{s},10\omega _{p}$ Plote o gráfico de $|Hp(p)|$ e $|Hs(s)|$, indicando a máscara de especificação do filtro. Aula 11 (15 dez) Casos em que o ganho na banda de passagem é um valor $A_{p}$ qualquer Teremos $\epsilon ={\sqrt {10^{0.1A_{p}}-1}}$, ou $\epsilon ^{2}=(10^{0.1A_{p}}-1)$ Para projetar o filtro é necessário: 1) determinar a ordem $n$ do filtro: $n\geq {\frac {\log[(10^{0.1A_{s}}-1)/\epsilon ^{2}]}{2\log \Omega _{s}}}$ 2) obter os polos do filtro: $p_{k}=\epsilon ^{(-1/n)}e^{\left[j{\frac {(2k+n-1)}{2n}}\pi \right]},k=1,2,3,...n$ 3) obter a função de transferência: $H(p)={\frac {k}{D(p)}}$, onde $k=\prod _{k=1}^{n}\left(-p_{k}\right)=\epsilon ^{-1}$ e $D(p)=\prod _{k=1}^{n}\left(p-p_{k}\right)$. NOTA: o valor $k$ também pode ser obtido a partir de ${D(p)}$, pois corresponde ao último termo do polinômio ${D(end)}$. 4) No caso de um filtro LP é necessário ainda obter a função de transferência do filtro especificado fazendo a transformação de frequência $H(p)->H(s)$ $H(s)=H(p)\left|{\begin{matrix}\\p={\frac {s}{\omega _{p}}}\end{matrix}}\right.$ Exemplo Filtro LP Butterworth Projete um filtro Butterworth LP com ganho em $\omega =0$ $G_{topo}=0dB$, frequência de passagem ${\omega _{p}}=1000rad/s$ com atenuação máxima de $A_{p}=0.5dB$, frequência de rejeição de $\omega _{s}=5000rad/s$ com atenuação mínima de $A_{s}=30dB$. Dados de $Hs(s)$, passa-baixas (lowpass-LP) $\omega _{p}=$ $\omega _{s}=$ $G_{topo(dB)}=$ $G_{p(dB)}=$ $G_{s(dB)}=$ Especificações de $Hp(p)$, passa-baixas (lowpass-LP) protótipo $\Omega _{p}=$ $\Omega _{s}=$ $G_{0(dB)}=$ $A_{p(dB)}=$ $A_{s(dB)}=$ Determinação de $Hp(p)$ $\epsilon =$ $n=$ $p_{k}=$ $D(p)=$ $Hp(p)=$ Determinação de $Hs1(s)$ substituindo $p={\frac {s}{\omega _{p}}}$ e corrigindo o ganho em $G_{topo}$ $Hs2(s)=Hs1(s)\cdot 10^{G_{topo}/20}$ Obtida a função de transferência $Hs(s)=N(s)/D(s)$ obtenha a resposta em frequência, substituindo $s=j*\omega$ Obtenha a resposta em frequência, para $\omega =0,\omega _{p},\omega _{s},10\omega _{p}$ Plote o gráfico de $|Hp(p)|$ e $|Hs(s)|$, indicando a máscara de especificação do filtro. Ver Fazer mascara de um filtro no Matlab Ver Uso do calculo simbólico na Matlab Ver pag. 186 a 204 de Aula 12 (17 dez) Polinômios Chebyshev de primeira ordem Para o projeto dos filtros do tipo Chebyshev, são utilizados os polinômios de Chebyshev de primeira ordem, os quais são definidos pela equação trigonométrica: $C_{n}(\Omega )=cos(ncos^{-1}(\Omega ))$ Os dois primeiros polinômios são facilmente calculados como: $C_{0}(\Omega )=cos(0\times cos^{-1}(\Omega ))=cos(0)=1$ $C_{1}(\Omega )=cos(1\times cos^{-1}(\Omega ))=\Omega$ O cálculo dos demais termos pode ser feita pela relação recursiva: $C_{n}(\Omega )=2\times \Omega \times C_{n-1}(\Omega )-C_{n-2}(\Omega )$ Portanto o polinômio de grau 2 pode ser obtido por $C_{2}(\Omega )=2\times \Omega \times C_{1}(\Omega )-C_{0}(\Omega )$ $C_{2}(\Omega )=2\times \Omega \times \Omega -1$ $C_{2}(\Omega )=2\Omega ^{2}-1$ Assim os primeiros nove polinômios de Chebyshev de primeira ordem podem ser obtidos: $C_{0}(\Omega )=1\,$ $C_{1}(\Omega )=\Omega \,$ $C_{2}(\Omega )=2\Omega ^{2}-1\,$ $C_{3}(\Omega )=4\Omega ^{3}-3\Omega \,$ $C_{4}(\Omega )=8\Omega ^{4}-8\Omega ^{2}+1\,$ $C_{5}(\Omega )=16\Omega ^{5}-20\Omega ^{3}+5\Omega \,$ $C_{6}(\Omega )=32\Omega ^{6}-48\Omega ^{4}+18\Omega ^{2}-1\,$ $C_{7}(\Omega )=64\Omega ^{7}-112\Omega ^{5}+56\Omega ^{3}-7\Omega \,$ $C_{8}(\Omega )=128\Omega ^{8}-256\Omega ^{6}+160\Omega ^{4}-32\Omega ^{2}+1\,$ Esses polinômios mostram um comportamento oscilatório entre $-1<\Omega <1$. Figura 2.1 - Os primeiros cinco polinômios de Chebyshev de primeira ordem no domínio $-1<\Omega <1$ Fonte: Polinômios de Tchebychev, Wikipedia. Ver mais em Polinômio de Chebyshev Esses polinômios de Chebyshev permitem aproximar a resposta de magnitude ideal de um filtro a medida que a ordem é aumentada. Na banda de passagem o polinômio mantem uma oscilação entre os valores de mínimos e máximos. Depois da frequência de passagem, a resposta de magnitude decai monotonicamente a medida que a frequência aumenta. Por isso os filtros baseados nos polinômios de Chebyshev são também conhecidos como aproximação minimax ou equiriple. Para obter a magnitude quadrada de um protótipo, a função da magnitude possui o polinômio de Chebyshev elevado ao quadrado no denominador: $\left|H(\Omega )\right|^{2}={\frac {H_{0}^{2}}{1+\epsilon ^{2}C_{n}^{2}(\Omega )}}$ O gráfico a seguir mostra a magnitude $10log_{10}\left|H(\Omega )\right|^{2}$ em função de $\Omega$ e $n$ Figura 2.2 - Resposta de magnitude de filtro protótipo Chebyshev Fonte: Elaborado pelo autor. Projeto de filtro protótipo LP do tipo Chebyshev I Determine a ordem mínima necessária considerando: $\omega _{p}$ é a frequência de passagem do filtro LP, $A_{p}$ é a atenuação em dB na frequência de passagem, $\omega _{s}$ é a frequência de stopband do filtro, $A_{s}$ é a atenuação em dB na frequência de stopband, $\Omega _{s}={\frac {\omega _{s}}{\omega _{p}}}$, $\Omega _{p}={\frac {\omega _{p}}{\omega _{p}}}=1$ são as frequências de passagem e stopband do filtro protótipo. $n\geq {\frac {\cosh ^{-1}{\sqrt {(10^{0.1A_{s}}-1)/\epsilon ^{2}}}}{\cosh ^{-1}\Omega _{s}}}$ onde $\epsilon ^{2}=(10^{0.1A_{p}}-1)$ ou $\epsilon ={\sqrt {10^{0.1A_{p}}-1}}$. Obtenha os polos do filtro: $p_{k}=-\sinh(\varphi _{2})\sin(\theta _{k})+j\cosh(\varphi _{2})\cos(\theta _{k})\ \ \ \ \ k=1,2,3,...n$, onde $\theta _{k}=\left({\frac {(2k-1)\pi }{2n}}\right)$ e $\varphi _{2}={\frac {1}{n}}\sinh ^{-1}\left({\frac {1}{\epsilon }}\right)$ Para obter a função de transferência: $H(p)={\frac {H_{0}}{D(p)}}$, onde $D(p)=\prod _{k-1}^{n}\left(p-p_{k}\right)$ onde $H_{0}=H(0)\times d_{0}=\left\{{\begin{matrix}d_{0}&{\text{para}}&n&{\text{impar}}\\{\frac {d_{0}}{\sqrt[{}]{1+\epsilon ^{2}}}}&{\text{para}}&n&{\text{par}}\end{matrix}}\right.$ $d_{0}=\prod _{k-1}^{n}\left(-p_{k}\right)$ é o último termo do denominador $D(p)=d_{n}p^{n}+d_{n-1}p^{n-1}+\cdots +d_{1}p+d_{0}$ $\left|H(0)\right|^{2}=\left\{{\begin{matrix}1&{\text{para}}&n&{\text{impar}}\\{\frac {1}{1+\epsilon ^{2}}}&{\text{para}}&n&{\text{par}}\end{matrix}}\right.$ $\left|H(1)\right|^{2}={\frac {1}{1+\epsilon ^{2}}}$, onde $20log10(\left|H(1)\right|)=A_{p}(dB)$ Aula 13 (22 dez) Projeto de Filtros Analógicos do tipo LP, HP, BP, BS Para o projeto de filtros analógicos é necessário fazer as transformações de frequência indicadas abaixo, as quais devem ser consideradas no momento da determinação dos parâmetros do filtro protótipo LP. Transformações de frequência de filtros analógicos passa-baixas ($\Omega _{p}=1$) -> passa-baixas ($\omega _{p}$) Cálculo do protótipo com $\Omega _{s}={\frac {\omega _{s}}{\omega _{p}}}$ Substituição de variáveis $p={\frac {s}{\omega _{p}}}$ passa-baixas ($\Omega _{p}=1$) -> passa-altas ($\omega _{p}$) Cálculo do protótipo com $\Omega _{s}={\frac {\omega _{p}}{\omega _{s}}}$ Substituição de variáveis $p={\frac {\omega _{p}}{s}}$ passa-baixas ($\Omega _{p}=1$) -> passa-faixa ($\omega _{0}$ e $B$) Cálculo do protótipo com $\Omega _{s}={\Bigg |}{\frac {-\omega _{s}^{2}+\omega _{0}^{2}}{B\omega _{s}}}{\Bigg |}$ Substituição de variáveis $p={\frac {s^{2}+\omega _{0}^{2}}{Bs}}$ onde $B=\omega _{p2}-\omega _{p1}$ e $\omega _{0}={\sqrt {\omega _{p2}\omega _{p1}}}$ passa-baixas ($\Omega _{p}=1$) -> rejeita-faixa ($\omega _{0}$ e $B$) Cálculo do protótipo com $\Omega _{s}={\Bigg |}{\frac {B\omega _{s}}{-\omega _{s}^{2}+\omega _{0}^{2}}}{\Bigg |}$ Substituição de variáveis $p={\frac {Bs}{s^{2}+\omega _{0}^{2}}}$ onde $B=\omega _{p2}-\omega _{p1}$ e $\omega _{0}={\sqrt {\omega _{p2}\omega _{p1}}}$ Exemplo Filtro HP Chebyshev I Projete um filtro Chebyshev I HP com ganho em $\omega =0$ $G_{topo}=5dB$, frequência de rejeição ${\omega _{s}}=2500rad/s$ com atenuação mínima em relação ao topo de $A_{s}=30dB$, frequência de passagem de $\omega _{p}=12500rad/s$ com atenuação máxima em relação ao topo de $A_{p}=0.5dB$. Dados de $Hs(s)$, passa-altas (highpass-HP) $\omega _{p}=$ $\omega _{s}=$ $G_{topo(dB)}=$ $G_{p(dB)}=$ $G_{s(dB)}=$ Especificações de $Hp(p)$, passa-baixas (lowpass-LP) protótipo $\Omega _{p}=$ $\Omega _{s}=$ $A_{0(dB)}=$ $A_{p(dB)}=$ $A_{s(dB)}=$ Determinação de $Hp(p)$ $\epsilon =$ $n=$ $p_{k}=$ $D(p)=$ $d_{0}=$ $H_{0}=$ $Hp(p)=$ Determinação de $Hs1(s)$ HP substituindo $p={\frac {\omega _{p}}{s}}$ e corrigindo o ganho em $G_{topo}$ $Hs2(s)=Hs1(s)\cdot 10^{G_{topo}/20}$ Obtida a função de transferência $Hs(s)=N(s)/D(s)$ obtenha a resposta em frequência, substituindo $s=j*\omega$ Obtenha a resposta em frequência, para $\omega =0,\omega _{p},\omega _{s},10\omega _{p}$ Plote o gráfico de $|Hp(p)|$ e $|Hs(s)|$, indicando a máscara de especificação do filtro. Recesso de Natal, Ano Novo e férias Retorno as aulas em 02/02/2021 Aula 14 (2 fev) Uso das funções buttord, butter, cheb1ord, cheby1, cheb2ord, cheby2, ellipord, ellip para o projeto de filtros analógicos com Matlab (é necessário usar o parâmetro 's'). [n,Wn] = buttord(Wp,Ws,Rp,Rs,'s') Encontra a menor ordem n é a frequência de corte Wn para um filtro Butterworth analógico, com ripple na banda passante (bandpass) menor que Rp dB e atenuação na banda de rejeição (stopband) pelo menos de Rs dB. As frequências angulares Wp e Ws são dadas em rad/s. Se Wp e Ws são escalares, o filtro será um LP ou HP. Se Wp e Ws forem vetores, o filtro será um BP ou BS. [b,a] = butter(n,Wn,ftype,'s') Projeta o filtro Butterworth analógico LP, HP, BP ou BS com frequência angular de corte Wn, dependendo do valor de ftype e do número de elementos de Wn. %% Projeto de filtro passa-alta (HP) usando funções do Matlab Wp = 150; % rad/s Ws = 40; % rad/s Rp = 3; % dB Rs = 60; % dB [n,Wn] = buttord(Wp,Ws,Rp,Rs,'s') [b,a] = butter(n,Wn,'high','s'); [h,w] = freqs(b,a,logspace(1,3,1000)); semilogx(w,20*log10(abs(h)));grid on; hold on; plot([Wp Wn Ws],[-Rp -3 -Rs],'x'); hold off; title(sprintf('Filtro HP Butterworth, n = %d',n)) %% Projeto de filtro passa-faixa (BP) usando funções do Matlab Wp = [100 200]; % rad/s Ws = [50 250]; % rad/s Rp = 3; % dB Rs = 40; % dB [n,Wn] = buttord(Wp,Ws,Rp,Rs,'s'); [b,a] = butter(n,Wn,'s'); freqs(b,a,logspace(1,3,1000)) title(sprintf('Filtro BP Butterworth, n = %d',n)) [n,Wp] = cheb1ord(Wp,Ws,Rp,Rs,'s') designs a lowpass, highpass, bandpass, or bandstop analog Chebyshev Type I filter with cutoff angular frequencies Wp. [b,a] = cheby1(n,Rp,Wp,ftype,'s') designs a lowpass, highpass, bandpass, or bandstop analog Chebyshev Type I filter with passband edge angular frequency Wp and Rp decibels of passband ripple. [n,Ws] = cheb2ord(Wp,Ws,Rp,Rs,'s') designs a lowpass, highpass, bandpass, or bandstop analog Chebyshev Type II filter with cutoff angular frequencies Ws. [b,a] = cheby2(n,Rs,Ws,ftype,'s') designs a lowpass, highpass, bandpass, or bandstop analog Chebyshev Type II filter with stopband edge angular frequency Ws and Rs decibels of stopband attenuation. [n,Wn] = ellipord(Wp,Ws,Rp,Rs,'s') finds the minimum order n and cutoff frequencies Wn for an analog elliptic filter. Specify the frequencies Wp and Ws in radians per second. The passband or the stopband can be infinite. [b,a] = ellip(n,Rp,Rs,Wn,ftype, 's') designs a lowpass, highpass, bandpass, or bandstop analog elliptic filter with passband edge angular frequency Wp, Rp decibels of passband ripple, and Rs decibels of stopband attenuation. Note: The resulting bandpass and bandstop designs are of order 2n. Note: See Limitations [1] for information about numerical issues that affect forming the transfer function. Ver também Comparison of Analog IIR Lowpass Filters. Uso das funções freqs, zplane na análise da resposta em frequência de filtros analógicos. Projeto de filtros analógicos do tipo Butterworth, Chebyshev I e II e Cauer (eliptico) usando funções do Matlab. %% Projeto de filtro passa-baixas usando funções do Matlab %% Especificações do filtro Wp =16000; Ws = 20000; Ap = 0.3; As = 20; G0= 3; % Para analisar o filtro projetado, use fvtool(b,a) para observar plano s, resposta em magnitude, fase e atraso de grupo %% Butterworth [n,Wn] = buttord(Wp, Ws, Ap, As,'s') [b,a] = butter(n,Wn, 's'); %% Chebyshev I n = cheb1ord(Wp, Ws, Ap, As,'s') [b,a] = cheby1(n,Ap, Wp, 's'); %% Chebyshev II n = cheb2ord(Wp, Ws, Ap, As,'s') [b,a] = cheby2(n,As, Ws, 's'); %% Elliptic - Cauer [n, Wn] = ellipord(Wp, Ws, Ap, As,'s') [b,a] = ellip(n,Ap,As, Wn, 's'); Ver pag. 204 a 208 de Exemplos de Filtros Analógicos: Exemplo 1: Filtro passa-baixas ($f_{p}$ = 941Hz, $f_{s}$ = 1209 Hz, $A_{p}$ = 1 dB, $A_{s}$ = 20 dB) Exemplo 2: Filtro passa-altas ($f_{p}$ = 1209 Hz, $f_{s}$ = 941Hz, $A_{p}$ = 1 dB, $A_{s}$ = 20 dB) Exemplo 3: Filtro passa-faixa ($f_{s1}$ = 770 Hz, $f_{p1}$ = 811 Hz, $f_{p2}$ = 895,5 Hz, $f_{s2}$ = 1209 Hz, $A_{p}$ = 1 dB, $A_{s}$ = 30 dB, $G_{topo}$ = 5 dB). Exemplo 4: Filtro rejeita-faixa ($f_{p1}$ = 53 Hz, $f_{s1}$ = 58 Hz, $f_{s2}$ = 62 Hz $f_{p2}$ = 67 Hz, $A_{p}$ = 2 dB, $A_{s}$ = 25 dB) NOTA: No calculo do filtro lembre-se de usar as frequências angulares para $\omega _{p}$, $\omega _{s}$, $B\omega$, $\omega _{0}$. onde $f_{p}$ ($\omega _{p}$) é a frequência de passagem em Hz (rad/s), $f_{s}$ ($\omega _{s}$) é a frequência de rejeição em Hz (rad/s), $f_{0}$ ($\omega _{0}$) é a frequência central em Hz (rad/s), $B$ ($B\omega$) é a largura de banda em Hz (rad/s). Confira os projetos dos filtros plotando as respostas em frequência dos filtros protótipo H(p) e filtro final H(s) de cada um dos exemplos. Comparar o uso das funções plot, stem, fplot, semilogx, semilogy. Estudar as funções auxiliares logspace, linspace, hold, grid, subplot, legend, xlabel, ylabel, title, text. Funções de transformação de frequência: lp2lp, lp2hp,lp2bp, lp2bs. Ver em IIR Filter Design, Special Topics in IIR Filter Design. Ver pag. 208 a 218 de Aula 15 e 16 (4 e 9 fev) Filtros Digitais: Filtros IIR: transformações do tempo contínuo no tempo discreto Transformação Invariante ao Impulso (pode ser usada apenas para filtros com forte atenuação em frequência altas, ex: passa-baixas e passa-faixa) Transformação Bilinear (pode ser usada para todos tipos de filtro) $s=2fa{\frac {z-1}{z+1}}$ Obter a especificação do filtro em angulo $\theta$ entre 0 e 1, onde 1 corresponde a metade da frequência de amostragem $(fa/2)$, ou também o angulo $\pi$ Obter o valor desse angulo predistorcido $\lambda$ para compensar a distorção na frequência causada pela transformação bilinear $\lambda =2tan\left({\frac {\theta \pi }{2}}\right)$, onde $\theta ={\frac {f}{f_{a}/2}}={\frac {\omega }{\omega _{a}/2}}$ passa-baixas ($\Omega _{p}=1$) -> passa-baixas ($\lambda _{p}$) Substituição de variáveis $p={\frac {s}{\lambda _{p}}}$ Cálculo do protótipo com $\Omega _{s}={\frac {\lambda _{s}}{\lambda _{p}}}$ passa-baixas ($\Omega _{p}=1$) -> passa-altas ($\lambda _{p}$) Substituição de variáveis $p={\frac {\lambda _{p}}{s}}$ Cálculo do protótipo com $\Omega _{s}={\frac {\lambda _{p}}{\lambda _{s}}}$ passa-baixas ($\Omega _{p}=1$) -> passa-faixa ($\lambda _{0}$ e $B$) Substituição de variáveis $p={\frac {s^{2}+\lambda _{0}^{2}}{Bs}}$ Cálculo do protótipo com $\Omega _{s}={\Bigg |}{\frac {-\lambda _{s}^{2}+\lambda _{0}^{2}}{B\lambda _{s}}}{\Bigg |}$ onde $B=\lambda _{p2}-\lambda _{p1}$ e $\lambda _{0}={\sqrt {\lambda _{p2}\lambda _{p1}}}$ passa-baixas ($\Omega _{p}=1$) -> rejeita-faixa ($\lambda _{0}$ e $B$) Substituição de variáveis $p={\frac {Bs}{s^{2}+\lambda _{0}^{2}}}$ Cálculo do protótipo com $\Omega _{s}={\Bigg |}{\frac {B\lambda _{s}}{-\lambda _{s}^{2}+\lambda _{0}^{2}}}{\Bigg |}$ onde $B=\lambda _{p2}-\lambda _{p1}$ e $\lambda _{0}={\sqrt {\lambda _{p2}\lambda _{p1}}}$ Ver as funções de discretização usadas no Matlab: bilinear, impinvar Realizar os projetos dos exemplos anteriores, considerando uma frequência de amostragem de 8 kHz. Ver pag. 219 a 229 de Ver pag. 403 a 415 e 434 a 435 de Ver também a ferramenta fvtool, que facilita a análise dos filtros digitais. Exemplo filtro digital BP IIR - transformação bilinear Projete um filtro digital passa-banda IIR com $G_{topo}=5dB$, frequências de passagem $f_{p1}=811Hz$ e $f_{p2}=895,5Hz$ com ganho no mínimo de $G_{p}=2dB$, frequências de rejeição de $f_{s1}=770Hz$ e $f_{s1}=1209Hz$, na qual o ganho deve ser inferior a $G_{s}=-25dB$ dB. Considere dois projetos para uma frequência de amostragem $f_{a1}=4000Hz$ e também para $f_{a2}=8000Hz$. Dados de especificação do filtro passa-banda (band-pass - BP) $f_{a}=$ $f_{s1}=$ $f_{p1}=$ $f_{p2}=$ $f_{s2}=$ $G_{topo(dB)}=$ $G_{p(dB)}=$ $G_{s(dB)}=$ Dados do filtro digital $Hz(z)$, passa-banda (band-pass - BP) $\theta _{s1}=$ $\theta _{p1}=$ $\theta _{p2}=$ $\theta _{s2}=$ $G_{topo(dB)}=$ $G_{p(dB)}=$ $G_{s(dB)}=$ Dados do filtro analógico $Hs(s)$, passa-banda (band-pass - BP) $\lambda _{s1}=$ $\lambda _{p1}=$ $\lambda _{p2}=$ $\lambda _{s2}=$ $\lambda _{0}=$ $B\lambda =$ $G_{topo(dB)}=$ $G_{p(dB)}=$ $G_{s(dB)}=$ Especificações de $Hp(p)$, passa-baixas (lowpass-LP) protótipo $\Omega _{p}=1$ $\Omega _{s}=$ $A_{0(dB)}=0$ $A_{p(dB)}=$ $A_{s(dB)}=$ Determinação de $Hp(p)$ $n=$ $p_{k}=$ $z_{k}=$ $Dp(p)=$ $Np(p)=$ $Hp(p)=$ Determinação de $Hs1(s)$ substituindo $p={\frac {s}{\omega _{p}}}$ e corrigindo o ganho em $G_{topo}$ $Hs2(s)=Hs1(s)\cdot 10^{G_{topo}/20}$ Obtida a função de transferência $Hs(s)=N(s)/D(s)$ obtenha a resposta em frequência, substituindo $s=j*\omega$ Determinação de $Hz(z)$ substituindo $s=2{\frac {s-1}{s+1}}$ Plote o gráfico de $|Hp(p)|$, $|Hs(s)|$ e $|Hz(z)|$, indicando a máscara de especificação do filtro. Aula 17 (11 fev) Ver em IIR Filter Design Uso das funções buttord, butter, cheb1ord, cheby1, cheb2ord, cheby2, ellipord, ellip para o projeto de filtros IIR digitais (sem o parâmetro 's'). O projeto dos filtros digitais IIR baseados na transformada bilinear no Matlab é realizada em dois passos: (1) Determinação da ordem do filtro; (2) Determinação dos coeficientes do numerador $b(n)$ e denominador $a(n)$ de $H(z)$ . Outros tipos de filtros IIR: yulewalk, iirnotch, iirpeak, iircomb, maxflat, invfreqz e outros filtros de modelagem paramétrica. Ver funcionamento em Anti-Causal, Zero-Phase Filter Implementation), filtfilt, fa = 200; fN = fa/2; wo = 60/fN; bw = 10/fN; [b,a] = iirnotch(wo,bw); fvtool(b,a); syms z; N(z) = poly2sym(b,z); D(z) = poly2sym(a,z); H(z) = N(z)/D(z); pretty(vpa(H(z),3)) fa = 8000; fN = fa/2; wo = 941/fN; bw = 100/fN; [b,a] = iirpeak(wo,bw); fvtool(b,a); syms z; N(z) = poly2sym(b,z); D(z) = poly2sym(a,z); H(z) = N(z)/D(z); pretty(vpa(H(z),3)) fa = 8000; fN = fa/2; fo = 1000; bw = 20/fN; [b,a] = iircomb(fa/fo,bw,'peak'); % ou use a flag 'notch' fvtool(b,a); syms z; N(z) = poly2sym(b,z); D(z) = poly2sym(a,z); H(z) = N(z)/D(z); pretty(vpa(H(z),3))

Unidade 3 - Filtros FIR

Unidade 3 - Filtros FIR

Aula 18 (18 fev) FIR - Conceitos gerais A função de transferência de transferência de um filtro digital FIR ${\begin{aligned}H(z)&=b_{0}+b_{1}z+b_{2}z^{2}+...+b_{N}z^{N}\\&=\sum _{i=0}^{N}b_{i}\cdot z^{i}\end{aligned}}$ ${\begin{aligned}H(z^{-1})&=b_{0}+b_{1}z^{-1}+b_{2}z^{-2}+...+b_{N}z^{-N}\\&=\sum _{i=0}^{N}b_{i}\cdot z^{-i}\end{aligned}}$ filtro FIR causal de ordem n mostrado acima pode ser descrito também através da equação de diferenças: ${\begin{aligned}y[n]&=b_{0}x[n]+b_{1}x[n-1]+\cdots +b_{N}x[n-N]\\&=\sum _{i=0}^{N}b_{i}\cdot x[n-i],\end{aligned}}$ Pode-se notar que a saída $y[n]$ do filtro FIR é uma soma ponderada dos N valores mais recentes das entradas $x[n]$ A realização desse filtro pode ser feita através de algoritmos de software ou circuitos digitais usando por exemplo a estrutura: A determinação da resposta ao impulso $h[n]$ do filtro pode ser feita substituindo a entrada $x[n]$ por $\delta [n]$. O resultado é $h[n]=b[n]$, e portanto a resposta ao impulso tem duração igual ao número de coeficientes N+1 (onde N é a ordem do filtro). Esse é o motivo pelo qual o filtro tem o nome de filtro de resposta ao impulso finita (FIR - Finite Impulse Response). O filtro também recebe nomes como filtro transversal, Filtro não recursivo, filtro de média móvel, e tapped delay filter (torneira com atrasos?). A função de transferência também pode ser descrita como: ${\begin{aligned}H(z^{-1})&=h_{0}+h_{1}z^{-1}+h_{2}z^{-2}+...+h_{N}z^{-N}\end{aligned}}$ Algumas vantagens que os filtros FIR tem sobre os IIR: 1. É possível projetar FIR com fase linear, ou seja atraso de grupo constante. Esses filtros são desejáveis na transmissão de sinais digitais. O atraso de grupo é definido como as $\tau =-{\frac {d\theta }{dw}}$, onde $\theta$ é a resposta de fase do filtro. 2. As amostras da resposta ao impulso $h[n]$ são os coeficientes do filtros $b[n]$, e portanto não precisam ser calculadas. 3. Os FIR são sempre estáveis pois tem todos os polos na origem. Também é consequência de não ter realimentação. Por isso também não tem ciclo limite que surge nos filtros IIR como resultado da resposta ao impulso de duração infinita associada a representação dos coeficientes e dos sinais com palavras de comprimento finito de bits. 4. O efeito da representação dos coeficientes e dos sinais com palavras de comprimento finito de bits, na resposta de frequência e resposta no domínio do tempo é menor que nos IIR. Os filtro FIR podem ter fase linear ou não ter fase linear. Filtros de fase linear: simétricos e antissimétricos (Tipo 1, 2, 3 e 4) Filtros de fase não linear: são todos que não se enquadram em um dos 4 tipos acima. Os filtros de fase linear possuem algumas propriedades (respostas em frequência possíveis, distribuição dos zeros em simetria quadrantal), conforme é mostrado a seguir. Inicialmente observe em exemplos as propriedades dos FIR tipo 1, 2, 3 e 4. Observe a resposta de frequência, fase, atraso de grupo, coeficientes e a simetria dos zeros em relação ao circulo unitário no diagrama de polos e zeros dos filtros abaixo. N = 10; bi = 2*(rand(1,N)-0.5) %% Tipo I - LP, HP, BS, BP b = [bi (2*rand(1,1)-0.5) flip(bi)]; fvtool(b,1); %% Tipo II - LP, BP % tem um zero em -1 b = [bi flip(bi)]; fvtool(b,1); %% Tipo III - BP % tem um zero em 1 e -1 b = [bi 0 -flip(bi)]; fvtool(b,1); %% Tipo IV - BP, HP % tem um zero em 1 b = [bi -flip(bi)]; fvtool(b,1); Figura 1 - Propriedades do filtro FIR de fase linear (Tipo 1) Ver também fvtool, Controlling FVTool from the MATLAB Command Line e Filter Analysis using FVTool. Aula 19 (23 fev) FIR - Filtros de fase linear FIR tipo I: Considere o exemplo de um filtro simétrico de ordem par (N=6) ${\begin{aligned}H(z^{-1})&=h_{0}+h_{1}z^{-1}+h_{2}z^{-2}+h_{3}z^{-3}+h_{4}z^{-4}+h_{5}z^{-5}+h_{6}z^{-6}\end{aligned}}$ Se ele apresenta simetria dos coeficientes $h_{0}=h_{6}$, $h_{1}=h_{5}$ e $h_{2}=h_{4}$, temos que: ${\begin{aligned}H(z^{-1})&=h_{0}+h_{1}z^{-1}+h_{2}z^{-2}+h_{3}z^{-3}+h_{2}z^{-4}+h_{1}z^{-5}+h_{0}z^{-6}\\&=h_{0}(1+z^{-6})+h_{1}(z^{-1}+z^{-5})+h_{2}(z^{-2}+z^{-4})+h_{3}z^{-3}\\&=(h_{0}(z^{+3}+z^{-3})+h_{1}(z^{+2}+z^{-2})+h_{2}(z^{+1}+z^{-1})+h_{3})z^{-3}\end{aligned}}$ Para obter a resposta em frequência $H(e^{-jw})$, substituímos $z=e^{jw}$. ${\begin{aligned}H(e^{-jw})&=(h_{0}(e^{+3jw}+e^{-3jw})+h_{1}(e^{+2jw}+e^{-2jw})+h_{2}(e^{+1jw}+e^{-1jw})+h_{3})e^{-3jw}\end{aligned}}$ Aplicando a identidade $2cos(nw)=e^{+jnw}+e^{-jnw}$, obtemos que: ${\begin{aligned}H(e^{-jw})&=(h_{0}2cos(3w)+h_{1}2cos(2w)+h_{2}2cos(1w)+h_{3})e^{-3jw}\\&=H_{R}(w)e^{j\theta (w)}\end{aligned}}$ Portanto a resposta em frequência tem um resposta de magnitude com uma parte real $H_{R}(w)$, e uma fase linear igual a $\theta (w)=-3w$, e portanto o atraso de grupo é $\tau =-{\frac {d\theta }{dw}}=3$, que é a metade da ordem N do filtro. Pode-se generalizar este resultado para qualquer filtro simétrico de ordem par: ${\begin{aligned}H(e^{-jw})&=\left[2\sum _{n=1}^{N/2}h\left({\frac {N}{2}}-n\right)cos(nw)+h\left({\frac {N}{2}}\right)\right]e^{-j(N/2)w}\end{aligned}}$ Na qual se percebe que a fase linear é igual a $\theta (w)=-{\frac {N}{2}}w$, e portanto o atraso de grupo é $\tau =-{\frac {d\theta }{dw}}={\frac {N}{2}}$, metade da ordem N do filtro. FIR tipo II: Considere o exemplo de um filtro simétrico de ordem impar (N=5) ${\begin{aligned}H(z^{-1})&=h_{0}+h_{1}z^{-1}+h_{2}z^{-2}+h_{3}z^{-3}+h_{4}z^{-4}+h_{5}z^{-5}\end{aligned}}$ Se ele apresenta simetria dos coeficientes $h_{0}=h_{5}$, $h_{1}=h_{4}$ e $h_{2}=h_{3}$, temos que: ${\begin{aligned}H(z^{-1})&=h_{0}+h_{1}z^{-1}+h_{2}z^{-2}+h_{2}z^{-3}+h_{1}z^{-4}+h_{0}z^{-5}\\&=h_{0}(1+z^{-5})+h_{1}(z^{-1}+z^{-4})+h_{2}(z^{-2}+z^{-3})\\&=(h_{0}(z^{+2.5}+z^{-2.5})+h_{1}(z^{+1.5}+z^{-1.5})+h_{2}(z^{+0.5}+z^{-0.5}))z^{-2.5}\end{aligned}}$ Para obter a resposta em frequência: ${\begin{aligned}H(e^{-jw})&=(h_{0}(e^{+2.5jw}+e^{-2.5jw})+h_{1}(e^{+1.5jw}+e^{-1.5jw})+h_{2}(e^{+0.5jw}+e^{-0.5jw}))e^{-2.5jw}\end{aligned}}$ Aplicando a identidade $2cos(nw)=e^{+jnw}+e^{-jnw}$, obtemos que: ${\begin{aligned}H(e^{-jw})&=(2h_{0}cos(2.5w)+2h_{1}cos(1.5w)+2h_{2}cos(0.5w))e^{-2.5jw}\\&=H_{R}(w)e^{j\theta (w)}\end{aligned}}$ Portanto a resposta em frequência tem um resposta de magnitude com uma parte real $H_{R}(w)$, e uma fase linear igual a $\theta (w)=-2.5w$, e portanto o atraso de grupo é $\tau =-{\frac {d\theta }{dw}}=2.5$, que é a metade da ordem N do filtro. Pode-se generalizar este resultado para qualquer filtro simétrico de ordem impar: ${\begin{aligned}H(e^{-jw})&=\left[2\sum _{n=1}^{(N+1)/2}h\left({\frac {N+1}{2}}-n\right)cos\left(\left(n-{\frac {1}{2}}\right)w\right)\right]e^{-j(N/2)w}\end{aligned}}$ Na qual se percebe que a fase linear é igual a $\theta (w)=-{\frac {N}{2}}w$, e portanto o atraso de grupo é $\tau =-{\frac {d\theta }{dw}}={\frac {N}{2}}$, metade da ordem N do filtro. FIR tipo III: Considere o exemplo de um filtro antissimétrico de ordem par (N=6) ${\begin{aligned}H(z^{-1})&=h_{0}+h_{1}z^{-1}+h_{2}z^{-2}+h_{3}z^{-3}+h_{4}z^{-4}+h_{5}z^{-5}+h_{6}z^{-6}\end{aligned}}$ Se ele apresenta simetria dos coeficientes $h_{0}=-h_{6}$, $h_{1}=-h_{5}$, $h_{2}=-h_{4}$ e $h_{3}=0$, temos que: ${\begin{aligned}H(z^{-1})&=h_{0}+h_{1}z^{-1}+h_{2}z^{-2}-h_{2}z^{-4}-h_{1}z^{-5}-h_{0}z^{-6}\\&=h_{0}(1-z^{-6})+h_{1}(z^{-1}-z^{-5})+h_{2}(z^{-2}-z^{-4})\\&=(h_{0}(z^{+3}-z^{-3})+h_{1}(z^{+2}-z^{-2})+h_{2}(z^{+1}-z^{-1}))z^{-3}\end{aligned}}$ Para obter a resposta em frequência $H(e^{-jw})$, substituímos $z=e^{jw}$. ${\begin{aligned}H(e^{-jw})&=(h_{0}(e^{+3jw}-e^{-3jw})+h_{1}(e^{+2jw}-e^{-2jw})+h_{2}(e^{+1jw}-e^{-1jw}))e^{-3jw}\end{aligned}}$ Aplicando a identidade $2jsin(nw)=e^{+jnw}-e^{-jnw}$, e que $j=e^{j\pi /2}$ obtemos que: ${\begin{aligned}H(e^{-jw})&=2j(h_{0}sin(3w)+h_{1}sin(2w)+h_{2}sin(1w))e^{-3jw}\\&=2(h_{0}sin(3w)+h_{1}sin(2w)+h_{2}sin(1w))e^{-j3w}e^{j\pi /2}\\&=2(h_{0}sin(3w)+h_{1}sin(2w)+h_{2}sin(1w))e^{-j(3w-\pi /2)}\\&=H_{R}(w)e^{j(\theta (w))}\end{aligned}}$ Portanto a resposta em frequência tem um resposta de magnitude com uma parte real $H_{R}(w)$, e uma fase linear igual a $\theta (w)=-(3w-\pi /2)$, e portanto o atraso de grupo é $\tau =-{\frac {d\theta }{dw}}=3$, que é a metade da ordem N do filtro. Pode-se generalizar este resultado para qualquer filtro antissimétrico de ordem par: ${\begin{aligned}H(e^{-jw})=\left[2\sum _{n=1}^{N/2}h\left({\frac {N}{2}}-n\right)sin(nw)\right]e^{-j(Nw-\pi )/2}\end{aligned}}$ Na qual se percebe que a fase linear é igual a $\theta (w)=-{\frac {N}{2}}w+\pi /2$, e portanto o atraso de grupo é $\tau =-{\frac {d\theta }{dw}}={\frac {N}{2}}$, metade da ordem N do filtro. FIR tipo IV: Considere o exemplo de um filtro antissimétrico de ordem impar (N=5) ${\begin{aligned}H(z^{-1})&=h_{0}+h_{1}z^{-1}+h_{2}z^{-2}+h_{3}z^{-3}+h_{4}z^{-4}+h_{5}z^{-5}\end{aligned}}$ Se ele apresenta simetria dos coeficientes $h_{0}=-h_{5}$, $h_{1}=-h_{4}$ e $h_{2}=-h_{3}$, temos que: ${\begin{aligned}H(z^{-1})&=h_{0}+h_{1}z^{-1}+h_{2}z^{-2}-h_{2}z^{-3}-h_{1}z^{-4}-h_{0}z^{-5}\\&=h_{0}(1-z^{-5})+h_{1}(z^{-1}-z^{-4})+h_{2}(z^{-2}-z^{-3})\\&=(h_{0}(z^{+2.5}-z^{-2.5})+h_{1}(z^{+1.5}-z^{-1.5})+h_{2}(z^{+0.5}-z^{-0.5}))z^{-2.5}\end{aligned}}$ Para obter a resposta em frequência: ${\begin{aligned}H(e^{-jw})&=(h_{0}(e^{+2.5jw}-e^{-2.5jw})+h_{1}(e^{+1.5jw}-e^{-1.5jw})+h_{2}(e^{+0.5jw}-e^{-0.5jw}))e^{-2.5jw}\end{aligned}}$ E portanto ${\begin{aligned}H(e^{-jw})&=2j(h_{0}sin(2.5w)+h_{1}sin(1.5w)+h_{2}sin(0.5w))e^{-2.5jw}\\&=2(h_{0}sin(2.5w)+h_{1}sin(1.5w)+h_{2}sin(0.5w))e^{-2.5jw}e^{j\pi /2}\\&=2(h_{0}sin(2.5w)+h_{1}sin(1.5w)+h_{2}sin(0.5w))e^{-j(2.5w-\pi /2)}\\&=H_{R}(w)e^{j\theta (w)}\end{aligned}}$ Portanto a resposta em frequência tem um resposta de magnitude com uma parte real $H_{R}(w)$, e uma fase linear igual a $\theta (w)=-(2.5w-\pi /2)$, e portanto o atraso de grupo é $\tau =-{\frac {d\theta }{dw}}=2.5$, que é a metade da ordem N do filtro. Pode-se generalizar este resultado para qualquer filtro antissimétrico de ordem impar: ${\begin{aligned}H(e^{-jw})&=\left[2\sum _{n=1}^{(N+1)/2}h\left({\frac {N+1}{2}}-n\right)sin\left(\left(n-{\frac {1}{2}}\right)w\right)\right]e^{-j(Nw-\pi )/2)}\end{aligned}}$ Na qual se percebe que a fase linear é igual a $\theta (w)=-(Nw-\pi )/2$, e portanto o atraso de grupo é $\tau =-{\frac {d\theta }{dw}}={\frac {N}{2}}$, metade da ordem N do filtro. Propriedades dos filtros FIR de fase linear Como mostrado acima, os filtros que exibem simetria ou antissimetria em seus coeficientes (ou resposta ao impulso), apresentam fase linear (ou atraso de grupo constante). Também foi mostrado que o atraso de grupo é igual a N/2 onde N é a ordem do filtro. Foi demonstrado por Rabiner *** que apenas esses quatro tipos de filtro FIR possuem essa característica, portanto pode-se afirma que "Se e somente se o filtro FIR possui coeficientes simétrico ou antisimétricos ele possui fase linear". Em relação a posição dos zeros, é possível verificar que cada zero sobre o circulo unitário produz uma resposta de magnitude nula na frequencia angular correspondente e um salto de fase de $\pi$. N = 5; bi = 2*(rand(1,N)-0.5) b = [bi (2*rand(1,1)-0.5) flip(bi)]; [h,w] = freqz(b,1,'whole'); figure(1); subplot(421); plot(w/pi,20*log10(abs(h))); grid on; xlabel('\omega / \pi'); ylabel ('magnitude - dB'); subplot(423); plot(w/pi,angle(h)/pi); grid on; xlabel('\omega / \pi'); ylabel ('fase - rad / \pi'); subplot(425); plot(w/pi,unwrap(angle(h))/pi); grid on; xlabel('\omega / \pi'); ylabel ('fase - rad / \pi'); subplot(427); grpdelay(b,1); xlabel('\omega / \pi'); ylabel ('atraso de grupo - amostras'); subplot(4,2,[2,4,6,8]); zplane(b,1); xlabel('real'); ylabel ('imaginario'); Aula 20 (25 fev) Também devido a existência (ou não) de zeros em $z=1\equiv w=0$ e $z=-1\equiv w/\pi =1$, que corresponde a frequência de Nyquist $f_{N}=f_{a}/2$, mostramos que a resposta de magnitude nessas frequencias é nula (ou não). Assim os tipos 1, 2, 3 e 4 de filtros FIR resultam em: Tipo 1: permite projetar filtros LP, HP, BP e BS. Tipo 2: (tem um zero em -1) permite projetar filtros LP e BP. Tipo 3: (tem um zero em 1 e -1) permite projetar filtros BP. Tipo 4: (tem um zero em 1) permite projetar filtros HP e BP. Essa característica é importante conhecer antecipadamente pois implicará no número de coeficientes e na escolha do tipo de (anti)simetria. Por exemplo para filtro BS apenas o Tipo 1 pode ser usado. Outra propriedade a ser destacada é em relação aos zeros do filtro. Em primeiro vamos analisar a consequencia da simetria nos coeficientes $h(n)=h(N-n)$: ${\begin{aligned}H(z)&=\sum _{n=0}^{N}h(n)\cdot z^{-n}\\&=\sum _{n=0}^{N}h(N-n)\cdot z^{-n}\end{aligned}}$ fazendo na segunda equação N-n = m, temos que os limites n = 0 -> m = N, e n = N -> m = 0. ${\begin{aligned}H(z)&=\sum _{m=0}^{N}h(m)\cdot z^{-N+m}\\&=z^{-N}\sum _{m=0}^{N}h(m)\cdot z^{m}\end{aligned}}$ ${\begin{aligned}H(z)=z^{-N}H(z^{-1})\end{aligned}}$ Com a mesma análise para antissimetria nos coeficientes $h(n)=-h(N-n)$: ${\begin{aligned}H(z)=-z^{-N}H(z^{-1})\end{aligned}}$ Nessas duas equações é possível perceber que se $z=z_{-1}$ é um zero então $1/z$ também será um zero de $H(z)$. No caso de zeros reais, se temos um zero $z=a$ então $z=1/a$ também é um zero, exceto se $a=1$ ou $a=-1$. Por outro lado, se todos os coeficientes b(n) do filtro são reais, então os zeros complexos, aparecem em pares complexos conjugados $z_{2}=r_{2}\cdot e^{j\phi }$ e $z_{2}^{*}=r_{2}\cdot e^{-j\phi }$, e seus reciprocos $z_{2}=1/r_{2}\cdot e^{j\phi }$ e $z_{2}^{*}=1/r_{2}\cdot e^{-j\phi }$ também são zeros de $H(z)$. Esse tipo de disposição dos zeros denominamos de simetria quadrantal. Figura 2 - Simetria quadrantal de filtros FIR de fase linear FONTE: pag. 251 a 261 de firtype - Type of linear phase FIR filter - Mathwork Projeto de filtros FIR pelo método da série de Fourier Usando a representação dos filtros ideais LP, HP, BP, BS, com frequências de corte $w_{ci}$ e ganho unitário na banda de passagem e ganho zero na banda de rejeição, e considerando que a magnitude das respostas em frequência é uma função periódica em $2\pi$, e conhecendo as equações de síntese e análise de um sinal (ou sistema) ${\begin{aligned}H(e^{jw})&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }c(n)e^{-jnw}\end{aligned}}$ onde ${\begin{aligned}c(n)&={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }H(e^{jw})e^{jnw}\mathrm {d} w\end{aligned}}$ É possível coeficientes da série de Fourier de filtros ideais: LP, HP, BP, BS Figura 3 - Magnitude da resposta em frequência de filtros Passa-baixas (Low-pass) Figura 4 - Resposta em frequência de filtros LP de fase linear ${\begin{aligned}c_{\text{LP}}(n)&={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }H_{LP}(e^{jw})e^{jnw}\mathrm {d} w\\&={\frac {1}{2\pi }}\int _{-w_{c}}^{w_{c}}e^{jnw}\mathrm {d} w\\&={\frac {1}{2\pi }}\left({\frac {e^{jnw}}{jn}}\right){\Biggr |}_{-w_{c}}^{w_{c}}\\&={\frac {e^{jnw_{c}}-e^{-jnw_{c}}}{2j\pi n}}\\&={\frac {sin(nw_{c})}{\pi n}}\end{aligned}}$ ${\begin{aligned}c_{\text{LP}}(n)&={\frac {w_{c}}{\pi }}sinc(w_{c}n)\end{aligned}}$ ${\begin{aligned}c_{\text{LP}}(n)&=\left\{{\begin{matrix}{\frac {\omega _{c}}{\pi }};&\qquad n=0\\{\frac {\sin(\omega _{c}n)}{\pi n}};&\qquad \left|n\right|>0\end{matrix}}\right.\end{aligned}}$ De modo semelhante é possível obter os coeficientes dos filtros HP, BP e BS. Passa-altas (High-pass) ${\begin{aligned}c_{\text{HP}}(n)&=sinc(n)-{\frac {w_{c}}{\pi }}sinc(w_{c}n)\end{aligned}}$ ${\begin{aligned}c_{\text{HP}}(n)&=\left\{{\begin{matrix}1-{\frac {\omega _{c}}{\pi }};\qquad n=0\\-{\frac {\sin(\omega _{c}n)}{\pi n}};\qquad \left|n\right|>0\end{matrix}}\right.\end{aligned}}$ Passa-faixa (Band-pass) ${\begin{aligned}c_{\text{BP}}(n)&={\frac {1}{\pi }}(w_{c2}sinc(w_{c2}n)-w_{c1}sinc(w_{c1}n))\end{aligned}}$ ${\begin{aligned}c_{\text{BP}}(n)=\left\{{\begin{matrix}{\frac {\omega _{c2}-\omega _{c1}}{\pi }};\qquad n=0\\{\frac {\sin(\omega _{c2}n)-\sin(\omega _{c1}n)}{\pi n}};\qquad \left|n\right|>0\end{matrix}}\right.\end{aligned}}$ Rejeita-banda (Band-stop) ${\begin{aligned}c_{\text{BS}}(n)&=sinc(n)-{\frac {1}{\pi }}(w_{c2}sinc(w_{c2}n)-w_{c1}sinc(w_{c1}n))\end{aligned}}$ ${\begin{aligned}c_{\text{BS}}(n)=\left\{{\begin{matrix}1-{\frac {\omega _{c2}-\omega _{c1}}{\pi }};\qquad n=0\\-{\frac {\sin(\omega _{c2}n)-\sin(\omega _{c1}n)}{\pi n}};\qquad \left|n\right|>0\end{matrix}}\right.\end{aligned}}$ onde sabe-se que $sinc(n)=\delta (n)$, ou seja $sinc(n)=1$ para $n=0$ e $sinc(n)=0$ para $n\neq 0$. Ver pag. 249 a 256 de Nota importante sobre o uso do Matlab Diferentemente do que se espera, a função sinc(x) é diferente de sin(x)/x, sendo igual a sin(pi*x)/(pi*x). Veja o help do próprio Matlab. sinc Sin(pi*x)/(pi*x) function. sinc(X) returns a matrix whose elements are the sinc of the elements of X, i.e. y = sin(pi*x)/(pi*x) if x ~= 0 = 1 if x == 0 where x is an element of the input matrix and y is the resultant output element. % Example of a sinc function for a linearly spaced vector: t = linspace(-5,5); y = sinc(t); plot(t,y); xlabel('Time (sec)');ylabel('Amplitude'); title('Sinc Function') See also square, sin, cos, chirp, diric, gauspuls, pulstran, rectpuls, and tripuls. Reference page in Help browser doc sinc Aula 20 (2 mar) O uso da janela retangular no "janelamento" dos coeficientes da série de Fourier, resulta no fenômeno de Gibbs na magnitude da resposta em frequência, conforme mostrado a seguir. ${\begin{aligned}w(n)&=1;\qquad -M\leq n\leq M\\&=0;\qquad \left|n\right|\geq M\end{aligned}}$ Aplicando a equação de síntese da série obtemos: ${\begin{aligned}\Psi (e^{jw})&=\sum _{n=-M}^{M}e^{-jnw}\\&={\frac {e^{-jMw}(e^{j(2M+1)w}-1)}{e^{jw}-1}}\\&={\frac {e^{-jMw}(e^{j(2M+1)w/2}-e^{-j(2M+1)w/2})e^{j(2M+1)w/2}}{(e^{jw/2}-e^{-jw/2})e^{jw/2}}}\\&={\frac {sin[(2M+1)w/2]}{sin(w/2)}}\end{aligned}}$ Note que esta função $\Psi (e^{jw})={\frac {sin[(2M+1)w/2]}{sin(w/2)}}$ tem um máximo $(2M+1)$ em $w=0$, e cruza o zero em $(2M+1)w/2]=\pm \pi$, portanto a lagura do lóbulo central é de $4\pi /(2M+1)$. Além disso percebe-se que se aumentamos o tamanho da janela retangular (2M+1), a largura do lóbulo central é reduzida proporcionalmente. Figura 5 - função $\Psi (e^{jw})$ Ao fazer o "janelamento" dos coeficientes da série de Fourier da resposta em frequência do filtro ideal, estamos multiplicando a série de coeficientes pelo janela retangular $h(n)=w(n)\times C_{LP}$, conforme mostra a figura a seguir. Figura 6 - Janelamento temporal (rectwin) dos coeficientes Essa multiplicação no domínio do tempo corresponde a uma convolução no domínio da frequência. ${\begin{aligned}H_{M}(e^{j\omega })&={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }H_{LP}(e^{j\theta })\Psi (e^{j(\omega -\theta })\mathrm {d} \theta \\&={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }H_{LP}(\theta )\Psi (\omega -\theta )\mathrm {d} \theta \end{aligned}}$ A qual é mostrada graficamente na figura a seguir. Figura 7 - Convolução da resposta do filtro ideal H_{LP} com a função $\Psi (e^{jw})$ Figura 8 - Aproximação da resposta de magnitude com janela retangular Para reduzir o ripple devido ao corte dos coeficientes, são usadas as funções de janelamento temporal no projeto de filtros digitais. Tipos de janelas temporais usadas no projeto de filtros digitais. Retangular $w(n)=1;\qquad -M\leq n\leq M$ Triangular $w(n)=1-{\frac {\left|n\right|}{M+1}};\qquad -M\leq n\leq M$ Bartlett $w(n)=1-{\frac {\left|n\right|}{M}};\qquad -M\leq n\leq M$ Hann $w(n)=0.5+0.5\cos \left({\frac {2\pi n}{2M+1}}\right),-M\leq n\leq M$ Hamming $w(n)=0.54+0.46\cos \left({\frac {2\pi n}{2M+1}}\right);\qquad -M\leq n\leq M$ Blackman $w(n)=0.42+0.5\cos \left({\frac {2\pi n}{2M+1}}\right)+0.08\cos \left({\frac {4\pi n}{2M+1}}\right);\qquad -M\leq n\leq M$ em todas as janelas $w\left(n\right)=0$ quando $\left|n\right|\geq M$ onde $M$ é $N/2$ para $N$ par e $(N+1)/2$ para $N$ impar Uso de janelas fixas no Matlab : rect, triang, bartlett, hann, hamming, blackman, blackmanharris, nuttall. ver também apodization function L = 64; wvtool(rectwin(L), triang(L), bartlett(L), hann(L), hamming(L), blackman(L), blackmanharris(L), nuttallwin(L)); Exercício: Efeito do uso das janelas no filtro FIR Escreva um código que implemente o cálculo dos coeficientes da série de Fourier dos filtros ideais LP, HP, BP, BS, e aplique as janelas temporal Retangular, Bartlett, Hann, Hamming e Blackman, conforme equações acima. Verifique o efeito das diferentes janelas temporais sobre a magnitude e fase da resposta em frequência, sobre a resposta ao impulso e a posição dos zeros no plano z. Use wc como a frequência de corte do filtro LP e HP, e wc1 e wc2 como frequências de corte dos filtros BS e BP Escolha uma ordem N para o filtro (valores entre 10 e 100 são normais) e depois verifique as mudanças que ocorrem com a variação de N. A resposta ao impulso h(n) dos filtros é dada pela multiplicação dos coeficientes da série de Fourier "C" pela janela temporal "w". Os coeficientes do filtro são obtidos fazendo b(n) = h(n) = C(n).*w(n). Dicas: Use multiplicação elemento a elemento do Matlab (.*), ver Array vs. Matrix Operations. O número de coeficientes sempre será igual a (N+1)=(2M+1). O ripple na banda de rejeição é sempre proporcional ao ripple na banda passante (visualizar com a escala linear de magnitude). Use fvtool para visualizar os gráficos de um filtro digital H(z). Essa ferramenta não serve para filtros analógicos pois utiliza freqz e não freqs. Note que a banda de transição aumenta a medida que o ripple diminui. Note que o aumento da ordem do filtro reduz a banda de transição, mas "quase" não afeta a amplitude do ripple. Varie o wc e veja o efeito no filtro. ATUAL Aula 21 (4 mar) Use o código abaixo e verifique o efeito das diferentes janelas temporais sobre a magnitude da resposta em frequência, sobre a resposta ao impulso, posição dos zeros no plano z, etc. No código o wc é a frequência de corte do filtro LP, N é a ordem do filtro, CLP é são os coeficientes da série de Fourier do filtro LP ideal multiplicados pela janela retangular, bRET, bHAM e bBLACK são os coeficientes dos filtros usando respectivamente as janelas retangular, Hamming e Blackman. Note que: 1) O número de coeficientes sempre será igual a (N+1)=(2M+1). 2) A função ylim([-0.1 0.1]) foi usada para destacar o ripple na banda passante. 3) O ripple na banda de rejeição é sempre proporcional ao ripple na banda passante (visualizar com a escala linear de magnitude). 4) A banda de transição aumenta a medida que o ripple diminui. 5) O aumento da ordem do filtro reduz a banda de transição, mas "quase" não afeta a amplitude do ripple. N = 32; wc = 0.5; M = N/2; CLP = wc*sinc(wc*(-M:M)); bRET = CLP; bHAM = CLP.*hamming(2*M+1)'; bBLACK = CLP.*blackman(2*M+1)'; fvtool(bRET,1,bHAM,1,bBLACK,1); legend('rectwin', 'Hamming', 'Blackman'); ylim([-0.1 0.1]) Estudar no Matlab as funções wvtool, window Ver Window Designer, Design and analyze spectral windows. Ver FIR Filter Design Ver pag. 263 a 268 de Ver este artigo de 1978 que compara diversas janelas temporais, aplicadas não a filtragem mas a análise de sinais. F. J. Harris, "On the use of windows for harmonic analysis with the discrete Fourier transform," in Proceedings of the IEEE, vol. 66, no. 1, pp. 51-83, Jan. 1978, doi: 10.1109/PROC.1978.10837. Ver este artigo de 1978 que aplica janelas aos filtros FIR L. Rabiner, B. Gold and C. McGonegal, "An approach to the approximation problem for nonrecursive digital filters," in IEEE Transactions on Audio and Electroacoustics, vol. 18, no. 2, pp. 83-106, June 1970, doi: 10.1109/TAU.1970.1162092. Projeto de filtro FIR utilizando janelas temporais fixas. Exemplos de projeto Projetar um filtro LP usando uma janela temporal fixa (verificar a janela que atende a especificação) wp = 0.2*pi; Ap = 1 dB; Gp = 0 dB ws = 0.4*pi; As = 40 dB; Para o projeto do filtro, o primeiro passo é escolher uma janela que atenda a atenuação na banda de passagem e na banda de rejeição. Em seguida é necessário determinar a ordem do filtro que atende a especificação de largura de banda de transição. Por último será necessário ajustar o valor de wc para que o filtro esteja dentro das especificações. Ao final do projeto, deverá ser informado o tipo de janela escolhida, a ordem do filtro, se é do tipo 1, 2, 3 ou 4, e o valor de wc.