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MURAL DE AVISOS E OPORTUNIDADES DA ÁREA DE TELECOMUNICAÇÕES

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Informações da disciplina

• PROFESSOR: Diego da Silva de Medeiros
• PLANO DE ENSINO

Diário de aula

Aula	Data	Horas	Conteúdo	Recursos
1	16/08	2	Apresentação da disciplina
2	20/08	2	Introdução à Sinais em Tempo Discreto
3	23/08	2	Funções Úteis
4	27/08	2	Sistemas em tempo discreto
5	30/08	2	Solução de Sistemas e Resposta de Entrada Nula
6	03/09	2	Resposta ao Impulso e Resposta de Estado Nulo
7	06/09	2	Aula livre para exercícios
8	10/09	2	Resposta Total e Estabilidade
9	13/09	2	Definição da Transformada Z Direta e Inversa
10	17/09	2	Avaliação 1
11	20/09	2	Resolução de exercícios com a Transformada Z
12	24/09	2	Aulas suspensas pela Direção do DEPE
13	27/09	2	Propriedades da Transformada Z
14	01/10	2	Aula livre para a execução de exercícios
15	04/10	2	Solução de sistemas usando a Transformada Z
16	08/10	2	Solução de sistemas usando a Transformada Z (cont.)
17	11/10	2	Resposta em Frequência de Sistemas em Tempo Discreto
18	15/10	2	Laboratório de Transformada Z
19	18/10	2	Aula livre para a execução de exercícios
20	22/10	2	Semana Nacional de Ciência e Tecnologia
21	25/10	2	Avaliação 2
22	29/10	2	Série de Fourier de Tempo Discreto
23	01/10	2	Transformada de Fourier de Tempo Discreto
24	05/10	2	Laboratório de Transformada de Fourier
25	08/10	2	Avaliação 3 - Trabalho sobre Transformada de Fourier
TOTAL		'

Aulas

Apresentação da disciplina

Nesta primeira aula, a disciplina foi apresentada. Foi falado sobre a ementa, avaliação, cronograma, etc.

Sinais em tempo discreto

Referência: Capítulo 3 do Livro do Lathi, pg. 224.

Introdução à Sinais em Tempo Discreto

Esta aula é a introdução da disciplina.

• Um sinal discreto é uma abstração de um sinal amostrado, que por sua vez é obtido a partir da multiplicação de um sinal contínuo por um trem de impulsos. A amostragem de sinais é assunto de outra disciplina (Sinais e Sistemas e Comunicação Digital).

• Uma das medidas do tamanho de um sinal é a energia e a potência.

• Energia do sinal:

$E_{x}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\left|x[n]\right|}^{2}$

• Potência do sinal:

$P_{x}=\lim _{N\to \infty }{1 \over {2N+1}}\sum _{n=-N}^{N}{\left|x[n]\right|}^{2}$

• Desta forma, sinais podem ser divididos em sinais de energia ou de potência

• Sinais de energia são sinais que tem energia finita, que desta forma tem potência zero.
• Sinais de potência são sinais que tem potência finita, que desta forma tem energia infinita.
• Alguns sinais não são nem de energia nem de potência

• É comum na área de processamento de sinais a realização de operações com sinais. Algumas dessas operações utilizadas em sinais discretos são:

• Deslocamento - Atraso ou avanço de um sinal no tempo.
• Reversão no tempo - Espelhamento no sinal a partir do eixo da ordenada (y)
• Alteração na taxa de amostragem

• Decimação - Redução da frequência de amostragem do sinal
• Interpolação - Aumento da frequência de amostragem do sinal

Slides da aula

Códigos Matlab desenvolvidos

*  Simulação.m
*  u.m
*  s.m

Exercícios (Lathi)

* Exemplo 3.1, pg. 226
* Exemplo 3.2, pg. 227
* Exercício E3.1, ppg. 226
* Exercícios E3.2, E3.3, E3.4 e E3.5, pg. 230

Funções Úteis

Alguns sinais úteis na área de processamento de sinais digitais (Seção 3.3, pg. 230, do Lathi).

Função Impulso Unitário.

• Impulso unitário, também conhecido como Delta de Kronecker, é a versão discreta da Função Impulso, também conhecida como Delta de Dirac:

$\delta [n]=\left\{{\begin{matrix}1,&{\mbox{se }}n=0\\0,&{\mbox{se }}n\neq 0\end{matrix}}\right.$

Função Degrau Unitário.

• Degrau unitário, versão discreta da Função Degrau. Muito utilizada para a limitação de sinais em um intervalo de tempo.

$u[n]=\left\{{\begin{matrix}1,&{\mbox{se }}n\geq 0\\0,&{\mbox{se }}n<0\end{matrix}}\right.$

• Uma Função Exponencial discreta é descrita na forma $e^{\lambda n}$, onde $\lambda$ é o argumento da função e $n$ é inteiro. É possível escrever a função exponencial de uma outra forma, tendo em vista que a base $e$ e o argumento $\lambda$ são constantes:

$e^{\lambda n}={\left(e^{\lambda }\right)}^{n}=\gamma ^{n}$

A análise de funções exponenciais discretas é realizada baseada no valor de $\lambda$ ou de $\gamma$. Iniciemos nossa análise considerando que $\lambda$, e por consequência $\gamma$, é real.

• Se $\lambda >0$, $e^{\lambda }=\gamma >1$, de forma que $e^{\lambda n}=\gamma ^{n}$ é uma função crescente;
• Se $\lambda <0$, $e^{\lambda }=\gamma$ encontra-se entre 0 e 1, de forma que $e^{\lambda n}=\gamma ^{n}$ é uma função decrescente;
• Se $\lambda =0$, $e^{\lambda }=\gamma =1$, de forma que $e^{\lambda n}=\gamma ^{n}$ é uma função constante igual a 1.

Se $\lambda$ é complexo, ele pode ser escrito na forma $a+jb$, e $e^{\lambda n}=e^{(a+jb)n}=e^{an}e^{jbn}$. Desta forma, $\gamma$ também será complexo, ou $\gamma =e^{a}e^{jb}$. A análise é feita então em função de $a$ e $b$.

• Se $b=0$, a exponencial é puramente real, possuindo os três casos acima descritos;
• Se $a=0$, $\lambda =jb$ e $\gamma =e^{jb}=cos(b)+jsen(b)$, sendo então uma função oscilatória complexa de módulo igual a 1 e frequência de oscilação igual a $b$;
• Se $a>0$, $\lambda =a+jb$ e $\gamma =e^{a}e^{jb}=e^{a}[cos(b)+jsen(b)]$, sendo $\gamma ^{n}$ então uma função oscilatória complexa com módulo crescente e frequência de oscilação igual a $b$
• Se $a<0$, $\lambda =a+jb$ e $\gamma =e^{a}e^{jb}=e^{a}[cos(b)+jsen(b)]$, sendo $\gamma ^{n}$ então uma função oscilatória complexa com módulo decrescente e frequência de oscilação igual a $b$

Mapeamento das funções exponenciais (retirado do livro do Lathi).

A análise acima pode ser exportada para um gráfico, como pode ser visto na figura ao lado. Neste caso, o mapeamento de $\lambda$ em $\gamma$ transforma o Semi Plano Esquerdo (SPE), região onde a exponencial é decrescente, num círculo de raio unitário. O eixo das ordenadas, onde a exponencial possui módulo constante se transforma na borda do círculo. Por fim, o Semi Plano Direito (SPD), onde a exponencial é crescente, se transforma na região fora do círculo unitário.

Slides da aula

Códigos Matlab desenvolvidos

*  Simulação.m
*  u.m
*  d.m

Exercícios (Lathi)

* Exemplo 3.3, pg. 232
* Exercícios E3.6 e E3.7, pg. 234
* Exemplos de computador:
  * C3.1 para o sinal $x_{d}[n]=(0,7)^{-n}$, mostrando o sinal no intervalo de 0 a 10
  * C3.2 para o sinal $x[n]=3cos(2\pi 0,0909n)$, mostrando o sinal no intervalo de 0 a 33

Sistemas em tempo discreto

Ao pensar em Sistemas de Tempo Discreto, normalmente vem à mente aplicações como áudio digital, imagem digital, etc. O termo discreto porém, é maior do que isso, e inclui todo sistema que é não contínuo. O exemplo abaixo, exemplo 3.4 do Lathi, aborda esta questão.

Exemplo de sistema discreto.

Uma pessoa faz regularmente um depósito em um banco a um intervalo $T$. O banco paga um certo juro na conta bancária durante o período $T$ e envia periodicamente uma correspondência com o saldo ao depositante. As variáveis envolvidas no problema são:

• $x[n]$ = depósito feito no instante $n$
• $y[n]$ = saldo na conta no instante $n$, calculado imediatamente após o recebimento do depósito
• $r$ = taxa de juros

O saldo $y[n]$ é a soma de:

• Saldo anterior $y[n-1]$
• Juros obtidos em $y[n-1]$ durante o período
• Depósito $x[n]$

A equação que relaciona a saída $y[n]$ (saldo) com a entrada $x[n]$ (depósito) é:

$y[n]=y[n-1]+ry[n-1]+x[n]$

$y[n]=(1+r)y[n-1]+x[n]$

$y[n]-ay[n-1]=x[n]$, onde $a=1+r$

Ou, substituindo $n$ por $n+1$

$y[n+1]-ay[n]=x[n+1]$, onde $a=1+r$

As equações anteriores, chamadas de equações diferença, relacionam a entrada e a saída de um sistema, ou de uma forma mais completa, relacionam as amostras atual e anteriores da entrada com as amostras atual e anteriores da saída. Uma versão genérica da equação diferença é:

$\left.\sum _{k=0}^{N}a_{k}y[n+N-k]=\sum _{l=0}^{M}b_{l}x[n+M-l]\right.$, com $a_{0}=1$

ou

$\left.y[n+N]+a_{1}y[n+N-1]+...+a_{N}y[n]=b_{0}x[n+M]+b_{1}x[n+M-1]+...+b_{M}x[n]\right.$

As equações anteriores estão na forma do operador de avanço. Substituindo $n$ por $n-N$, a equação fica na forma do operador de atraso:

$\left.\sum _{k=0}^{N}a_{k}y[n-k]=\sum _{l=0}^{M}b_{l}x[n-l]\right.$, com $a_{0}=1$

Para que um sistema descrito pelas equações diferença acima descritas seja causal, é necessário que sua saída não dependa de valores futuros de sua entrada. Na forma do operador de avanço, a saída mais avançada no tempo é $y[n+N]$, e a entrada mais avançada no tempo é $x[n+M]$. Assim, para que um sistema seja causal, é necessário que $\left.N\geq M\right.$

Uma forma simples e rápida de resolver o sistema a partir da sua equação diferença é a solução recursiva (ou interativa). O método é calculado passo a passo, utilizando as condições iniciais e os valores do sinal de entrada.

Ver exemplo 3.8 do Lathi, pg. 247

Uma forma diferente de representar o sistema é através da Notação Operacional. Nela, a equação diferença do sistema fica similar à uma equação diferencial, e um tratamento semelhante pode ser utilizado para sua resolução. Para a notação operacional, utiliza-se o operador $E^{r}$ para representar um avanço de $r$ amostras.

${\begin{matrix}Ex[n]&{}:={}&x[n+1]\\E^{2}x[n]&{}:={}&x[n+2]\\{}&\vdots &{}\\E^{N}x[n]&{}:={}&x[n+N]\end{matrix}}$

Exemplo:

• Equação diferença de primeira ordem:

${\begin{matrix}y[n+1]-ay[n]&{}={}&x[n+1]\\Ey[n]-ay[n]&{}={}&Ex[n]\\(E-a)y[n]&{}={}&Ex[n]\end{matrix}}$

• Equação diferença de segunda ordem:

${\begin{matrix}y[n+2]+{\frac {1}{4}}y[n+1]+{\frac {1}{16}}y[n]&{}={}&x[n+2]\\(E^{2}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{16}})y[n]&{}={}&E^{2}x[n]\end{matrix}}$

Desta forma, uma equação diferença genérica em notação operacional é

$\left(E^{N}+a_{1}E^{N-1}+...+a_{N-1}E+a_{N}\right)y[n]=\left(b_{0}E^{N}+b_{1}E^{N-1}+...+b_{N-1}E+b_{N}\right)x[n]$

ou simplesmente

$Q\left[E\right]y[n]=P\left[E\right]x[n]$

onde

$Q\left[E\right]=E^{N}+a_{1}E^{N-1}+...+a_{N-1}E+a_{N}$

$P\left[E\right]=b_{0}E^{N}+b_{1}E^{N-1}+...+b_{N-1}E+b_{N}$

Slides da aula

Códigos Matlab desenvolvidos

*  Simulação.m

Exercícios (Lathi)

* Exercício 3.4-1 e 3.4-2 pg. 295
* Exemplo 3.8, pg. 247
* Exercício E3.10, pg. 249
* Exemplo de computador C3.3 para o sinal do exercício E3.10
* Descrever todas as equações diferença dos exercícios anteriores com Notação Operacional

Solução de Sistemas e Resposta de Entrada Nula

Saída de um sistema possui componentes referentes à entrada do sistema e componentes referentes às condições iniciais

• Referentes às condições iniciais: Resposta de entrada nula
• Referentes à entrada: Resposta de estado nulo

A resposta de entrada nula de um sistema é a solução da sua equação diferença, assumindo que não há sinais de entrada (solução homogênea).

$\left.Q[E]y_{0}[n]=0\right.$

ou

$\left(E^{N}+a_{1}E^{N-1}+...+a_{N-1}E+a_{N}\right)y_{0}[n]=0$

ou ainda

$\left.y_{0}[n+N]+a_{1}y_{0}[n+N-1]+...+a_{N}y_{0}[n]=0\right.$

A solução do problema é então (assumindo raízes distintas):

$y_{0}\left[n\right]=c_{1}\gamma _{1}^{n}+c_{2}\gamma _{2}^{n}+...+c_{N}\gamma _{N}^{n}$

onde os $c_{i}^{}$'s são as constantes do problema, obtidas através das condições iniciais

Para $r$ raízes repetidas:

$\left.Q[\gamma ]=(\gamma -\gamma _{1})^{r}\right.$

e a resposta de entrada nula será:

$y_{0}\left[n\right]=(c_{0}+c_{1}n+c_{2}n^{2}...+c_{r-1}n^{r-1})\gamma _{1}^{n}$

Para raízes complexas, expressamos as raízes na forma polar:

$\gamma _{}^{}=\alpha e^{j\beta }$ e $\gamma _{}^{}=\alpha e^{-j\beta }$

E a resposta de entrada nula será

$y_{0}^{}[n]=c_{1}\gamma ^{n}+c_{2}(\gamma ^{*})^{n}$

Para um sistema real

$c_{1}={\frac {c}{2}}e^{j\theta }$ e $c_{2}={\frac {c}{2}}e^{-j\theta }$

E então:

$y_{0}[n]={\frac {c}{2}}\alpha ^{n}cos(\beta n+\theta )$

Nomenclatura:

• $Q[\gamma ]$ = polinônio característico do sistema
• $Q[\gamma ]=0$ = equação característica do sistema
• $\gamma _{1},\gamma _{2},...,\gamma _{N}$ = raízes características, valores característicos ou autovalores do sistema
• $\gamma _{1}^{n},\gamma _{2}^{n},...,\gamma _{N}^{n}$ = modos característicos ou modos naturais do sistema
• $y_{0}[n]$ = resposta de entrada nula do sistema, que é a combinação linear dos modos característicos

Slides da aula

Exercícios (Lathi)

* Exemplo 3.10, pg. 252
* Exercícios E3.11, E3.12 e E3.13, pg. 255
* Exercício de computador C3.4 para os sistemas dos outros exercícios

Resposta ao Impulso e Resposta de Estado Nulo

Uma solução importante na análise de sistemas é a resposta do sistema à um impulso unitário. A resposta ao impulso de um sistema $h[n]$ é a solução da sua equação diferença, considerando que há, na entrada do sistema, uma função impulso $\delta [n]$.

Ou:

$Q\left[E\right]h[n]=P\left[E\right]\delta [n]$

Neste caso, considera-se todas as condições iniciais nulas:

$h[-1]=h[-2]=...=h[-N]=0_{}^{}$

O método iterativo (ou recursivo) pode ser utilizado para a resolução do sistema, mas este é pouco prático para respostas longas. Por isso, há a solução fechada, dada pela equação:

$h[n]={\frac {b_{N}}{a_{N}}}\delta [n]+y_{c}[n]u[n]$

onde $y_{c}[n]$ é a combinação linear dos modos característicos e $a_{N}$ e $b_{N}$ são obtidos da equação diferença do sistema.

Ver exemplo 3.12, pg. 258

A resposta de estado nulo é a resposta do sistema à sua entrada, considerando suas condições iniciais zero. A solução da resposta de estado nulo é dada pelo somatório de convolução:

$y[n]=x[n]*h[n]=\sum _{m=-\infty }^{\infty }x[m]h[n-m]$

onde $x[n]$ é a entrada do sistema e $h[n]$ é sua resposta ao impulso. Embora pareça um pouco diferente, o somatório de convolução é a mesma operação realizada em tempo contínuo, a integral de convolução.

As propriedades do somatório de convolução são:

• Comutativa

$x_{1}[n]*x_{2}[n]=x_{2}[n]*x_{1}[n]$

• Distributiva

$x_{1}[n]*(x_{2}[n]+x_{3}[n])=x_{1}[n]*x_{2}[n]+x_{1}[n]*x_{3}[n]$

• Associativa

$x_{1}[n]*(x_{2}[n]*x_{3}[n])=(x_{1}[n]*x_{2}[n])*x_{3}[n]$

• Propriedade do deslocamento

Se $x_{1}[n]*x_{2}[n]=c[n]$, $x_{1}[n-m]*x_{2}[n-p]=c[n-m-p]$

• Convolução com um impulso

$x[n]*\delta [n]=x[n]$

• Propriedade da largura

Se $d[n]$ tem $R$ elementos (amostras) e $e[n]$ tem $S$ elementos, $f[n]=d[n]*e[n]$ tem $R+S-1$ elementos.

• Causalidade

$x[m]=0$ para $m<0$

$h[m]=0$ para $m<0$, tal que $h[n-m]=0$ para $m>n$

E a convolução causal é:

$y[n]=x[n]*h[n]=\sum _{m=0}^{n}x[m]h[n-m]$

Ver exemplo 3.13, pg. 262

Em geral, o cálculo da convolução propriamente dito não é muito realizado. Isso se deve à existência de tabelas com a convolução dos sinais mais comuns. Um exemplo pode ser visto na Tabela 3.1 do livro do Lathi, pg. 263.

Mais importante que a resolução dos cálculos, seja pela equação ou pela tabela, é o entendimento do que é realizado com os sinais durante a operação. A convolução de dois sinais $x[m]$ e $h[m]$ inicia com a reversão no tempo de um dos sinais (por exemplo, $x[m]$). Para encontrar o valor de saída para um dado instante $n$, $x[-m]$ é deslocado de $n$ amostras, e uma multiplicação ponto a ponto é executada entre os sinais $h[m]$ e $x[-m+n]$. O processo de convolução consiste então no deslocamento de $x[-m]$ por toda a extensão de $h[m]$. Este fato pode ser visto em [1] e [2].

Slides da aula

Resolução de alguns exercícios, realizada dia 13/09

Exercícios (Lathi)

* Exemplo 3.11, pg. 256
* Exemplo 3.12, pg. 258
* Exercício E3.14, pg. 259
* Exercício 3.7-4, pg. 298
* Exemplo 3.13, pg. 262
* Exercício E3.15, pg. 263
* Exemplo 3.14, pg. 264
* Exemplo de computador C3.6
* Criar uma função no Matlab para realizar a convolução entre dois sinais causais

Resposta Total e Estabilidade

A Resposta total de um sistema é definida como:

Resposta Total = Resposta de entrada nula + Resposta de estado nulo

Resposta Total = $\sum _{j=1}^{N}c_{j}\gamma _{j}^{n}+x[n]*h[n]$

A estabilidade de um sistema é dividida entre estabilidade externa (BIBO - Bounded-input/boundded-output) e interna (assintótica).

Um sistema é BIBO estável se a sua resposta ao impulso $h[n]$ for absolutamente somável:

$\sum _{n=-\infty }^{\infty }|h[n]|<K<\infty$

A estabilidade externa de um sistema é caracterizada da seguinte forma:

• Raízes simples ou repetidas dentro do círculo unitário: assintoticamente estável
• Raízes simples sobre o círculo unitário: marginalmente estável
• Raízes repetidas sobre o círculo unitário: assintoticamente instável
• Raízes simples ou repetidas fora do círculo unitário: assintoticamente instável

As estabilidades interna e externa são relacionadas da seguinte forma:

• Raízes dentro do círculo são absolutamente somáveis, por isso sistemas assintoticamente estáveis são BIBO estáveis.
• Raízes sobre ou fora do círculo não são absolutamente somáveis, por isso sistemas marginalmente estáveis ou assintoticamente instáveis são BIBO instáveis.

Slides da aula

Exercícios (Lathi)

* Exemplo 3.22, pg. 285
* Exercício 3.10-2, pg. 303

Avaliação 1

Os conteúdos referentes à primeira parte da disciplina (capítulo 3 do Lathi) foram avaliados através de uma prova.

Resultado

Transformada Z

Referência: Capítulo 5 do Livro do Lathi, pg. 442.

Definição da Transformada Z Direta e Inversa

A Transformada Z Direta é calculada como a seguir:

$X[z]=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]z^{-n}$

A forma mais direta de resolução se dá considerando que os termos a serem somados são elementos de uma PG (progressão geométrica). Uma PG é definida como uma sucessão de termos:

$a_{1}^{},a_{2},a_{3},...,a_{n-1},a_{n},a_{n+1},...$

onde, $a_{n}=a_{n-1}q$ ou $a_{n}=a_{1}q^{n-1}$, sendo $q$ denominado razão da sucessão de termos.

A planilha a seguir foi feita para ajudar o entendimento das PGs, confirmando a equivalências das duas equações acima Link.

Para a soma de $n$ termos de uma PG ($n$ finito):

$S_{n}={\frac {a_{1}(1-q^{n})}{1-q}}$

Para a soma de infinitos termos de uma PG:

$S_{\infty }={\frac {a_{1}}{1-q}}~~~~~~|q|<1$

Para mais informações sobre PGs, ver Link.

A Transformada Z inversa é definida como:

$x[n]={\frac {1}{2\pi j}}\oint X[z]z^{n-1}dz$

Em geral este cálculo não é realizado, dada a existência de tabelas (ver tabela 5.1 do Lathi ou esta seção da Wikipédia). O que é necessário para a resolução dos problemas é adequar o sinal no domínio Z à algum par específico da tabela.

Slides da aula

Exercícios (Lathi)

* Exemplo 5.1, pg. 444
* Exemplo 5.2, pg. 446
* Exercício E5.1, pg. 448
* Selecionar alguns itens do exercício 5.1-2, pg. 516
* Exercício 5.1-4, pg. 517

* Exemplo 5.3, pg. 448
* Exercício E5.2, pg. 451
* Exercício 5.1-5, pg. 517

Resolução de exercícios com a Transformada Z

A Avaliação 1 realizada na aula passada foi discutida, bem como foram resolvidos exercícios de transformada Z direta e inversa.

Exercícios (Lathi)

* Exemplo 5.1, pg. 444
* Exemplo 5.3.a, pg. 448

Solução dos exemplos

Resoluções realizadas no semestre 2013-1

Solução exemplo 5.3.b

Solução exemplo 5.3.c

Propriedades da Transformada Z

Algumas propriedades podem ser utilizadas para facilitar o cálculo da transformada Z. Exemplos de tabelas são a Tabela 5.2, pg. 459 do Lathi e esta seção da Wikipédia.

Nesta aula, as propriedades serão derivadas.

Exercícios (Lathi)

* Exemplo 5.4, pg. 456
* Exercício 5.2-3, 5.2-7 e 5.2-9, pg. 518

Solução de sistemas usando a Transformada Z

A Transformada $Z$ é utilizada principalmente na solução de sistemas Lineares Discretos Invariantes no Tempo (LDIT). O método é sintetizado a seguir:

• A equação diferenças é convertida para o domínio $Z$ utilizando a propriedade do deslocamento à direita da Transformada Z:

$x[n-m]u[n]\Leftrightarrow {\frac {1}{z^{m}}}X[z]+{\frac {1}{z^{m}}}\sum _{k=1}^{m}x[-k]z^{k}$

• A equação algébrica no domínio $Z$ é trabalhada de forma a isolar $Y[z]$.

• Com o $Y[z]$ isolado, a equação algébrica é convertida de volta para o domínio $n$ através da Transformada Z Inversa, encontrando então a resposta total do sistema, $y[n]$.

Com esta abordagem, é possível também encontrar a resposta total com as componentes de entrada nula e de estado nulo em separado. Para isso, as componentes referentes ao sinal de entrada e às condições iniciais devem ser mantidas separadas durante o trabalho algébrico.

Uma outra utilização da Transformada Z diz respeito à Função de transferência de um sistema. A Função de Transferência é utilizada para encontrar a a resposta de estado nulo do sistema, ou mesmo a resposta total, quando o sistema não possui condições iniciais (resposta de entrada nula igual à zero):

$Y[z]=X[z]H[z]$

então:

$H[z]={\frac {Y[z]}{X[z]}}={\frac {\mbox{Resposta total}}{\mbox{Entrada}}}$

Dada a equação diferenças genérica:

$\left.y[n+N]+a_{1}y[n+N-1]+...+a_{N}y[n]=b_{0}x[n+M]+b_{1}x[n+M-1]+...+b_{M}x[n]\right.$

ou, em notação operacional:

$\left(E^{N}+a_{1}E^{N-1}+...+a_{N-1}E+a_{N}\right)y[n]=\left(b_{0}E^{N}+b_{1}E^{N-1}+...+b_{N-1}E+b_{N}\right)x[n]$

ou simplesmente:

$Q\left[E\right]y[n]=P\left[E\right]x[n]$

onde:

$Q\left[E\right]=E^{N}+a_{1}E^{N-1}+...+a_{N-1}E+a_{N}$

$P\left[E\right]=b_{0}E^{N}+b_{1}E^{N-1}+...+b_{N-1}E+b_{N}$

A Função de Transferência do sistema é:

$H[z]={\frac {P[z]}{Q[z]}}={\frac {b_{0}z^{N}+b_{1}z^{N-1}+...+b_{N-1}z+b_{N}}{z^{N}+a_{1}z^{N-1}+...+a_{N-1}z+a_{N}}}$

A estabilidade do sistema pode ser obtida a partir da sua Função de Transferência. Como a Função de Transferência é uma descrição externa do sistema, pois relaciona saída e entrada, a estabilidade BIBO (externa) é encontrada. Assim, se todos os polos de $H[z]$ estiverem dentro do círculo unitário, o sistema será BIBO estável.

Se $P[z]$ e $Q[z]$ não possuírem fatores comuns, o denominador de $H[z]$ será idêntico à $Q[z]$, e:

• sistema assintoticamente estável: Polos de $H[z]$, repetidos ou simples, dentro do círculo unitário
• sistema assintoticamente instável:

• (i) Ao menos um polo de $H[z]$ fora do círculo unitário;
• (ii) Polos de $H[z]$ repetidos sobre o círculo unitário

• sistema marginalmente estável: Nenhum polo de $H[z]$ fora do círculo unitário e pelo menos um polo simples sobre o círculo unitário.

Exercícios (Lathi)

* Exemplo 5.5, pg. 461
* Exercício E5.10, pg. 462
* Exercício E5.11, pg. 463
* Exercício E5.12, pg. 464
* Exercícios 5.3-2, 5.3-3, 5.3-5, 5.3-6, 5.3-7, 5.3-8, 5.3-10, pg. 519

* Exemplo 5.6, pg. 466
* Exercício 5.3-18, pg. 519
* Exercícios 5.3-19, 5.3-20, 5.3-21, 5.3-23, pg. 520

Resposta em Frequência de Sistemas em Tempo Discreto

A Resposta em Frequência de um sistema de Tempo Discreto é encontrada a partir da sua Função de Transferência, substituindo $z$ por $e^{j\Omega }$. Assim, a frequência é indicada por $\Omega$. Usando a seta direcional para representar a relação entrada $\Rightarrow$ saída:

$z^{n}\Rightarrow H[z]z^{n}$

E, fazendo $z=e^{j\Omega }$:

$e^{j\Omega n}\Rightarrow H[e^{j\Omega }]e^{j\Omega n}$

onde $H[e^{j\Omega }]$ é a Resposta em Frequência do sistema, que expressa na forma polar:

$H[e^{j\Omega }]=|H[e^{j\Omega }]|e^{j\angle {H[e^{j\Omega }]}}$

Para uma entrada senoidal, considerando que $\cos(\Omega n)$ é a parte real de $e^{j\Omega n}$:

$\cos(\Omega n)\Rightarrow \Re (H[e^{j\Omega }]e^{j\Omega n})$

$\cos(\Omega n)\Rightarrow |H[e^{j\Omega }]|\cos(\Omega n+\angle {H[e^{j\Omega }]})$

e para uma senoide defasada de $\theta$:

$\cos(\Omega n+\theta )\Rightarrow |H[e^{j\Omega }]|\cos(\Omega n+\theta +\angle {H[e^{j\Omega }]})$

Ver Exemplo 5.10 do Lathi, pg. 476

Como pode ser visto no exemplo anterior, a Resposta em Frequência de Sistemas de Tempo Discreto é Periódica com período $2\pi$. Isto se deve à não unicidade de ondas senoidais no domínio de tempo contínuo:

$\cos[(\Omega +-2\pi m)n]=\cos(\Omega n)$, para $m$ inteiro

Isto pode ser confirmado pelo seguinte Código MATLAB.

A Resposta em Frequência do sistema também pode ser determinada pela posição dos seus polos e zeros. Para uma Função de Transferência genérica:

$H[z]={\frac {b_{0}z^{N}+b_{1}z^{N-1}+...+b_{N-1}z+b_{N}}{z^{N}+a_{1}z^{N-1}+...+a_{N-1}z+a_{N}}}$

encontrando as $N$ raízes de ambos os polinômios, a Forma Fatorada da Função de Transferência é encontrada:

$H[z]=b_{0}{\frac {(z-z_{1})(z-z_{2})...(z-z_{N})}{(z-\gamma _{1})(z-\gamma _{2})...(z-\gamma _{N})}}$

Para encontrar a Resposta em Frequência do sistema, fazemos $z=e^{j\Omega }$. Como $|e^{j\Omega }|=1$, variar $\Omega$ significa percorrer o círculo unitário. Desta forma, a resposta do sistema para uma determinada frequência $\Omega$ é encontrada a partir da linha que une os polos e zeros ao ponto de ângulo $\Omega$ sobre o círculo unitário. Ou:

$H[e^{j\Omega }]=b_{0}{\frac {(r_{1}e^{j\phi _{1}})(r_{2}e^{j\phi _{2}})...(r_{N}e^{j\phi _{N}})}{(d_{1}e^{j\theta _{1}})(d_{2}e^{j\theta _{2}})...(d_{N}e^{j\theta _{N}})}}$

ou

$H[e^{j\Omega }]=b_{0}{\frac {r_{1}r_{2}...r_{N}}{d_{1}d_{2}...d_{N}}}e^{j[(\phi _{1}+\phi _{2}+...+\phi _{N})-(\theta _{1}+\theta _{2}+...+\theta _{N})]}$

onde $r_{i}$ e $d_{j}$ são os módulos e $\phi _{i}$ e $\theta _{j}$ são os ângulos da linha que une o zero $i$ e o polo $j$ ao ponto de ângulo $\Omega$ sobre o círculo unitário.

Desta forma, as seguintes conclusões podem ser tomadas

• Como a magnitude de $H[e^{j\Omega }]$ é diretamente proporcional ao produto das distâncias dos zeros à $e^{j\Omega }$, incluir um zero próximo de um determinado ângulo do círculo unitário reduz a resposta de magnitude para esta frequência angular. Para suprimir totalmente uma determinada frequência, um zero neste ângulo do círculo unitário pode ser inserido.
• Como a magnitude de $H[e^{j\Omega }]$ é inversamente proporcional ao produto das distâncias dos zeros à $e^{j\Omega }$, incluir um polo próximo de um determinado ângulo do círculo unitário aumenta a resposta de magnitude para esta frequência angular. Não se deve esquecer que um polo sobre o círculo unitário resulta num sistema BIBO instável.
• Para um filtro ideal, o número de polos e zeros necessários é muito grande (infinito).

Este comportamento pode ser visto na ferramenta do MATLAB Fdatool.

Exercícios (Lathi)

* Exemplo 5.10, pg. 476
* Exercício E5.18, pg. 479
* Exercícios 5.5-1, 5.5-2, 5.5-4, pg. 521
* Exercícios 5.5-5, pg. 522

* Exercício 5.6-1, pg. 522

Laboratório de Transformada Z

Este laboratório tem o objetivo de auxiliar o entendimento dos conceitos que envolvem a utilização da Transformada Z na análise e solução de sistemas LDIT. Mais precisamente, a Função de Transferência será explorada, de forma a visualizar a resposta em frequência a partir da posição dos polos e zeros do sistema.

Pré laboratório

• Estudar o help do matlab das funções:

• polar()
• poly()
• roots()
• freqz()

Laboratório

• Definir os seguintes sistemas com o mínimo de polos e zeros:

• Filtro passa-baixas
• Filtro passa-altas
• Filtro passa-faixa
• Filtro rejeita-faixa

• Plotar os polos (x) e os zeros (o) no círculo unitário usando a função polar()

• Calcular a resposta em frequência do filtro criado utilizando a função freqz()

• Observar a definição da frequência de amostragem nos parâmetros.

• Plotar a resposta de magnitude e de fase dos filtros

• Aumentar o número de polos e zeros dos filtros e observar o comportamento

Análise de Fourier de Sinais em Tempo Discreto

Referência: Capítulo 9 do Livro do Lathi, pg. 738.

Série de Fourier de Tempo Discreto

Periodicidade de uma senoide discreta

Uma senoide discreta $\cos(\Omega _{0}n)$ é periódica com período inteiro $N_{0}$ se $\cos[\Omega _{0}(n+N_{0})]=\cos(\Omega _{0}n)$. Esta equação é verdadeira quando $\Omega _{0}N_{0}=2\pi m$, com $m$ inteiro. Assim, a senoide $\cos(\Omega _{0}n)$ será periódica se:

Conjunto dos números reais [fonte: Wikipedia]

${\frac {\Omega _{0}}{2\pi }}={\frac {m}{N_{0}}}={}$ um número racional (representado pela divisão de dois números inteiros)

O Período Fundamental da senoide será então:

$N_{0}=m\left({\frac {2\pi }{\Omega _{0}}}\right)$

sendo $\Omega _{0}$ a Frequência Fundamental da senoide e $m$ o menor inteiro que faz $N_{0}$ um número inteiro.

Definição da Série de Fourier de Tempo Discreto

A Série de Fourier de Tempo Discreto é constituída pela soma de exponenciais complexas e discretas, com frequências múltiplas da frequência fundamental:

$e^{j0n},e^{\pm j\Omega _{0}n},e^{\pm j2\Omega _{0}n},e^{\pm j3\Omega _{0}n},\ldots$

Mas como:

$g_{r+N_{0}}=e^{j(r+N_{0})\Omega _{0}n}=e^{j(r\Omega _{0}n+N_{0}\Omega _{0}n)}=e^{j(r\Omega _{0}n+2\pi n)}=e^{jr\Omega _{0}n}=g_{r}$

A Série de Fourier de Tempo Discreto é finita, com $N_{0}$ termos.

A Série de Fourier de Tempo Discreto é definida por:

$x[n]=\sum _{r=0}^{N_{0}-1}D_{r}e^{jr\Omega _{0}n}$

onde $D_{r}$ é o coeficiente associado à frequência angular $r\Omega _{0}$, definido por:

$D_{r}={\frac {1}{N_{0}}}\sum _{k=0}^{N_{0}-1}x[k]e^{-jr\Omega _{0}k}$

Espectro de Fourier de um Sinal Discreto

Espectro de Fourier de um Sinal Discreto

A Série de Fourier tem $N_{0}$ componentes:

$D_{0},D_{1}e^{j\Omega _{0}n},D_{2}e^{j2\Omega _{0}n},\ldots ,D_{N_{0}-1}e^{j(N_{0}-1)\Omega _{0}n}$

onde $0,\Omega _{0},2\Omega _{0},\ldots ,(N_{0}-1)\Omega _{0}$ as frequências de cada componente. Considerando que $D_{r}$ é em geral complexo, na forma

$D_{r}=|D_{r}|e^{j\angle {D_{r}}}$

Pode-se então fazer um gráfico relacionando o módulo e a fase de $D_{r}$ com a frequência do termo. Este é o Espectro de Fourier do sinal.

Códigos Matlab desenvolvidos

*  Periodicidade_senoide.m
*  Espectro_Fourier.m
*  ExemploC9_2.m

Exercícios (Lathi)

* Exemplo 9.2, pg. 745
* Exercício E9.2, pg. 744
* Exercício 9.1-1, 9.1-4, 9.1-5 e 9.1-6, pg. 783

Transformada de Fourier de Tempo Discreto

As Séries de Fourier de Tempo Discreto permitem descrever sinais discretos periódicos através da soma de exponenciais complexas. Quando o sinal é aperiódico a utilização da série é inviabilizada. A extensão da análise de Fourier para sinais discretos aperiódicos é feita da mesma forma que no mundo contínuo, formando um sinal aperiódico a partir de um sinal periódico com período infinito.

Sendo assim, o par de Transformadas de Fourier é definido como:

$x(\Omega )=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]e^{-j\Omega n}\Rightarrow {}$ Transformada Direta

$x[n]={\frac {1}{2\pi }}\int _{2\pi }X(\Omega )e^{j\Omega n}d\Omega \Rightarrow {}$ Transformada Inversa

Informações relevantes

• Espectro é uma função contínua de $\Omega$
• Espectro é uma função periódica de $\Omega$:

$X(\Omega +2\pi )=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]e^{-j(\Omega +2\pi )n}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]e^{-j\Omega n}e^{-j2\pi n}=X(\Omega )$

Direita

Espectro Periódico X Amostrado

• Sinal periódico:

• Séries de Fourier
• Espectro discreto (harmônicas)

• Sinal aperiódico:

• Espectro contínuo

• Sinal discreto (amostrado)

• Espectro periódico (repetido a cada $f_{s}$ Hz ou $2\pi$)

• Sinal contínuo

• Espectro aperiódico

Exercícios (Lathi)

* Exemplo 9.3, pg. 752
* Exemplo 9.4, pg. 753
* Exemplo 9.5, pg. 754
* Exemplo 9.6, pg. 756
* Exercício E9.4 e E9.5, pg. 756

Filtros Digitais

Referência: Capítulo 4, 5 e 6 do Livro do Shenoi.

Introdução aos Filtros Digitais

Os filtros digitais processam sinais digitais.

Materiais PSD de semestres anteriores

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Listas de Exercício Pelo menos 3 exercícios diferentes de cada seção devem ser entregues resolvidos. Os desafios não precisam ser entregues, faça se quiser Faça os seguintes exercícios: a) Da Seção 3.1 (3 ex), b) 3.2-3, c) 3.3.1 (a||b||c||d) e (e) 3.3.2 (b||c||d||e); CAPÍTULO BACKGROUND B35, B36, B37 CAPÍTULO 3 Seção 3.1: 1, 2, 4, 5 Seção 3.2: 1, 2, 3, 4 Seção 3.3: 1, 2, 3, 4, 5, 6 Seção 3.4: 1, 2, 3, 4, 7, 8 Seção 3.5: 1, 2, 3, 4, 5 Seção 3.6: 1, 2, 3, 4, 5, 7 Seção 3.7: 1, 2, 3 Seção 3.8: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 18 media:Ex3.5-5.pdf CAPÍTULO 5 Seção 5.1: 4, 5, 6, Seção 5.2: 1, 2, 3, 4, 5, 9 Seção 5.3: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24 , [25*] FILTROS DIGITAIS Avaliações Avaliação P1 - Analise no tempo de LDIT (26/10/2011) Avaliação P2 - Transformada Z (08/12/2011) Avaliação P3 - Entrega do Projeto de Filtros Digitais (20/12/2011 - 20h00) em .pdf por email. Avaliação de recuperação P1 e P2 (22/12/2011) Nas avaliações o aluno tem direito a consulta ao livro texto e a 1 folha resumo manuscrita tamanho A4 (sem exercicios resolvidos). Grupos de Discussão em Telecomunicações Alguns assuntos correlatos Números Inteiros Aritmética de ponto fixo Representação de números com sinal ponto "decimal" Aritmética de ponto flutuante IEEE 754 Ciclo Limite Transformação Bilinear Invariância ao Impulso Links de auxílio MATLAB Wikipedia MATLAB Wikibook Curso de MATLAB da UFMS Matlab Tutorial - for beginers Alternativas ao MATLAB [3] Fragmentos de códigos em MATLAB UFTPR DSP Apostila de Filtros Digitais - UFTPR Apostila de DSP - Faculdade de Engenharia da Universidade do Porto http://www.eas.asu.edu/~midle/jdsp/jdsp.html Recent Advances in Digital Processing of Images and Audio - Vídeo-conferência do MIT (September 29, 2006). Using Psychoacoustics to Explore Cochlear Function: Basic Mechanisms and Applications to Hearing Aids - Vídeo-conferência do MIT (November 17, 2006). Does Texas Instruments Have a 'D' or and 'I' in Signal Processing? - Vídeo-conferência do MIT (February 10, 2003). Convolução gráfica Discreta. Erratas e Códigos .m Errata de Sinais e Sistemas Lineares - Lathi - Compilado pelos alunos e professores do CEFETSC. Códigos .m de Sinais e Sistemas Lineares - Lathi - Fornecido pelo autor do livro

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