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MURAL DE AVISOS E OPORTUNIDADES DA ÁREA DE TELECOMUNICAÇÕES

• Link curto http://bit.ly/IFSC-PSD29007
• Carga horária, Ementas, Bibliografia, Professores
• Cronograma de atividades (PSD-EngTel)
• Plano de Ensino

Registro on-line das aulas

Unidade 1

Aula 1 (11 Ago)

• Apresentação da disciplina

• Revisão de Sinais e Sistemas no tempo discreto em Matlab:

• Resposta de sistemas LTI (Experimento 1.1)

• Relembrar o conceito de equação de diferenças de um sistema LTI discreto e resposta ao impulso.
• Resposta ao delta de Kronecker do sistema LTI discreto

$a_{0}y[n]+a_{1}y[n-1]+a_{2}y[n-2]+...+a_{N}y[n-N]=b_{0}x[n]+b_{1}x[n-1]+b_{2}x[n-2]+...+b_{M}x[n-M]$

onde $a_{0}=1$, $a_{1}=1/\alpha$ e $b_{1}=1$ logo $y[n]=1/\alpha .y[n-1]+x[n]$

%  Exemplos e Experimentos baseados no livro:
% DINIZ, P. S. R., DA SILVA, E. A. B., e LIMA NETTO, S. Processamento Digital de Sinais: Projeto e Análise de Sistemas. 2. ed. Porto Alegre: Bookman, 2014. 976 p. ISBN 978-8582601235.
%% Experimento 1.1
alpha = 1.15; N = 256;
x = [1 zeros(1,N)];
y = filter(1,[1 -1/alpha],x);
stem(y);

• Amostragem de Sinais (Experimento 1.2)

• Relembrar teorema da amostragem. Efeito da amostragem abaixo da frequência de Nyquist. Aliasing.
• Notar que as amostras de um sinal $s_{1}(t)=cos(2\pi \times 3t)$ (3 Hz) e um sinal $s_{2}(t)=cos(2\pi \times 7t)$ (7 Hz) são idênticas quando amostrado com um sinal de 10 Hz.

%  Exemplos e Experimentos baseados no livro:
% DINIZ, P. S. R., DA SILVA, E. A. B., e LIMA NETTO, S. Processamento Digital de Sinais: Projeto e Análise de Sistemas. 2. ed. Porto Alegre: Bookman, 2014. 976 p. ISBN 978-8582601235.
%% Experimento 1.2
fs = 10; % frequencia (Hz) de amostragem dos sinais
Ts = 1/fs; fase = 0;
time = 0:Ts:(1-Ts);
f1 = 3; % frequencia (Hz) do sinal s_1
f2 = 7; % frequencia (Hz) do sinal s_2
s_1 = cos(2*pi*f1*time+fase);
s_2 = cos(2*pi*f2*time+fase);
fsa = 1000; % frequência auxiliar de amostragem usada apenas para representação dos sinais originais
Tsa = 1/fsa;
time_aux = 0:Tsa:(1-Tsa);
figure(1);
stem(time,s_1,'ob');
hold on;
plot(time_aux, cos(2*pi*f1*time_aux+fase),'--k');
stem(time,s_2,'+r');
plot(time_aux, cos(2*pi*f2*time_aux+fase),'--m');
hold off;
legend('s_1 discreto','s_1 contínuo','s_2 discreto','s_2 contínuo')

• Uso do Matlab: Help, F9 executa o código destacado no Help. Programação com scripts .m, Execução de seções e variação de valores nos scripts,
• Ver no Matlab: zeros, ones, plot, stem, subplot, filter.
• Uso de gráficos no Matlab.

• Ver pag. 65 a 71 de
• Ver também PDF Documentation for MATLAB. Principalmente MATLAB Primer.

Aula 2 (15 Ago)

• Revisão de Sinais e Sistemas no tempo discreto em Matlab:

• Filtragem de Sinais (Experimentos 1.3, 2.1 e 2.2)
• Uso de residue, residuez, roots, poly, freqs (Experimentos 2.1 e 2.2)
• Ver também o Publish para a geração automática de relatórios em html, doc, pdf, latex ou ppt. Ver também Publishing MATLAB Code.
• Ver pag. 138 a 141 de

Variação do Experimento 2.2

% Exemplos e Experimentos baseados no livro: % DINIZ, P. S. R., DA SILVA, E. A. B., e LIMA NETTO, S. Processamento Digital de Sinais: Projeto e Análise de Sistemas. 2. ed. Porto Alegre: Bookman, 2014. 976 p. ISBN 978-8582601235. %% Experimento 2.2 % Resposta em frequencia usando a função freqz N = 1; num = [1 0 0 0]; den = poly([0.8 0.2]) %den = [1 0.6 -0.16]; % modo 1 %[H,w]=freqz(num,den,[0:pi/100:N*pi-pi/100]); %plot(w/pi, abs(H)); % modo 2 %[H,w]=freqz(num,den); %plot(w/pi, abs(H)); % modo 3 %[H,w]=freqz(num, den, 'whole'); %plot(w/pi, abs(H)); % modo 4 freqz(num, den, 'whole'); figure(2); zplane(num,den); %% Resposta em frequencia substituindo z -> e^(jw) syms z Hf(z) = symfun(z^2/(z-0.2)/(z+0.8),z); pretty(Hf) latex(Hf) N = 1; w = [0:pi/100:N*pi-pi/100]; plot(w/pi,abs(Hf(exp(1i*w)))) %title(['$' latex(Hf) '$'],'interpreter','latex') text(0.2,2,['H(z) = ' '$$' latex(Hf) '$$'],'interpreter','latex') xlabel(['w/' '$$' '\pi' '$$'],'interpreter','latex') Verifique a diferença entre os tipos de plots comentados no código. substitua o denominador de H(z) por dois polos em [-0.8 -0.8]. verifique o que ocorre se forem utilizados polos complexos conjugados [0.3-0.4i 0.3+0.4i 0.1] verifique o que ocorre se forem utilizados polos complexos não conjugados [0.3-0.4i 0.3+0.8i] verifique o que ocorre se os polos estiverem fora do circulo unitário [1.2 -0.2]. Interprete este resultado

Aula 3 (18 Ago)

• Revisão de Sinais e Sistemas no tempo discreto em Matlab:

• Filtragem de Sinais (Experimento 3.1)

• Análise de Sinais (Experimento 3.2) - Análise de um sistema h[n] correspondente a um filtro passa-faixa, utilizando um sinal de entrada x[n] senoidal (ou um sinal r[n] de ruído branco). Análise da entrada x[n] e saída y[n] usando a fft.

Variação do Experimento 3.2

%% Variação do Experimento 3.2 do livro: % DINIZ, P. S. R., DA SILVA, E. A. B., e LIMA NETTO, S. Processamento Digital de Sinais: Projeto e Análise de Sistemas. 2. ed. Porto Alegre: Bookman, 2014. 976 p. ISBN 978-8582601235. % % Análise de sinais no domínio da frequência % File Exp3_2.m fs = 200; % frequência de amostragem f_sinal = 10; A_sinal = 1; % freqüência e amplitude do sinal T = 1; % Duração do sinal k_noise = 0; % Intensidade do ruído time = 0 : 1/fs : (T-1/fs); L = length(time); freq = time * fs/T; sinal = A_sinal*sin(2*pi*f_sinal.*time); noise = k_noise*randn(1,fs*T); x = sinal + noise; X = abs(fft(x))/L; figure(1); subplot(211);plot(time,x); subplot(212);plot(freq,X); Acrescente a Figura 1 um plot com a magnitude em dB do sinal no domínio da frequência - 20*log10(X) Insira nos gráficos títulos para cada subplot, labels para os eixos X e Y, e posicione o texto "F Hz" para indicar o pico nos gráficos 2 e 3, conforme mostrado na figura abaixo. Figura 1 - Análise no domínio da frequência do sinal $x(t)=Asin(2\pi ft)$ Varie o valor de k entre 0 e 2 (com passo de 0.1) e analise o sinal no domínio do tempo e no domínio da frequência. Utilize k = 0.3 e varia a frequência do sinal entre 0 até 200 Hz (com passo de 10 Hz). Interprete os resultados obtidos.

• Filtros Digitais (Experimento 2.3)
• Consulte a documentação do Matlab sobre

   grid, subplot, xlabel, ylabel, xlim, ylim, title, log10, log
  

• Uso das funções zp2tf, tf2zp, fft, ifft, fftfilt, fftshift
• Ver pag. 141 a 145 e 230 a 235 de

Aula 4 (22 Ago)

• Revisão de Sinais e Sistemas no tempo discreto em Matlab:

• Exercício - Sinal DTMF com ruído

• Usando o Matlab, gerar o sinal DTMF correspondente ao número N e adicionar um ruido ao sinal.
• Filtrar o sinal resultante mantendo apenas a frequência da linha (ou coluna)
• Mostrar os sinais no domínio do tempo e da frequência.

x1,X1 - soma das duas senoides.

x2,X1 - soma de x1 com o ruído branco (gaussiano)

y,Y - sinal filtrado.

• Utilizar uma frequência de amostragem de 8000Hz de fazer a duração do sinal igual a 200 ms.
• Para adicionar o ruído utilize a função y = awgn(x,snr), ou y = x + nivel*randn(n).
• Para a filtragem utilize?

• faça a filtragem no domínio do tempo, usando a função filter posicionando o polo sobre a frequência que deseja passar, e coloque um zero sobre a frequência que deseja rejeitar.
• faça a filtragem no domínio da frequência, convertendo o sinal x1 para DF usando X1 = fft(x1), Y = X1.*H, y = ifft(Y), onde H é um vetor de zeros e uns que indica as frequências que devem passar e quais devem ser rejeitadas.

VER (Experimento 3.1, Experimento 3.2, Experimento 2.3)

Unidade 2

Aula 5 (25 Ago)

• Filtros Analógicos:

• Função de transferência

$H(s)={\frac {c_{0}+c_{1}s+c_{2}s^{2}+...+c_{m}s^{m}}{d_{0}+d_{1}s+d_{2}s^{2}+...+d_{n}s^{n}}},m\leq n$

• Resposta em frequência: para obter a resposta em frequência é necessário avaliar

$H(j\omega )=H(s)\left|{\begin{matrix}\\s=j\omega \end{matrix}}\right.$

$H(j\omega )=\left|H(j\omega )\right|e^{j\phi (\omega )}$

$\left|H(j\omega )\right|^{2}=H(j\omega )H(-j\omega )$

$e^{j\phi (\omega )}={\frac {H(j\omega )}{H(-j\omega )}}$

• O projeto de filtros analógicos é realizado em 2 etapas:

1. projeto de um filtro passa baixas (LP) protótipo normalizado $H(p)$ com frequência de passagem $\Omega _{s}=1$
2. transformação em frequência para o tipo de filtro (LP, HP, BP ou BS)

$H(s)=H(p)\left|{\begin{matrix}\\p=g(s)\end{matrix}}\right.$

• A aproximação de magnitude de filtros analógicos pode ser realizado usando as aproximações de Butterworth, Chebyshev (tipo 1 ou 2) e Cauer.

• Projeto de filtros analógicos do tipo Butterworth, considerando: $\omega _{p}$ é a frequência de passagem do filtro LP, $A_{p}$ é a atenuação em dB na frequência de passagem, $\omega _{s}$ é a frequência de stopband do filtro, $A_{s}$ é a atenuação em dB na frequência de stopband, $\epsilon ={\sqrt {10^{0.1A_{s}}-1}}$, $\Omega _{s}={\frac {\omega _{s}}{\omega _{s}}}$, $\Omega _{p}={\frac {\omega _{p}}{\omega _{s}}}=1$ são as frequências de passagem e stopband do filtro protótipo.

• É necessário determinar a ordem $n$ do filtro:

$n\geq {\frac {\log[(10^{0.1A_{s}}-1)/(10^{0.1A_{p}}-1)]}{2\log \Omega _{s}}}$

• Em seguida obter os polos do filtro:

$p_{k}=\epsilon ^{(-1/n)}e^{\left[j{\frac {(2k+n-1)}{2n}}\pi \right]},k=1,2,3,...n$

• Em seguida é necessário obter a função de transferência:

$H(p)={\frac {1}{D(p)}}$, onde $D(p)=\prod _{k-1}^{n}\left(p-p_{k}\right)$

• No caso de um filtro LP é necessário ainda obter a função de transferência do filtro especificado

$H(s)=H(p)\left|{\begin{matrix}\\p={\frac {s}{\omega _{p}}}\end{matrix}}\right.$

• Ver pag. 186 a 204 de

Aula 6 ()

• Projeto de filtros analógicos do tipo Chebyshev I.

• Determine a ordem mínima necessária:

$n\geq {\frac {\cosh {-1}{\sqrt {(10^{0.1A_{s}}-1)/(10^{0.1A_{p}}-1)}}}{\cosh ^{-1}\Omega _{s}}}$

• Em seguida obter os polos do filtro:

$p_{k}=-\sinh(\varphi _{2})\sin(\theta _{k})+j\cosh(\varphi _{2})\cos(\theta _{k})\ \ \ \ \ k=1,2,3,...n$, onde

$\theta _{k}=\left({\frac {(2k-1)\pi }{2n}}\right)$

$\varphi _{2}={\frac {1}{n}}\sinh ^{-1}\left({\frac {1}{\epsilon }}\right)$

• Ver pag. 204 a 208 de

Aula 7 ()

• Filtros Analógicos:

• Uso das funções buttord, butter, cheb1ord, cheby1, cheb2ord, cheby2, ellipord, ellip para o projeto de filtros analógicos com Matlab (é necessário usar o parâmetro 's').
• Ler Comparison of Analog IIR Lowpass Filters em ellip
• Uso das funções freqs, "zplane", fvtool na análise da resposta em frequência de filtros analógicos.

• Exemplos de projeto de filtro passa-baixas com frequência de passagem de 16 krad/s com atenuação máxima de 0.3 dB, frequência de rejeição de 20 krad/s com atenuação mínima de 20 dB; e ganho em DC de 3 dB.

%% Projeto de filtro passa-baixas usando funções do Matlab  
%% Especificações do filtro 
Wp =16000; Ws = 20000; Ap = 0.3; As = 20; G0= 3;
% Para analisar o filtro projetado, use fvtool(b,a) para observar plano s, resposta em magnitude, fase e atraso de grupo
 
%% Butterworth
[n,Wn] = buttord(Wp, Ws, Ap, As,'s')
[b,a] = butter(n,Wn, 's');

%% Chebyshev I
n = cheb1ord(Wp, Ws, Ap, As,'s')
[b,a] = cheby1(n,Ap, Wp, 's');

%% Chebyshev II
n = cheb2ord(Wp, Ws, Ap, As,'s')
[b,a] = cheby2(n,As, Ws, 's');

%% Elliptic - Cauer
[n, Wn] = ellipord(Wp, Ws, Ap, As,'s')
[b,a] = ellip(n,Ap,As, Wn, 's');

Unidade 3

Aula 12 ()

• Filtros Digitais: Filtros FIR

• Filtros de fase linear: simétricos e antisimétricos
• Ver pag. 249 a 256 de

Aula 13 ()

• Filtros Digitais: Filtros FIR

• Filtros de fase linear: propriedades
• Coeficientes da série de Fourier de filtros ideias: LP, HP, BP, BS

• Passa-baixas (Low-pass)

$c_{\text{LP}}(n)=\left\{{\begin{matrix}{\frac {\omega _{c}}{\pi }};&\qquad n=0\\{\frac {\sin(\omega _{c}n)}{\pi n}};&\qquad \left|n\right|>0\end{matrix}}\right.$

• Passa-altas (High-pass)

$c_{\text{HP}}(n)=\left\{{\begin{matrix}1-{\frac {\omega _{c}}{\pi }};\qquad n=0\\-{\frac {\sin(\omega _{c}n)}{\pi n}};\qquad \left|n\right|>0\end{matrix}}\right.$

• Passa-faixa (Band-pass)

$c_{\text{BP}}(n)=\left\{{\begin{matrix}{\frac {\omega _{c2}-\omega _{c1}}{\pi }};\qquad n=0\\{\frac {\sin(\omega _{c2}n)-\sin(\omega _{c1}n)}{\pi n}};\qquad \left|n\right|>0\end{matrix}}\right.$

• Rejeita-banda (Band-stop)

$c_{\text{BS}}(n)=\left\{{\begin{matrix}1-{\frac {\omega _{c2}-\omega _{c1}}{\pi }};\qquad n=0\\-{\frac {\sin(\omega _{c2}n)-\sin(\omega _{c1}n)}{\pi n}};\qquad \left|n\right|>0\end{matrix}}\right.$

• Janela retangular, fenômeno de Gibbs
• Estudar no Matlab as funções wintool, wvtool, window

• Uso de funções de janelamento temporal no projeto de filtros digitais.
• Tipos de janelas temporais usadas no projeto de filtros digitais.

• Retangular

$w(n)=1;\qquad -M\leq n\leq M$

• Bartlett

$w(n)=1-{\frac {\left|n\right|}{M+1}};\qquad -M\leq n\leq M$

• Hanning

$w(n)=0.5+0.5\cos \left({\frac {2\pi n}{2M+1}}\right),-M\leq n\leq M$

• Hamming

$w(n)=0.54+0.46\cos \left({\frac {2\pi n}{2M+1}}\right);\qquad -M\leq n\leq M$

• Blackman

$w(n)=0.42+0.5\cos \left({\frac {2\pi n}{2M+1}}\right)+0.08\cos \left({\frac {4\pi n}{2M+1}}\right);\qquad -M\leq n\leq M$

• em todas as janelas $w\left(n\right)=0$ quando $\left|n\right|\geq M$

• Ver pag. 256 a 265 de

Aula 16 e 17 ()

• Filtros Digitais: Filtros FIR
• Projeto de filtro FIR utilizando janelas temporais
• Uso de janelas fixas no Matlab : rect, triang, bartlett, hann, hamming, blackman, blackmanharris, nuttall.

L = 64; 
wvtool(rectwin(L), triang(L), bartlett(L), hann(L), hamming(L), blackman(L), blackmanharris(L), nuttallwin(L));

Janela	$A_{sl}$	$\Delta \omega$
Retangular	13.3		{{{4}}}
Triangular	26.6		{{{4}}}
Barlett	26.5		{{{4}}}
Hann	31.5		{{{4}}}
Barlett-Hanning	35.9		{{{4}}}
Hamming	42.5		{{{4}}}
Bohman	46.0		{{{4}}}
Parzen	53.1		{{{4}}}
Backman	58.1		{{{4}}}
Flat Top	88.0		{{{4}}}
Backman-Harris	92.1		{{{4}}}
Nutfall	93.8		{{{4}}}

• Uso de janelas ajustáveis no Matlab: kaiser, chebyshev, gauss, tukey, taylor.

L = 64; 
r = 60;    % Chebyshev e Tukey
alpha = 3; % Gauss
betha = 8; % Kaiser
nbar = 10; % Taylor
wvtool(kaiser(L,betha), chebwin(L,r), gausswin(L,alpha),tukeywin(L,r), taylorwin(L,nbar,-r));

Para a janela de Kaiser, a estimação do fator $\beta$ e da ordem do filtro $N$ são obtidos por:

$\beta =\left\{{\begin{matrix}0.1102(\alpha -8.7),&\alpha >50,\\0.5842(\alpha -21)^{0.4}+0.07886(\alpha -21),&50\geq \alpha \geq 21,\\0,&\alpha <21.\end{matrix}}\right.$

$N={\frac {\alpha -8}{2.285\Delta \omega }}+1.$

onde $\alpha$ é a atenuação do lóbulo lateral e $\Delta \omega$ é a largura da banda de transição em rad/amostra.

Utilizando o Matlab é possível estimar esses valores utilizando a função kaiserord. Exemplo da obtenção de um filtro passa baixa com $f_{pass}=1000Hz$, $f_{stop}=1500Hz$, $f_{amostragem}=8000Hz$ atenuação de 40 dB na "stopband"

fsamp = 8000;
fcuts = [1000 1500];
mags = [1 0];
devs = [0.01 0.01];
[n,Wn,beta,ftype] = kaiserord(fcuts,mags,devs,fsamp);

Com os parâmetros é possível projetar o filtro usando a função fir1, que utiliza o método da janela para o projeto do filtro.

h_fir = fir1(n,Wn,ftype,kaiser(n+1,beta),'noscale');
[Hw,w] =freqz(h_fir);
plot(w*fsamp/2/pi,20*log10(abs(Hw)))
title(['Kaiser filter N = ' num2str(n)])
%fvtool(h_fir,1)

• Ver as funções fir1, kaiserord do Matlab.
• Ver pag. 266 a 273 de

Aula 18 ()

• Filtros Digitais: Filtros FIR

• Uso das funções window e fir1 do Matlab para projeto de filtro FIR

%% Exemplo de Filtro wp1 = 0.1 \pi; ws1 = 0.2 \pi; ws2 = 0.6 \pi; wp2 = 0.8 \pi; Ap = 1 dB; Ar = 40 dB; </syntaxhighlight>

Aula 19 ()

• Filtros Digitais: Filtros FIR

• Filtro de Parks-McClellan. Funções firpm e firpmord.

Aula 20 ()

• Uso do [1] Fdatool para projeto de filtro IIR, FIR equiripple e FIR com janela.

%% Exemplo de Filtro 
fp = 3000 Hz;
fr = 4000 Hz;
fs = 20000 Hz;
Ap = 1 dB;
Ar = 40 dB;

Unidade 4

Aula 20 ()

• Realização de Filtros

• Realização de filtros FIR: Forma Direta.

Figura 1 - Realização de filtros FIR na Forma Direta

• Realização de filtros FIR: Forma Transposta. A transposição consiste na inversão do fluxo de todos os sinais, substituição de nós de soma por derivações e as derivações por soma. A entrada e saída também devem ser invertidas. A realização da transposição não altera o sistema implementado.

Figura 2 - Realização de filtros FIR na Forma Transposta Figura 3 - Realização de filtros FIR na Forma Transposta

• Realização de filtros FIR de fase linear: simétrico tipo I e II e antissimétrico tipo III e IV.

Figura 4 - Realização de filtros FIR de fase linear Simétrico I Figura 5 - Realização de filtros FIR de fase linear Simétrico II Figura 6 - Realização de filtros FIR de fase linear Antisimétrico III Figura 7 - Realização de filtros FIR de fase linear Antisimétrico IV

• Realização de Filtros FIR usando o FDATool

• Realização de Filtros usando o comando realizemdl do MatLab

Fs = 40000;              % Sampling Frequency
Fpass = 12000;           % Passband Frequency
Fstop = 13000;           % Stopband Frequency
Dpass = 0.01;            % Passband Ripple
Dstop = 0.01;            % Stopband Attenuation
flag  = 'scale';         % Sampling Flag

% Calculate the order from the parameters using KAISERORD.
[N,Wn,BETA,TYPE] = kaiserord([Fpass Fstop]/(Fs/2), [1 0], [Dstop Dpass]);

% Calculate the coefficients using the FIR1 function.
b  = fir1(N, Wn, TYPE, kaiser(N+1, BETA), flag);

hFIR = dsp.FIRFilter;
hFIR.Numerator = b;

% Para definir diretamente os coeficientes
realizemdl(hFIR)

% Para definir os coeficientes através de uma matriz de entrada
realizemdl(Hd,'MapCoeffsToPorts','on');

• Estudar estrutura de filtros disrcetos FIR no Matlab, Filter Realization Wizard - Reference, Filter Realization Wizard - User Guide.
• Ver pag. 303 a 312 de .

Aula 22 ()

• Realização de filtros FIR: Cascata, Polifase

• Vantagens do uso de filtro Polifase:

1) Quando o sinal será subamostrado (downsampling) de "D" amostras após a filtragem, a complexidade da implementação é reduzida de "D" vezes, pois apenas uma das "fases" precisa ser implementada.

2) Para reduzir o harware a ser implementado, é possível implementar apenas uma das "fases" do filtro e trocar "D" vezes os coeficientes.

• Ver polyphase, mfilt.firdecim, dsp.FIRDecimator

• Realização de filtros IIR de 2ª ordem: Forma Direta I e II, e Forma Transposta I e II.

$H(z)={\frac {Y(z)}{X(z)}},H(z)={\frac {b_{0}z^{2}+b_{1}z^{1}+b_{2}}{z^{2}+a_{1}z^{1}+a_{2}}},H(z)={\frac {b_{0}+b_{1}z^{-1}+b_{2}z^{-2}}{1+a_{1}z^{-1}+a_{2}z^{-2}}}$

• Separando H(z) em dois blocos $\ H(z)=H_{1}(z)H_{2}(z)$, e obtendo o sinal intermediário W(z) ou Y(z) dependendo da ordem dos blocos.

Figura 7 - Separação do filtro IIR H(z) em H1(z) e H2(z)

Com o ordenamento dos blocos $\ H_{1}(z)$ e $\ H_{2}(z)$ em ordem direta teremos a Forma Direta I:

$H_{1}(z)={\frac {W(z)}{X(z)}}=b_{0}+b_{1}z^{-1}+b_{2}z^{-2}$

$H_{2}(z)={\frac {Y(z)}{W(z)}}={\frac {1}{1+a_{1}z^{-1}+a_{2}z^{-2}}}$

Podemos obter a realização de $\ H_{1}(z)$ na forma direta.

$\ W(z)=(b_{0}+b_{1}z^{-1}+b_{2}z^{-2})X(z)$

Para obter a realização de $\ H_{2}(z)$ , é necessário reescrever a saída $\ Y(z)$ em função de $\ W(z)$ e das saídas anteriores $\ Y(z)z^{-1}$ e $\ Y(z)z^{-2}$:

$\ Y(z)={\frac {W(z)}{1+a_{1}z^{-1}+a_{2}z^{-2}}}$

$\ Y(z)({1+a_{1}z^{-1}+a_{2}z^{-2}})=W(z)$

$\ Y(z)=W(z)-a_{1}Y(z)z^{-1}-a_{2}Y(z)z^{-2}$

Figura 8 - Realização de filtros IIR na Forma Direta I

Com o ordenamento dos blocos $\ H_{2}(z)$ e $\ H_{1}(z)$ em ordem reversa teremos a Forma Direta II:

$H_{2}(z)={\frac {V(z)}{X(z)}}={\frac {1}{1+a_{1}z^{-1}+a_{2}z^{-2}}}$

$\ V(z)=X(z)-a_{1}V(z)z^{-1}-a_{2}V(z)z^{-2}$

$H_{1}(z)={\frac {Y(z)}{V(z)}}=b_{0}+b_{1}z^{-1}+b_{2}z^{-2}$

$\ Y(z)=(b_{0}+b_{1}z^{-1}+b_{2}z^{-2})V(z)$

Figura 9 - Realização de filtros IIR na Forma Direta II

Considerando que os sinais no centro são idênticos podemos simplificar e obter a Forma Direta II (Canônica):

Figura 10 - Realização de filtros IIR na Forma Direta II Canônica

Considerando as regras de transposição podemos obter a forma transposta I e II. A transposição consiste na inversão do fluxo de todos os sinais, substituição de nós de soma por derivações e as derivações por soma. A entrada e saída também devem ser invertidas. A realização da transposição não altera o sistema implementado.

Figura 11 - Realização de filtros IIR na Forma Transposta I Figura 12 - Realização de filtros IIR na Forma Transposta II

• Realização de filtros IIR de ordem maior que 2: Forma Direta I e II, Transposta I e II, Cascata, Paralela

• Os filtros IIR de ordem superior a 2 podem ser implementados nas FD I ou II e na FT I ou II. No entanto nessa configuração tendem a ficar instáveis ao terem os coeficientes quantizados, e também terem uma significativa alteração da resposta em frequência. Para reduzir esses problemas uma possível solução é a decomposição em filtros de 2ª ordem para serem associados na forma em Cascata ou Paralela.

• Ver Biquad Filter
• Ver funções do Matlab: roots, poly, residuez, tf2zp, zp2tf, zp2sos, tf2sos, tf2latc.
• Implementar o exercício 6.3: Forma direta I, Forma direta II, Cascata.
• Implementar o exercício 6.13: Forma direta I, Cascata e Paralela.
• Ver pag. 313 a de 353 .
• Ver pag. 469 a 474 do Lathi

• Filtros Digitais: Ferramentas do Matlab para projeto

• Practical Introduction to Digital Filter Design
• Filter Design Gallery
• Função para projeto de filtros - designfilt

Aula 23 ()

• Filtros Digitais: Utilização de filtros FIR

• Utilizar o Audacity para gerar sinais de teste. Gere os seguintes sinais e analise seus espectrogramas:

• Um sinal DTMF com duração de 1 segundo com frequência de amostragem de 8 kHz, correspondente aos dígitos 1234567890 ('Dtmf.wav').
• Um sinal contendo ruído branco com duração de 5 segundo com frequência de amostragem de 8 kHz ('RuidoBranco.wav').
• Um sinal onda quadra com duração de 2 segundo com frequência de amostragem de 8 kHz e período de 2 ms ('Quadrada.wav').

Utilize o Matlab para gerar o seguinte sinal:

• Um sinal de varredura de Cosseno entre 0 Hz e 4 kHz com duração de 1 segundo.

Fs = 8000;
t = 0:1/Fs:1-1/Fs;
x = chirp(t,0,1,4000);
spectrogram(x, blackman(128), 120, 200, Fs,'yaxis')
audiowrite('Chirp0-4kHz.wav',x,Fs)
sound(x,Fs)  % Atenção remova o fone de ouvido antes de realizar este procedimento.

Utilizar o Matlab para projetar os seguintes filtros FIR e transmitir os sinais obtidos acima. Em todos os filtros considere a frequência de amostragem como 8 kHz, atenuação máxima na banda de passagem de 0,5 dB, e as bandas de transição como 400 Hz. Use a janela de Kaiser.

• Filtro passa-baixas com fc = 1,5 kHz e atenuação de 60 dB na rejeição;
• Filtro passa-altas com fc = 2,5 kHz e atenuação de 30 dB na rejeição;
• Filtro passa faixa com fc1 = 1,5 kHz e fc2 = 2,5 kHz e atenuação de 80 dB na rejeição;
• Filtro rejeita faixa com fc1 = 1,9 kHz e fc2 = 2,1 kHz e atenuação de 80 dB na rejeição;

Após obter os filtros, transmita cada um dos sinais gerados no Audacity através do filtro e verifique o resultado obtido analisando os sinal obtidos comparando o espectrograma com a resposta em magnitude do filtro.

[x, Fs] = audioread('Chirp0-4kHz.wav');  % Leitura do sinal
t = (0:length(x)-1)/Fs;  % Vetor de tempo
b = fir1(48,[2000 2100]/Fs); % Filtro Hamming com ordem 48 passa faixa

sound(x,Fs)  % Atenção remova o fone de ouvido antes de realizar este procedimento.
y = filter(b,1,x);
sound(y,Fs)  % Atenção remova o fone de ouvido antes de realizar este procedimento.
subplot(311); spectrogram(x, blackman(128), 100, 200, Fs)
subplot(312); spectrogram(y, blackman(128), 100, 200, Fs)
[Hw, w] = freqz(b,1,2000);
subplot(313); plot(w/pi*Fs/2,20*log10(abs(Hw))); ylim([-100,0]);

• Ver as funções audioread, audiowrite, chirp, spectrogram, filter do Matlab.

Aula 24 e 25(31 Out e 3 Nov)

• Projeto de um receptor DTMF.

• cada aluno deverá projetar dois discriminadores de frequências correspondente a duas linhas e duas colunas do sistema DTMF.
• As especificações do discriminador de frequência, mostrado na figura, são:

• A frequência de amostragem f_s do sinal de entrada é de 8 kHz.
• Os filtros passa banda (BP) deverão ter, inicialmente, uma largura de banda BW' correspondente a 10% da frequência central f_0.
• Os filtros passa baixa (LP) deverão ter, inicialmente, uma freqüência de passagem f_p de 100 Hz.
• O circuito retificador deve se implementado pela função abs.
• Neste projeto o sinal de entrada terá uma frequência de amostragem do sinal de de 44.100 Hz. Recomenda-se que antes de realizar todas as filtragens indicadas no diagrama, se faça uma filtragem passa-baixa com um filtro de 2 polos do tipo Butterworth ou Chebychev 1, com fc = 0.5*44.100/11 ~ 2kHz, seguido de uma subamostragem para a nova frequência de ~ 4kHz.

Ver as especificações DTMF em:

• ETSI ES 201 235-1 - Specification of Dual Tone Multi-Frequency (DTMF) Transmitters and Receivers; Part 1: General
• ETSI ES 201 235-2 - Specification of Dual Tone Multi-Frequency (DTMF) Transmitters and Receivers; Part 2: Transmitters
• ETSI ES 201 235-3 - Specification of Dual Tone Multi-Frequency (DTMF) Transmitters and Receivers; Part 3: Receivers
• ETSI ES 201 235-4 - Specification of Dual Tone Multi-Frequency (DTMF) Transmitters and Receivers; Part 4: Receivers for use in Terminal Equipment for end-to-end signalling

Aula 26 ()

• Atraso de grupo em filtros IIR e FIR no Matlab}}

• O atraso de grupo de um filtro é a medida da atraso médio do filtro em função da frequência do sinal de entrada. Ele é obtido pela primeira derivada da resposta de fase do filtro. Se a resposta em frequencia é $H(e^{j\omega })$ , então o atraso de grupo é:

$\tau _{g}(\omega )={\frac {d\theta (\omega )}{d\omega }}$

onde $\tau _{g}(\omega )$ é a fase de $H(e^{j\omega })$.

• Função para o cálculo do atraso de grupo (group delay) no Matlab
• Compensação do atraso introduzido pelo filtro IIR.
• Filtragem digital com fase nula.
• Compensação do atraso introduzido pelo filtro FIR.

• Um filtro sem distorção de fase (Não causal) pode ser obtido ao passar uma sequencia x(n) por um filtro H1, tomando a saída do filtro revertida e passando novamente pelo mesmo filtro H1. A saída do último filtro revertida corresponde ao sinal x(n) filtro com fase zero. O filtro obtido desta forma tem as seguintes características:

• A Distorção de fase nula
• A função de transferência do filtro é igual a magnitude ao quadrada da função de transferência original do filtro H1.
• A ordem do filtro é o dobro da ordem do filtro H1.

• Exemplo de aplicação a filtragem de um sinal ECG com ruído Arquivo:Noisyecg.txt noisyecg.mat:

%% Carregando um sinal de ECG com ruído com duração de 4 segundos.
load noisyecg.mat
x = noisyECG_withTrend;
fa = 500;  %% 2000 amostras em 4 segundos => 500 amostras por segundo.
t = [0:length(x)-1]*1/fa;
plot(t,x);

%% Projetando um filtro passa-baixa tipo IIR  butter com f_passagem = 0.15 rad/s
d = designfilt('lowpassiir', ...
    'PassbandFrequency',0.15,'StopbandFrequency',0.2, ...
    'PassbandRipple',1,'StopbandAttenuation',60, ...
    'DesignMethod','butter');
freqz(d)

%% Filtro de x revertido x e somando com x filtrado. OFF LINE
y = flip(filter(d,flip(filter(d,x))));
y1 = filter(d,x);

figure(2);
subplot(2,1,1)
plot(t, [y y1])
title('Filtered Waveforms')
legend('Zero-phase Filtering','Conventional Filtering')

subplot(2,1,2)
plot(t, [x y])
title('Original Waveform')
legend('noisy ecg ','fitered ecg')

• Verifique também o resultado da filtragem usando um filtro IIR (ellip, cheby1 ou cheby2) e filtros FIR (equiripple e de janela)

%% Projetando um filtro passa-baixa tipo FIR  equiripple com f_passagem = 0.15 rad/s
d = designfilt('lowpassfir', ...
    'PassbandFrequency',0.15,'StopbandFrequency',0.2, ...
    'PassbandRipple',1,'StopbandAttenuation',60, ...
    'DesignMethod','equiripple');

y = flip(filter(d,flip(filter(d,x))));

• Note que nos filtros FIR de fase linear o procedimento mais simples é adiantar o sinal de acordo com o atraso de grupo (metade da ordem do filtro), devendo-se tomar cuidado para arredondar a meia amostra nos filtros de ordem impar.

y1 = filter(d,x);
gd = grpdelay(d);
gd1 = ceil(gd(1));
y = [y1(gd1:end); zeros(gd1-1, 1)];

O cálculo do atraso de grupo pode ser realizado utilizando a função grpdelay ou diretamente pela definição da derivada do ângulo em relação a frequência:

$\tau _{g}(\omega )={\frac {d\theta (\omega )}{d\omega }}=\lim _{\Delta _{\omega }\to 0}{\frac {\theta (\omega +\Delta _{\omega })-\theta (\omega )}{\Delta _{\omega }}}$

%% Calculo do atraso de grupo 
% Método 1 - uso da função grpdelay
[z,p,k] = butter(30,0.2);
sos = zp2sos(z,p,k);
[gd,w]=grpdelay(sos,128);
figure(1)
plot(w/pi,gd),grid on;
% Método 2 - derivada obtida por aproximação discreta
% calculo a cada par de pontos (w2-w1)/delta_w
[h,w] = freqz(sos);
a = unwrap(angle(h));
hold on; plot(w/pi,a,'g');
delta_w = pi/length(a);
plot(w(1:end-1)/pi+delta_w/2,-(a(2:end)-a(1:end-1))/delta_w,'r');

• Ler Gustafsson, F. "Determining the initial states in forward-backward filtering." IEEE® Transactions on Signal Processing. Vol. 44, April 1996, pp. 988–992, artigo que propos um técnica de minimizaçao dos transientes de inicio e fim do sistema linear.

UNIDADE 5

ATUAL

Aula 27 ()

• Uso do Simulink

• Uso dos blocos de simulação sinewave, scope e Spectrum Analyzer.
• Outros blocos mux, demux, sum, product.
• Exemplo: construção de um modulador AM.
• Interactive Simulink Tutorial

• Bases da modelagem gráfica com Simulink (45 minutos)

Introduction: What Is Simulink? 4:42

Constructing and Running a Simple Model 13:45

Simulating a Model 10:10

• Interactive Simulink Tutorial

• Bases da modelagem gráfica com Simulink (45 minutos)

Working with MATLAB 9:12 - Pass data between Simulink and MATLAB

Creating Subsystems 6:46 - Simplify your model by grouping blocks into subsystems

• É importante ler informações complementares sobre o Solver Pane, Model Simulation, Choose a Solver

• Usando o Simulink para modelagem de Sistemas Dinâmicos Discretos(60 minutos)

Modeling Discrete Dynamical Systems 19:35 - Learn to use the Integer Delay and Discrete Filter blocks to model difference equations

Use DSP System Toolbox 12:01 - Explore the basics of DSP System Toolbox, and model a simple system

Working with Signals in Simulink 9:59 - Learn frame-based processing and its benefits, and visualize signals in frequency domain

Applying a Filter 9:04 - Learn to model noise and implement a hand-designed filter to remove noise

Designing and Implementing a Filter 10:23 - Design a digital filter using the filter design tool and review signal processing application examples

dspstartup.m command

• É importante ler informações complementares sobre, Tempo de amostragem (Time Sample), View Sample Time Information, Sample- and Frame-Based Concepts, Vector Concatenate, Matrix Concatenate.

Avaliações

• Entrega dos diversos trabalhos ao longo do semestre.
• Projeto Final. O projeto é avaliado nos quesitos: 1) Implementação do Sistema, 2) Documentação, 3) Avaliação Global do aluno no projeto.

Atividades extra

Neste tópico serão listadas as atividades extras que os alunos da disciplina deverão realizar ao longo do curso.

PARA ENTREGAR

AE1 - Variação do Experimento 1.2 (prazo XX/Ago/2016)
No Experimento 1.2 varie o valor da frequência de amostragem de 6 até 20 Hz e observe: Em qual frequência deixa de ocorrer recobrimento do sinal 2. O que ocorre quando a frequência é 6, 7, 14 Hz? Explique Qual deveria ser a frequência do sinal f_2 para que as amostras tomadas sejam coincidentes como o sinal f_1 para uma frequência de amostragem f_s? Reescreva a equação e verifique no Matlab.

AE1 - Projeto de Filtros Digitais IIR (Prazo de entrega 10/10/2016 as 02:10:10 (madrugada))

Uma das metodologias de projeto de filtros digitais IIR, consiste em: (a) projeto de um filtro protótipo analógico passa-baixas H(p); (b) transformação em frequência do filtro H(p) -> H(s), obtendo o filtro LP, HP, BP, BS, conforme desejado; (c) transformação do filtro analógico em filtro digital H(s) -> H(z) utilizando a transformação Bilinear. Neste exercício avaliativo é solicitado que cada aluno realize o projeto do um conjunto de filtros, seguindo os passos acima descritos. Aluno Tipo w1 w2 Tipo Gp w1 w2 w3 w4 Katharine HP 0.3 0.7 BP 10 0.1 0.3 0.4 0.5 Fernando LP 0.3 0.7 BS -10 0.1 0.3 0.4 0.5 Tamara HP 0.4 0.8 BS 3 0.2 0.3 0.4 0.6 André LP 0.4 0.8 BP -3 0.2 0.3 0.4 0.6 Maria HP 0.4 0.5 BP 6 0.2 0.3 0.4 0.5 Marcos LP 0.4 0.5 BS -6 0.2 0.3 0.4 0.5 Iago HP 0.4 0.6 BS 1 0.5 0.6 0.7 0.8 Gabriel LP 0.4 0.6 BP -1 0.5 0.6 0.7 0.8 Khristine HP 0.3 0.4 BP 20 0.4 0.6 0.7 0.9 onde: LP - Passa Baixa, HP - Passa Altas, BP - Passa Faixa, BS - Rejeita Faixa $W_{N}$ - são as "N" frequência de especificação do filtro dadas em frequência digital normalizada (entre 0 a 1) onde 1 corresponde a metade da frequência de amostragem do sistema, ou ao valor de frequencia angular de $\pi$; $W_{p}$ - frequência de passagem; $W_{s}$ - frequência de rejeição, $A_{p}$ - Atenuação máxima na banda de passagem (dB), $A_{s}$ - Atenuação mínima na banda de rejeição (dB), $G_{p}$ - Ganho médio na banda de passagem (dB). No filtro 1 deve ser do tipo Chebyshev I, com Ap = 1 dB, As = 35 dB, G_p = 0 dB, para LP $W_{1}=W_{p}$, $W_{2}=W_{s}$, para HP $W_{1}=W_{s}$, $W_{2}=W_{p}$. No filtro 2 deve ser do tipo Butterworth, com Ap = 0.1 dB, As = 20 dB, para BP $W_{2}$ e $W_{3}$ são $W_{p1}$ e $W_{p2}$, $W_{1}$ e $W_{4}$ são $W_{s1}$ e $W_{s2}$, para BS $W_{1}$ e $W_{4}$ são $W_{p1}$ e $W_{p2}$, $W_{2}$ e $W_{3}$ são $W_{s1}$ e $W_{s2}$. Os projetos dos filtro 1 e 2 deve apresentar o cálculo da ordem do filtro, dos polos, a equação de H(p), H(s), H(z), |H(jw)|^2, a magnitude e fase do filtro nas frequências de passagem e rejeição especificadas. Para todos os filtros, apresente de modo gráfico a resposta em frequência do filtro (ganho em dB e fase) dos filtros (a) protótipo H(p), (b) Filtro analógico H(s) e Filtro digital H(z). Apresentar o gráfico do ganho em dB e da fase em cada caso com escalas corretas e com legendas Deve ser apresentado o diagrama dos pólos e zeros dos filtros H(s) e H(z) Escreva um relatório técnico em PDF mostrando os resultados obtidos e comentando os resultados obtidos. Cada figura deverá ter "label" adequado nos eixos das abscissas e ordenadas além de um "caption" com numeração descrevendo o que trata a figura. O "Publish" pode ser utilizado, mas o arquivo entregue deve ser PDF. Envie o relatório em pdf e os arquivos ".m" utilizados para o email "moecke at ifsc.edu.br" com o Assunto: PSD29007 - AE2 - Projeto de Filtros Digitais IIR.

AE2 - Projeto de Filtro Digitais FIR - MATLAB (Prazo de entrega 21/10/2016)

1. Projeto 4 filtros digitais FIR com fase linear com as mesmas características dos filtros da AE1. Dois filtros devem ser de janela fixa, um usando a janela de Kaiser e um o método de Park-McClellan. Utilize as funções adequadas do Matlab para obter os coeficientes das janelas e em seguida utilize a função fir1 para obter os filtros. Ajuste a ordem do filtro e frequência de passagem de modo a conseguir que cada filtro atenda as especificações iniciais. Coloque uma mascara no filtro que identifique claramente as especificações do filtro. 3. Para cada tipo de janela, apresente de modo gráfico a resposta em frequência do filtro (ganho) de menor ordem que atende as especificações. Sobreponha os gráficos inserindo uma legenda adequada (indicando o tipo de janela e ordem). Utilizando um escala em dB (entre 10 dB e -80 dB) e frequência em kHz. Utilize uma mascara com cor diferenciada para indicar claramente a especificação do filtro, e crie um segundo gráfico mostrando claramente a banda de passagem conforme ilustrado nas figuras abaixo: 6. Gere um arquivo "pdf" utilizando o Publish com os resultados e texto explicativo e envie o email "moecke at ifsc.edu.br" com o Assunto: PSD29007 - AE2 - Projeto de Filtro Digitais FIR - MATLAB.

AE3 - Projeto de Detectores DTMF - MATLAB (Prazo de entrega 22/11/2016)
Equipe 1 - Números 1, 3, 0, #, Butterworth PB e PA, FIR para os BP - Maria, André e Cantu Equipe 2 - Números 2, 5, *, 4, Chebyshev 1 PB e PA, FIR para os BP - Fernando, Iago e Marcos Equipe 3 - Números 6, 8, 9, 7 Chebyshev 2 PB e PA, FIR para os BP - Tamara, Kristhine e Katharine

Recursos necessários

• O Software Matlab está disponível na maioria dos laboratórios do IFSC-campus São José em instalação local tanto em Windows como Linux. Adicionalmente de qualquer maquina do IFSC, pode-se fazer Acesso ao IFSC-CLOUD.

• Para a programação em FPGAs, os softwares da ALTERA (Quartus II, QSIM e Modelsim-Altera), estão instalados no Laboratório de Programação (ver outros disponíveis). Para acessar veja a página Software e equipamentos recomendados para programação de FPGAs.

• Adicionalmente de qualquer maquina do IFSC, pode-se fazer usar o IFSC-CLOUD para ter acesso a estes softwares.

• Para a geração de documentação/relatórios técnicos/artigos, está disponibilizada a plataforma Sharelatex do IFSC-CLOUD. Utilize preferencialmente o modelo de artigo no padrão ABNT. Ver também Modelo para uso em relatórios.

Links auxiliares

• Help on-line do Matlab
• Uso do calculo simbólico na Matlab
• Perform Symbolic Computations - Matlab
• ELEMENTOS BÁSICOS DE PROGRAMAÇÃO EM MATLAB - UFSC, Donizetti.
• PDF Documentation for MATLAB

• Primer
• Desktop Tools and Development Environment
• Mathematics
• Graphics

• Manuais do Matlab para o Toolbox de DSP.

• DSP System Toolbox Getting Started Guide
• DSP System Toolbox User's Guide
• DSP System Toolbox Reference

• Manuais do Matlab para o Toolbox de Cálculo Símbolico.

• Symbolic Math Toolbox User's Guide
• MuPAD User's Guide
• MuPAD Reference

• Fixed-Point Filter Design - Mathworks
• Dicas de como utilizar o Matlab - HDL Coder para gerar código HDL.

• MATLAB to FPGA using HDL Coder
• [2]
• [3]

• Modelo para uso em relatórios
• Lista dos Símbolos Matemáticos
• PSD29007-Engtelecom(2015-1) - Prof. Marcos Moecke
• PSD29007-Engtelecom(2015-2) - Prof. Marcos Moecke
• PSD29007-Engtelecom(2016-1) - Prof. Marcos Moecke

Alguns artigos para leitura

Artigos bases de alguns dos filtros digitais:

• On the Use of Windows for Harmonic Analysis with the Discrete Fourier Transform - FREDRIC J. HARRIS
• Some Windows with Very Good Sidelobe Behavior - ALBERT H. NUTTALL

Relatórios simples:

• High Pass Filter Design and Analysis Using Hamming, Hanning and Nuttall Windows
• Advantages of Blackman Window over Hamming Window Method for designing FIR Filter
• High Pass Filter Design and Analysis Using Nuttall and Parzen Windows
• Performance Analysis of Low Pass FIR Filters Design Using Kaiser, Gaussian and Tukey Window Function Methods
• High Quality Low Order Nonrecursive Digital Filters Design Using Modified Kaiser Window

Referências Bibliográficas

Curso de Engenharia de Telecomunicações