II - Regras de derivação

Neste tópico, são apresentadas as regras de diferenciação básicas para funções elementares e suas demonstrações e também as demonstrações destes teoremas.

1ª - Derivada de um valor constante

       ${\frac {d}{dx}}[c]=0$

Demonstração - Admitindo a definição da derivada e considerando f(x) = c, temos

${\frac {dy}{dx}}=\lim \limits _{\Delta x\to 0}{\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}$

       ${\frac {d}{dx}}[c]=\lim \limits _{\Delta x\to 0}{\frac {c-c}{\Delta x}}={\frac {0}{\Delta x}}=0$

2ª - Derivada da soma de duas funções

       ${\frac {d}{dx}}[f(x)+g(x)]={\frac {d}{dx}}[f(x)]+{\frac {d}{dx}}[g(x)]$

Demonstração - Aplicando a definição de limite, temos

${\frac {dy}{dx}}=\lim \limits _{\Delta x\to 0}{\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}$

       ${\frac {d}{dx}}[f(x)+g(x)]=\lim \limits _{\Delta x\to 0}{\frac {[f(x+\Delta x)+g(x+\Delta x)]-[f(x)+g(x)]}{\Delta x}}$

       $=\lim \limits _{\Delta x\to 0}{\frac {[f(x+\Delta x)-f(x)]+[g(x+\Delta x)-g(x)]}{\Delta x}}$

       $=\lim \limits _{\Delta x\to 0}\left[{\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}+{\frac {g(x+\Delta x)+g(x)}{\Delta x}}\right]$

       $=\lim \limits _{\Delta x\to 0}{\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}+\lim \limits _{\Delta x\to 0}{\frac {g(x+\Delta x)+g(x)}{\Delta x}}$

       $={\frac {d}{dx}}[f(x)]+{\frac {d}{dx}}[g(x)]$